Karamö, le prof virtuelLeçon 27 sur 27
La sphère et la boule
Je sais distinguer la sphère et la boule, calculer l'aire d'une sphère et le volume d'une boule, et déterminer la section d'une sphère par un plan.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la sphère et la boule de centre O et de rayon R
- Calculer l'aire d'une sphère (4πR²) et le volume d'une boule (4/3 πR³)
- Déterminer la nature et le rayon de la section d'une sphère par un plan
- Résoudre des problèmes concrets (réservoirs, récipients, globe terrestre)
Avant de commencer : Le cercle et le disque (périmètre, aire), la propriété de Pythagore, les puissances, les conversions d'unités d'aire, de volume et de capacité, l'agrandissement et la réduction.
1Je découvre
Ousmane et ses amis jouent au football sur le terrain du quartier, à Kissidougou. Le ballon est crevé ; en attendant d'en acheter un autre, Ousmane coupe une orange en deux pour la partager avec son frère Mamadou.
Mamadou remarque que la face coupée de l'orange est un disque, et que si l'on avait coupé plus près du bord, le disque aurait été plus petit. Il se demande aussi quelle quantité de cuir il faut pour fabriquer un ballon, et quelle quantité d'air il contient.
Leur grand-mère, qui conserve de l'eau fraîche dans une grande calebasse en forme de demi-boule, pose une autre question : « Combien de litres tient ma calebasse ? »
Le ballon, l'orange, la calebasse, et même la Terre, ont une forme « ronde dans toutes les directions ».
Comment décrire cette forme, et comment calculer sa surface et son volume ?
2Je comprends
1. Sphère et boule
Soient O un point de l'espace et R un nombre positif.
- La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R. C'est une surface : l'« enveloppe » du ballon, la peau de l'orange.
- La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM ≤ R. C'est un solide plein : l'orange entière.
Un segment qui joint deux points de la sphère en passant par O est un diamètre ; sa longueur est D = 2R.
La comparaison avec le plan est utile : la sphère est à l'espace ce que le cercle est au plan, et la boule est à l'espace ce que le disque est au plan.
- Cercle : points à la distance R du centre
- Disque : points à une distance ≤ R
- Périmètre du cercle : 2πR
- Aire du disque : πR²
- Sphère : points à la distance R du centre
- Boule : points à une distance ≤ R
- Aire de la sphère : 4πR²
- Volume de la boule : (4/3)πR³
2. Aire de la sphère et volume de la boule
Aire d'une sphère de rayon R : mathcalA = 4π R2.
Volume d'une boule de rayon R : V = 43π R3.
Pour s'en souvenir : l'aire de la sphère vaut exactement quatre fois l'aire d'un grand disque de même rayon (π R2). Une découverte due au savant grec Archimède : le volume de la boule vaut les deux tiers du volume du cylindre dans lequel elle tient exactement (rayon R, hauteur 2R). En effet, ce cylindre a pour volume π R2 × 2R = 2π R3 et 23 × 2π R3 = 43π R3.
Méthode
Pour calculer l'aire d'une sphère ou le volume d'une boule :
- Je repère le rayon R (si on me donne le diamètre, je le divise par 2).
- J'écris la formule : A = 4πR² ou V = (4/3)πR³.
- Je calcule R² ou R³ en premier, puis je multiplie.
- Je donne la valeur exacte (avec π), puis une valeur approchée avec l'unité (cm², cm³, L…).
Exemple
Un ballon a un rayon de 11 cm. Calculer l'aire de sa surface et son volume.
Aire : 4 × π × 11² = 4 × π × 121 = 484π cm² ≈ 1 520,53 cm².
Volume : (4/3) × π × 11³ = (4/3) × π × 1 331 = (5 324/3)π cm³ ≈ 5 575,28 cm³, soit environ 5,6 L.
Exemple
La calebasse de la grand-mère a la forme d'une demi-boule de rayon intérieur 15 cm. Quelle est sa contenance ?
Volume d'une demi-boule : (1/2) × (4/3) × π × 15³ = (2/3) × π × 3 375 = 2 250π cm³ ≈ 7 068,58 cm³.
Comme 1 L = 1 000 cm³, la calebasse contient environ 7,07 L.
Exemple
Une boule a un volume de 36π cm³. Quel est son rayon ?
(4/3)πR³ = 36π, donc R³ = 36 × 3/4 = 27, donc R = 3 cm (car 3 × 3 × 3 = 27).
3. Section d'une sphère par un plan
Couper une sphère de centre O et de rayon R par un plan mathcalP, c'est comme couper l'orange. Soit H le pied de la perpendiculaire à mathcalP issue de O, et d = OH la distance du centre au plan.
| Distance d | Section de la sphère |
|---|---|
| d < R | un cercle de centre H et de rayon r = √R2 - d2 |
| d = R | un seul point H : le plan est tangent à la sphère |
| d > R | rien : le plan ne coupe pas la sphère |
Pourquoi r = √R2 - d2 ? Si M est un point de la section, le triangle OHM est rectangle en H, avec OM = R et OH = d. D'après la propriété de Pythagore : HM2 = R2 - d2.
