Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 27
La propriété de Thalès
Je sais reconnaître une configuration de Thalès et utiliser l'égalité des rapports pour calculer une longueur.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître les deux configurations de Thalès (triangles emboîtés et « papillon »)
- Écrire correctement l'égalité des trois rapports
- Calculer une longueur inconnue avec l'égalité des produits en croix
- Résoudre un problème concret de mesure indirecte
Avant de commencer : Les proportions et les produits en croix, les droites parallèles, le calcul avec les fractions et les nombres décimaux.
1Je découvre
Ibrahima veut connaître la hauteur du grand fromager qui se dresse à l'entrée de son village, près de Kouroussa. Impossible d'y grimper avec un mètre ruban !
Son professeur de mathématiques lui donne une idée. En fin d'après-midi, Ibrahima plante un bâton bien droit de 1,5 m dans le sol. Il mesure l'ombre du bâton : 2 m. Au même moment, il mesure l'ombre du fromager : 18 m.
Les rayons du soleil arrivent tous dans la même direction : ils sont parallèles. Le bâton et l'arbre sont tous les deux verticaux. On obtient donc deux triangles qui ont la même forme, l'un étant un agrandissement de l'autre. L'ombre de l'arbre est 9 fois plus longue que celle du bâton (18 ÷ 2 = 9) : Ibrahima devine que l'arbre est 9 fois plus haut que le bâton.
Quelle propriété justifie ce raisonnement, et comment l'utiliser pour calculer n'importe quelle longueur inaccessible ?
2Je comprends
1. La configuration de Thalès
On dit que deux triangles sont en configuration de Thalès quand :
- deux droites sécantes en un point A sont coupées par deux droites parallèles ;
- la première parallèle coupe les sécantes en M et N, la seconde en B et C.
Il existe deux dessins possibles :
- les triangles emboîtés : M est sur [AB] et N sur [AC] (le petit triangle AMN est « à l'intérieur » du grand triangle ABC) ;
- la configuration papillon : les points M et N sont de l'autre côté de A (les deux triangles sont opposés par le sommet A).
2. L'énoncé de la propriété
Propriété de Thalès. Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC.
Pour bien écrire les rapports, retiens cette astuce :
- au numérateur, les côtés du petit triangle AMN ;
- au dénominateur, les côtés correspondants du grand triangle ABC ;
- dans chaque rapport, les deux longueurs sont sur la même droite (sauf pour le troisième rapport, qui relie les côtés parallèles).
| Petit triangle AMN | AM | AN | MN |
|---|---|---|---|
| Grand triangle ABC | AB | AC | BC |
Ce tableau est un tableau de proportionnalité : les longueurs du petit triangle s'obtiennent en multipliant celles du grand par le même nombre k = AMAB, appelé coefficient de réduction.
3. La configuration papillon
La propriété s'écrit exactement de la même façon quand M et N sont de l'autre côté de A.
Méthode
Pour calculer une longueur avec la propriété de Thalès :
- Je repère le point commun aux deux sécantes et les deux droites parallèles.
- J'écris la phrase de justification : « Les droites … et … sont sécantes en … ; les droites … et … sont parallèles. D'après la propriété de Thalès : »
- J'écris l'égalité des trois rapports (petit triangle en haut, grand en bas).
- Je remplace par les longueurs connues et je garde les deux rapports utiles.
- Je calcule la longueur inconnue par un produit en croix et je donne l'unité.
Exemple
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC], avec (MN) // (BC).
AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm et BC = 6 cm. Calculer AN et MN.
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et (MN) // (BC).
D'après la propriété de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC,
soit 3/5 = AN/7 = MN/6.
AN = (3 × 7)/5 = 21/5 = 4,2 cm.
MN = (3 × 6)/5 = 18/5 = 3,6 cm.
Exemple
Les points A, O, C sont alignés, ainsi que B, O, D, et (AB) // (CD).
OA = 4 cm, OC = 6 cm, OB = 3 cm, AB = 5 cm. Calculer OD et CD.
Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O et (AB) // (CD).
D'après la propriété de Thalès : OA/OC = OB/OD = AB/CD,
soit 4/6 = 3/OD = 5/CD.
OD = (3 × 6)/4 = 18/4 = 4,5 cm.
CD = (5 × 6)/4 = 30/4 = 7,5 cm.
4. Retour au fromager d'Ibrahima
Appelons h la hauteur de l'arbre. Ibrahima place son bâton entre lui et l'arbre, de façon que l'extrémité de l'ombre du bâton tombe exactement au même point S que l'extrémité de l'ombre de l'arbre. Le rayon de soleil qui passe par le haut de l'arbre passe alors aussi par le haut du bâton. On a deux sécantes en S (le sol et ce rayon) et deux parallèles (le bâton et l'arbre, tous deux verticaux) : c'est une configuration de Thalès, et :
hauteur du bâtonh = ombre du bâtonombre de l'arbre, soit 1,5h = 218.
Donc h = 1,5 × 182 = 272 = 13,5 m. Le fromager mesure 13,5 m de haut.
