Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 16
Les gaz parfaits
Je sais utiliser l'équation d'état des gaz parfaits PV = nRT et les lois qui en découlent pour calculer une pression, un volume, une température ou une quantité de matière de gaz.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire l'état d'un gaz par sa pression, son volume, sa température et sa quantité de matière
- Convertir une température en kelvins et une pression en pascals
- Utiliser l'équation d'état PV = nRT en unités SI
- Appliquer les lois de Boyle-Mariotte, de Charles et de Gay-Lussac
- Retrouver la valeur du volume molaire
Avant de commencer : La leçon « Quantité de matière » (mole, masse molaire, volume molaire, loi d'Avogadro-Ampère) ; la notion de pression vue en physique ; les conversions d'unités de volume.
1Je découvre
Avant de partir de Conakry pour Nzérékoré, le chauffeur du taxi-brousse, Ousmane, vérifie ses pneus le matin, à la fraîche. Il sait par expérience qu'après plusieurs heures de route sous le soleil, les pneus deviennent brûlants et « plus durs ». Un apprenti lui a même raconté qu'un pneu trop gonflé avait éclaté en plein après-midi sur la route de Kissidougou.
Au même moment, au lycée, Hawa joue avec une seringue en plastique dont elle bouche l'embout avec le doigt : quand elle enfonce le piston, elle sent l'air résister de plus en plus fort. Si elle chauffe un ballon de baudruche au soleil, il gonfle ; si elle le met dans l'eau froide, il se dégonfle un peu.
Dans les trois cas, un gaz est enfermé, et sa pression, son volume et sa température changent ensemble.
Quelle relation lie la pression, le volume, la température et la quantité de matière d'un gaz, et comment l'utiliser pour prévoir son comportement ?
2Je comprends
1. Les grandeurs qui décrivent un gaz
L'état d'un gaz enfermé est décrit par quatre grandeurs :
| Grandeur | Symbole | Unité SI | Autres unités courantes |
|---|---|---|---|
| Pression | P | pascal (Pa) | 1 hPa = 100 Pa ; 1 bar = 105 Pa ; 1 atm = 101 325 Pa |
| Volume | V | mètre cube (m³) | 1 L = 1 dm³ = 10-3 m³ ; 1 mL = 10-6 m³ |
| Température absolue | T | kelvin (K) | T = θ + 273 (θ en °C) |
| Quantité de matière | n | mole (mol) |
La température absolue s'exprime en kelvins. Le zéro absolu, 0 K, correspond à −273 °C (plus exactement −273,15 °C) : c'est la température la plus basse possible. Une variation de 1 °C est égale à une variation de 1 K. Exemple : 27 °C correspondent à 27 + 273 = 300 K.
Au niveau microscopique, la pression d'un gaz est due aux chocs incessants des molécules contre les parois ; la température mesure l'agitation des molécules : plus le gaz est chaud, plus elles vont vite.
2. Le modèle du gaz parfait
Un gaz parfait est un modèle : on suppose que les molécules sont très petites par rapport à la distance qui les sépare, et qu'elles n'exercent aucune action les unes sur les autres, sauf lors des chocs. Aux pressions faibles ou moyennes (de l'ordre de la pression atmosphérique) et aux températures ordinaires, l'air, le dioxygène, le diazote ou le dihydrogène se comportent presque comme des gaz parfaits.
3. L'équation d'état des gaz parfaits
Pour un gaz parfait :
P × V = n × R × T
avec P en Pa, V en m³, n en mol, T en K et R = 8,31 J·mol⁻¹·K⁻¹, la constante des gaz parfaits.
Cette relation n'est valable qu'avec les unités SI. C'est la source d'erreur numéro un.
On retrouve le volume molaire. Pour n = 1 mol, Vm = RTP.
- À 0 °C (T = 273 K) et P = 1,013 × 105 Pa : Vm = 8,31 × 2731,013 × 105 ≈ 0,0224 m³ = 22,4 L/mol.
