Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 27
Calcul numérique
Je sais calculer sans me tromper une expression qui mélange entiers, nombres relatifs, fractions et décimaux, en respectant les priorités de calcul.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer l'ordre des priorités (parenthèses, multiplications et divisions, additions et soustractions)
- Calculer avec les nombres relatifs en respectant la règle des signes
- Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions et donner le résultat sous forme irréductible
- Rédiger un calcul étape par étape comme au BEPC
Avant de commencer : Les quatre opérations sur les entiers et les décimaux, la notion de nombre relatif et de fraction vues de la 7e à la 9e.
1Je découvre
Samedi, au marché de Labé, Kadiatou achète 1 kg d'oignons à 10 000 GNF et 3 tas de tomates à 2 000 GNF le tas. Pour savoir combien elle doit payer, son cousin Sékou écrit sur son cahier :
10 000 + 3 × 2 000
Il tape les nombres sur une petite calculatrice, dans l'ordre où il les lit, de gauche à droite : 10 000 + 3 = 10 003, puis 10 003 × 2 000 = 20 006 000. Plus de vingt millions de francs guinéens pour des oignons et des tomates ! La vendeuse éclate de rire.
Kadiatou, elle, raisonne : « Les 3 tas de tomates coûtent 3 × 2 000 = 6 000 GNF. J'ajoute les oignons : 10 000 + 6 000 = 16 000 GNF. » C'est évidemment elle qui a raison.
La même écriture a donné deux résultats différents. Pour qu'une expression mathématique veuille dire la même chose pour tout le monde, au marché comme à l'examen, il faut des règles communes.
Dans quel ordre faut-il effectuer les opérations d'une expression, et comment calculer sans erreur avec des nombres négatifs, des fractions et des décimaux ?
2Je comprends
1. Les nombres que tu utilises
Depuis la 7e, tu as rencontré plusieurs familles de nombres. Elles s'emboîtent comme des calebasses de tailles différentes :
| Ensemble | Nom | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ | entiers naturels | 0 ; 7 ; 2 026 |
| ℤ | entiers relatifs | -15 ; 0 ; 4 |
| ⅅ | nombres décimaux | 2,5 ; -0,125 ; 3 |
| ℚ | nombres rationnels (quotients) | 23 ; -57 ; 0,4 |
On a ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ : tout entier naturel est aussi un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, et tout décimal peut s'écrire comme une fraction (0,4 = 410 = 25). Un nombre comme 13 = 0,333… est rationnel mais pas décimal, car son écriture après la virgule ne s'arrête jamais.
2. Les priorités de calcul
Une expression numérique est une suite de nombres reliés par des signes d'opération, parfois avec des parenthèses. Pour la calculer, on respecte toujours cet ordre :
- On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses (en commençant par les parenthèses les plus intérieures, puis les crochets).
- On calcule ensuite les puissances (elles seront revues dans la leçon suivante).
- On effectue les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
- On termine par les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Un trait de fraction joue le rôle de parenthèses : dans 8 + 42 + 1, on calcule d'abord le numérateur 12 et le dénominateur 3, puis on divise : on obtient 4.
- 1Parenthèses et crochets : on commence par les plus intérieurs
- 2Puissances
- 3Multiplications et divisions, de gauche à droite
- 4Additions et soustractions, de gauche à droite
3. Calculer avec les nombres relatifs
Addition. Deux nombres de même signe : on ajoute leurs distances à zéro et on garde le signe commun (-4 + (-7) = -11). Deux nombres de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro (-9 + 5 = -4).
Soustraction. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : 3 - (-8) = 3 + 8 = 11 et -2 - 6 = -2 + (-6) = -8.
Multiplication et division : la règle des signes.
| Signes | Résultat | Exemple |
|---|---|---|
| + par + | + | 4 × 5 = 20 |
| - par - | + | (-4) × (-5) = 20 |
| + par - ou - par + | - | (-24) ÷ 6 = -4 |
Quand il y a plusieurs facteurs, on compte les signes « moins » : s'il y en a un nombre pair, le produit est positif ; s'il y en a un nombre impair, il est négatif. Ainsi (-1) × (-2) × (-3) = -6 (trois signes moins).
4. Calculer avec les fractions
Une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : 68 = 34. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier (le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1). Au BEPC, on donne toujours le résultat final sous forme irréductible.
- Addition et soustraction : on met les fractions au même dénominateur, puis on ajoute ou on soustrait les numérateurs. 23 + 14 = 812 + 312 = 1112.
- Multiplication : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant avant de multiplier si c'est possible. 49 × 38 = 4 × 39 × 8 = 4 × 33 × 3 × 4 × 2 = 16.
- Division : diviser par une fraction non nulle, c'est multiplier par son inverse. 56 ÷ 103 = 56 × 310 = 1560 = 14.
5. Calculer avec les décimaux
Pour multiplier deux décimaux, on multiplie comme des entiers puis on place la virgule : le résultat a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis (0,3 × 0,2 = 0,06). Pour diviser par un décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100… pour que le diviseur devienne entier : 3,6 ÷ 0,12 = 360 ÷ 12 = 30.
Quand une expression mélange fractions et décimaux, il est souvent plus sûr de tout écrire en fractions : 0,75 = 34, 0,5 = 12, 1,2 = 65.