5. Une conséquence : la droite des milieux
Si M est le milieu de [AB] et si (MN) est parallèle à (BC), alors AMAB = 12. D'après Thalès, ANAC = 12 : N est le milieu de [AC], et MN = BC2. C'est la propriété de la droite des milieux, que tu as vue en 8e année : c'est un cas particulier de Thalès.
3Je retiens
Je retiens
Configuration de Thalès : deux droites sécantes en A coupées par deux droites parallèles (MN) et (BC).
Si M ∈ (AB), N ∈ (AC) et (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur, côtés correspondants.
La propriété est valable pour les triangles emboîtés et pour la configuration papillon.
On calcule la longueur inconnue par un produit en croix.
Rédaction : « Les droites … sont sécantes en … et … // … ; d'après la propriété de Thalès … »
4Erreurs fréquentes
- Utiliser Thalès sans droites parallèles : la propriété exige que (MN) // (BC). Sans parallèles, les rapports ne sont pas égaux en général.
- Mélanger les triangles dans un même rapport : écrire AM/AC au lieu de AM/AB. Chaque rapport compare deux côtés correspondants, un du petit triangle et un du grand.
- Écrire AM/MB au lieu de AM/AB : dans la propriété, on divise par la longueur totale AB, pas par le morceau MB.
- Oublier l'unité ou arrondir trop tôt : on garde les fractions exactes jusqu'à la fin du calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans le triangle RST, E est un point de [RS] et F un point de [RT] tels que (EF) ∥ (ST). On donne RE = 2 cm, RS = 8 cm, RT = 10 cm et ST = 12 cm. Calcule RF et EF.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les droites (ES) et (FT) sont sécantes en R et (EF) ∥ (ST). D'après la propriété de Thalès : RERS = RFRT = EFST, soit 28 = RF10 = EF12.
RF = 2 × 108 = 2,5 cm et EF = 2 × 128 = 3 cm.
2Exercice 2
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et (AB) ∥ (CD). On donne OA = 5 cm, OC = 3 cm, OB = 6 cm et AB = 8 cm. Calcule OD et CD.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O et (AB) ∥ (CD). D'après la propriété de Thalès : OCOA = ODOB = CDAB, soit 35 = OD6 = CD8.
OD = 3 × 65 = 3,6 cm et CD = 3 × 85 = 4,8 cm.
3Exercice 3
Pour mesurer la hauteur d'un manguier, Mariama plante un bâton vertical de 1,2 m ; son ombre mesure 0,8 m. Au même moment, l'ombre du manguier mesure 6 m, et les deux ombres se terminent au même point. Calcule la hauteur du manguier.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les rayons du soleil sont parallèles et le bâton est dans une configuration de Thalès avec le manguier. En notant h la hauteur du manguier : 1,2h = 0,86.
h = 1,2 × 60,8 = 7,20,8 = 9 m. Le manguier mesure 9 m.
4Exercice 4
(Type BEPC) ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = 12 cm. E est le point de [AB] tel que AE = 2 cm. La parallèle à (BC) passant par E coupe [AC] en F.
a) Fais une figure.
b) Calcule AF et EF.
c) Calcule le périmètre du quadrilatère EBCF.
d) Calcule le rapport entre le périmètre du triangle AEF et celui du triangle ABC. Que remarques-tu ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On trace ABC, on place E sur [AB] à 2 cm de A, puis on trace la parallèle à (BC) passant par E.
b) Les droites (EB) et (FC) sont sécantes en A et (EF) ∥ (BC). D'après la propriété de Thalès : AEAB = AFAC = EFBC, soit 26 = AF9 = EF12.
AF = 2 × 96 = 3 cm et EF = 2 × 126 = 4 cm.
c) EB = 6 - 2 = 4 cm et FC = 9 - 3 = 6 cm. Périmètre de EBCF : 4 + 12 + 6 + 4 = 26 cm.
d) Périmètre de AEF : 2 + 3 + 4 = 9 cm. Périmètre de ABC : 6 + 9 + 12 = 27 cm. Rapport : 927 = 13. C'est le même rapport que AEAB : le triangle AEF est une réduction du triangle ABC de coefficient 13.
5Exercice 5
(Problème) Lansana veut connaître la largeur du fleuve Niger à un endroit, sans le traverser. Sur l'autre rive se trouve un arbre A. Sur sa rive, il place deux piquets B et C au bord de l'eau, puis deux autres piquets D et E plus loin, de sorte que A, B, D soient alignés, A, C, E soient alignés et (BC) ∥ (DE). Il mesure BD = 6 m, BC = 20 m et DE = 24 m. On note x = AB, la largeur du fleuve.
a) Montre que xx + 6 = 2024.
b) Déduis-en la largeur du fleuve à cet endroit.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A et (BC) ∥ (DE). D'après la propriété de Thalès : ABAD = BCDE. Comme B est entre A et D, AD = x + 6. Donc xx + 6 = 2024.
b) Produit en croix : 24x = 20(x + 6), soit 24x = 20x + 120, donc 4x = 120 et x = 30.
Le fleuve mesure 30 m de large à cet endroit. Vérification : 3036 = 56 et 2024 = 56.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