- À 20 °C (T = 293 K), même pression : Vm = 8,31 × 2931,013 × 105 ≈ 0,0240 m³ = 24,0 L/mol.
C'est exactement ce que tu as utilisé dans la leçon précédente : Vm ne dépend que de T et de P, pas de la nature du gaz.
Exemple
Quantité d'air dans une salle de classe.
Salle de 8 m × 6 m × 3 m : V = 144 m³. Température 30 °C : T = 303 K. P = 1,013 × 10⁵ Pa.
n = PV / (RT) = (1,013 × 10⁵ × 144) / (8,31 × 303) ≈ 5 790 mol d'air.
Avec M(air) ≈ 29 g/mol : m ≈ 5 790 × 29 ≈ 168 000 g, soit environ 168 kg d'air dans la classe.
4. Les lois des gaz (quantité de matière constante)
Si le gaz est enfermé (n constant), PVT = nR est constant. Entre un état 1 et un état 2 :
P1 V1T1 = P2 V2T2
On en déduit trois lois, en fixant une grandeur de plus.
Loi de Boyle-Mariotte (température constante) : P × V = constante, soit P1 V1 = P2 V2. Si on divise le volume par 2, la pression double. C'est ce que ressent Hawa avec sa seringue.
Loi de Charles (volume constant) : PT = constante, soit P1T1 = P2T2. Quand on chauffe un gaz dans un récipient rigide, sa pression augmente : c'est le pneu d'Ousmane.
Loi de Gay-Lussac (pression constante) : VT = constante, soit V1T1 = V2T2. Quand on chauffe un gaz dont la pression reste égale à la pression extérieure, il se dilate : c'est le ballon de baudruche au soleil.
| Grandeur fixée | Loi | Relation |
|---|---|---|
| n et T | Boyle-Mariotte | P1V1 = P2V2 |
| n et V | Charles | P1T1 = P2T2 |
| n et P | Gay-Lussac | V1T1 = V2T2 |
| P et T | Avogadro-Ampère | Vn = constante = Vm |
Exemple
Le pneu du taxi-brousse (loi de Charles).
Le matin, à 27 °C, la pression absolue de l'air dans un pneu est 3,0 bar. Après des heures de route, l'air du pneu atteint 57 °C. On suppose le volume du pneu constant.
T₁ = 27 + 273 = 300 K ; T₂ = 57 + 273 = 330 K.
P₂ = P₁ × T₂ / T₁ = 3,0 × 330 / 300 = 3,3 bar.
La pression augmente de 10 %. C'est pour cela qu'on règle la pression des pneus à froid et qu'il ne faut jamais dégonfler un pneu chaud.
(Remarque : le manomètre de la station indique en général la surpression par rapport à l'air extérieur, pas la pression absolue.)
Exemple
La seringue de Hawa (loi de Boyle-Mariotte).
La seringue bouchée contient 60 mL d'air à la pression P₁ = 1,0 × 10⁵ Pa. Hawa enfonce le piston lentement jusqu'à 20 mL, à température constante.
P₂ = P₁ × V₁ / V₂ = 1,0 × 10⁵ × 60 / 20 = 3,0 × 10⁵ Pa.
Le volume est divisé par 3, la pression est multipliée par 3. Ici, les volumes peuvent rester en mL, car ils apparaissent sous forme de rapport.
Méthode
Pour résoudre un problème sur les gaz parfaits :
- Je relève les données de chaque état et je convertis les températures en kelvins (T = θ + 273).
- Si je cherche n, ou si j'utilise PV = nRT, je convertis tout en SI : P en Pa, V en m³.
- Si le gaz est enfermé et passe d'un état 1 à un état 2, j'utilise P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ (les unités de P et de V doivent seulement être les mêmes dans les deux états ; T toujours en K).
- Je repère la grandeur constante pour choisir la loi la plus simple.