Méthode
Pour calculer une expression numérique :
- Je recopie l'expression et je repère les parenthèses, les multiplications et les divisions.
- Je calcule une seule priorité par ligne, et je recopie tout le reste sans rien changer.
- J'applique la règle des signes à chaque multiplication ou division.
- Avec des fractions : même dénominateur pour + et −, inverse pour ÷, simplification à chaque étape.
- Je donne le résultat final simplifié (fraction irréductible ou entier) et je vérifie qu'il est plausible.
Exemple
Calculer A = 7 − 3 × (5 − 8) + 12 ÷ 4.
Étape 1, la parenthèse : 5 − 8 = −3, donc A = 7 − 3 × (−3) + 12 ÷ 4.
Étape 2, multiplication et division : 3 × (−3) = −9 et 12 ÷ 4 = 3, donc A = 7 − (−9) + 3.
Étape 3, soustraire −9, c'est ajouter 9 : A = 7 + 9 + 3.
Résultat : A = 19.
Exemple
Calculer B = 23 + 56 × 45.
La multiplication est prioritaire : 56 × 45 = 5 × 46 × 5 = 46 = 23.
Puis l'addition : B = 23 + 23 = 43.
Résultat : B = 43 (fraction irréductible).
Exemple
Calculer C = (12 - 34) ÷ 58.
La parenthèse : 12 - 34 = 24 - 34 = -14.
La division devient une multiplication par l'inverse : C = -14 × 85 = -820.
On simplifie par 4 : C = -25.
3Je retiens
Je retiens
Ordre des priorités : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷ (de gauche à droite), puis + et − (de gauche à droite).
Un trait de fraction agit comme des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : a − (−b) = a + b.
Règle des signes : deux signes identiques donnent +, deux signes contraires donnent −.
ab + cb = a + cb ; ab × cd = a × cb × d ; ab ÷ cd = ab × dc.
Le résultat final se donne sous forme irréductible.
4Erreurs fréquentes
- Calculer de gauche à droite sans regarder les priorités : 10 + 3 × 2 vaut 16, pas 26. Souligne d'abord les multiplications et divisions.
- Oublier que « − (−9) » devient « + 9 ». Dès que tu vois deux signes qui se suivent, réécris : − (−) = +.
- Additionner les dénominateurs : 12 + 13 n'est pas 25. Il faut le même dénominateur : 36 + 26 = 56.
- Diviser par une fraction sans prendre son inverse : 23 ÷ 45 se calcule 23 × 54 = 1012 = 56.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule en respectant les priorités.
a) 15 - 4 × 3
b) (15 - 4) × 3
c) -6 + 18 ÷ (-3)
d) -3 × [4 - 2 × (1 - 6)]
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La multiplication d'abord : 15 - 12 = 3.
b) La parenthèse d'abord : 11 × 3 = 33. Les parenthèses changent tout le résultat.
c) La division d'abord : 18 ÷ (-3) = -6, donc -6 + (-6) = -12.
d) Parenthèse intérieure : 1 - 6 = -5. Dans le crochet : 4 - 2 × (-5) = 4 + 10 = 14. Enfin : -3 × 14 = -42.
2Exercice 2
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) 34 - 56
b) 73 × 914
c) 25 ÷ 415
d) 1 - 23 × 38
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a) Dénominateur commun 12 : 912 - 1012 = -112.
b) 7 × 93 × 14 = 7 × 3 × 33 × 7 × 2 = 32.
c) 25 × 154 = 3020 = 32.
d) Multiplication d'abord : 23 × 38 = 624 = 14. Puis 1 - 14 = 44 - 14 = 34.
3Exercice 3
Calcule sans calculatrice.
a) 4,5 - 2 × 1,25
b) 0,3 × 0,2
c) 7,2 ÷ 0,09
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2 × 1,25 = 2,5, donc 4,5 - 2,5 = 2.
b) 3 × 2 = 6 et il faut deux chiffres après la virgule : 0,06.
c) On multiplie les deux nombres par 100 : 720 ÷ 9 = 80.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne A = (23 - 12) ÷ (14 + 16) et B = 3 - 5 × (12 - 0,8).
a) Montre que A = 25.
b) Calcule B et écris-le sous forme de fraction irréductible.
c) Calcule A × B et A + B.
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a) Première parenthèse : 46 - 36 = 16. Deuxième : 312 + 212 = 512. Donc A = 16 ÷ 512 = 16 × 125 = 1230 = 25.
b) 12 - 0,8 = 0,5 - 0,8 = -0,3 ; 5 × (-0,3) = -1,5 ; B = 3 - (-1,5) = 4,5 = 92.
c) A × B = 25 × 92 = 1810 = 95. A + B = 410 + 4510 = 4910.
5Exercice 5
(Problème) Un cultivateur de la région de Kankan partage son champ : 13 du champ pour le manioc, 14 pour l'arachide et le reste pour le riz.
a) Quelle fraction du champ est cultivée en riz ?
b) Le champ a une superficie de 3,6 hectares. Calcule la superficie cultivée en riz.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le manioc et l'arachide occupent 13 + 14 = 412 + 312 = 712 du champ. Le riz occupe donc 1 - 712 = 1212 - 712 = 512 du champ.
b) Superficie en riz : 512 × 3,6 = 5 × (3,6 ÷ 12) = 5 × 0,3 = 1,5. Le riz occupe 1,5 hectare.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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