Si le plan passe par le centre (d = 0), la section a pour rayon R : c'est un grand cercle de la sphère. (Pour la boule, la section est le disque correspondant.)
Exemple
Une sphère de rayon 5 cm est coupée par un plan situé à 3 cm de son centre. Calculer le rayon et l'aire de la section.
r² = R² − d² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc r = 4 cm.
La section est un cercle de rayon 4 cm ; le disque de section a pour aire π × 4² = 16π cm² ≈ 50,27 cm².
4. La Terre, une sphère presque parfaite
On assimile souvent la Terre à une sphère de rayon moyen 6 371 km. L'équateur est un grand cercle ; les parallèles sont des sections de la sphère par des plans parallèles à celui de l'équateur, de plus en plus petites quand on s'approche des pôles ; les méridiens sont des demi-grands cercles qui joignent les deux pôles. La Guinée est située dans l'hémisphère Nord, entre l'équateur et le tropique du Cancer.
Aire approximative de la Terre : 4 × π × 6 3712 ≈ 510 millions de km².
3Je retiens
Je retiens
Sphère de centre O, rayon R : points M tels que OM = R (une surface). Boule : points tels que OM ≤ R (un solide).
Aire de la sphère : A = 4πR².
Volume de la boule : V = (4/3)πR³.
Section par un plan à la distance d du centre : cercle de rayon r = √(R² − d²) si d < R ; un point si d = R (plan tangent) ; rien si d > R.
Si le rayon est multiplié par k, l'aire est multipliée par k² et le volume par k³.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser le diamètre à la place du rayon : un ballon de 22 cm de diamètre a un rayon de 11 cm.
- Confondre les formules : 4πR² est une aire (cm²) ; (4/3)πR³ est un volume (cm³). Le cube R³ va avec le volume.
- Calculer (4/3)π R³ en faisant (4/3 × π × R)³ : on met seulement R au cube.
- Écrire r = R − d pour la section : il faut utiliser Pythagore, r = √(R² − d²).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'aire de la sphère et le volume de la boule de rayon :
a) 3 cm ; b) 6 cm. Compare les résultats de a) et b) : par combien l'aire et le volume ont-ils été multipliés ?
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a) mathcalA = 4π × 32 = 36π cm² ≈ 113,10 cm² ; V = 43π × 33 = 43π × 27 = 36π cm³ ≈ 113,10 cm³.
b) mathcalA = 4π × 62 = 144π cm² ≈ 452,39 cm² ; V = 43π × 63 = 43π × 216 = 288π cm³ ≈ 904,78 cm³.
Le rayon a doublé : l'aire est multipliée par 144π36π = 4 = 22 et le volume par 288π36π = 8 = 23.
2Exercice 2
Une orange a un diamètre de 8 cm. Calcule son volume (valeur exacte, puis arrondie au cm³).
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Rayon : 8 ÷ 2 = 4 cm. V = 43π × 43 = 43π × 64 = 2563π cm³ ≈ 268 cm³.
3Exercice 3
Une sphère a une aire de 100π cm². Calcule son rayon, puis le volume de la boule correspondante.
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4π R2 = 100π, donc R2 = 25 et R = 5 cm.
V = 43π × 53 = 43π × 125 = 5003π cm³ ≈ 523,60 cm³.
4Exercice 4
Une sphère de centre O a pour rayon 13 cm. On la coupe par trois plans situés à 5 cm, 13 cm et 15 cm de O. Décris chaque section et donne, quand elle existe, son rayon.
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À 5 cm : 5 < 13, la section est un cercle de rayon r = √132 - 52 = √169 - 25 = √144 = 12 cm.
À 13 cm : d = R, le plan est tangent à la sphère ; la section est réduite à un point.
À 15 cm : 15 > 13, le plan ne coupe pas la sphère ; il n'y a pas de section.
5Exercice 5
(Type BEPC) Un réservoir d'eau d'un village a la forme d'une boule de centre O et de rayon 10 dm.
a) Calcule le volume du réservoir en dm³ (valeur exacte, puis arrondie à l'unité), puis sa contenance en litres.
b) L'eau arrive à 6 dm au-dessus du centre O : la surface de l'eau est la section du réservoir par un plan horizontal situé à 6 dm de O. Calcule le rayon de cette surface.
c) Calcule l'aire de la surface de l'eau (arrondie au dm²).
d) On veut peindre l'extérieur du réservoir. Calcule l'aire à peindre en m² (arrondie au dixième).
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a) V = 43π × 103 = 4 0003π dm³ ≈ 4 189 dm³. Comme 1 dm³ = 1 L, le réservoir contient environ 4 189 L.
b) Le triangle formé par O, le centre H de la surface de l'eau et un point M du bord de cette surface est rectangle en H, avec OM = 10 dm et OH = 6 dm. HM2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64, donc HM = 8 dm.
c) Aire de la surface de l'eau : π × 82 = 64π dm² ≈ 201 dm².
d) Aire de la sphère : 4π × 102 = 400π dm² ≈ 1 256,64 dm². Comme 1 m² = 100 dm², l'aire à peindre est d'environ 12,6 m².
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6Je vérifie
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