- Je vérifie le sens du résultat : un gaz chauffé à volume constant voit sa pression augmenter, etc.
5. Déterminer une masse molaire
Comme n = mM, l'équation d'état devient PV = mMRT, d'où M = mRTPV. En pesant un volume connu de gaz à P et T connues, on trouve sa masse molaire, donc souvent sa nature (exercice 5).
3Je retiens
Je retiens
Équation d'état : PV = nRT, avec P (Pa), V (m³), n (mol), T (K), R = 8,31 J·mol⁻¹·K⁻¹.
T (K) = θ (°C) + 273 ; 1 bar = 10⁵ Pa ; 1 L = 10⁻³ m³ ; 1 mL = 10⁻⁶ m³.
Gaz enfermé : P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.
Boyle-Mariotte (T constante) : PV = constante. Charles (V constant) : P/T = constante. Gay-Lussac (P constante) : V/T = constante.
Vₘ = RT/P : 22,4 L/mol à 0 °C, 24,0 L/mol à 20 °C sous 1 013 hPa.
Masse molaire d'un gaz : M = mRT / (PV).
4Erreurs fréquentes
- Garder la température en degrés Celsius : toutes les lois des gaz utilisent T en kelvins. À 0 °C, T vaut 273 K, pas 0.
- Utiliser PV = nRT avec des litres ou des bars : il faut des m³ et des Pa.
- Croire que doubler la température en °C double la pression : de 20 °C à 40 °C, T passe de 293 K à 313 K, soit une hausse d'environ 7 % seulement.
- Oublier de vérifier ce qui reste constant avant de choisir la loi.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Convertis : a) 25 °C et −23 °C en kelvins ; b) 2,5 bar et 1 013 hPa en pascals ; c) 250 mL et 30 L en m³.
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a) 25 + 273 = 298 K ; -23 + 273 = 250 K.
b) 2,5 bar = 2,5 × 105 Pa ; 1 013 hPa = 1 013 × 100 = 1,013 × 105 Pa.
c) 250 mL = 250 × 10-6 = 2,5 × 10-4 m³ ; 30 L = 30 × 10-3 = 3,0 × 10-2 m³.
2Exercice 2
Une bouteille d'oxygène médical de 20 L contient du dioxygène sous une pression de 150 × 105 Pa à 20 °C.
a) Calcule la quantité de matière de dioxygène.
b) Calcule sa masse.
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a) P = 1,5 × 107 Pa ; V = 2,0 × 10-2 m³ ; T = 293 K.
n = PVRT = 1,5 × 107 × 2,0 × 10-28,31 × 293 = 3,0 × 1052 434,8 ≈ 123 mol.
b) m = n × M = 123 × 32 ≈ 3 940 g, soit environ 3,9 kg.
(À une pression aussi élevée, le dioxygène s'écarte un peu du modèle du gaz parfait : ce résultat est une estimation.)
3Exercice 3
Un ballon contient 2,0 L d'air à 20 °C. On le laisse au soleil ; l'air qu'il contient atteint 45 °C, à pression constante.
a) Quelle loi s'applique ?
b) Calcule le nouveau volume du ballon.
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a) n et P constantes : loi de Gay-Lussac, V1T1 = V2T2.
b) T1 = 293 K ; T2 = 318 K. V2 = V1 × T2T1 = 2,0 × 318293 ≈ 2,17 L.
4Exercice 4
On comprime lentement, à température constante, 1,2 L d'un gaz sous 1,0 × 105 Pa jusqu'à une pression de 4,0 × 105 Pa. Calcule le volume final.
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Loi de Boyle-Mariotte : V2 = P1 V1P2 = 1,0 × 105 × 1,24,0 × 105 = 0,30 L.
5Exercice 5
(Synthèse) Pour identifier un gaz, Alpha remplit un flacon de 250 mL à 27 °C sous 1,0 × 105 Pa. La masse du gaz est 0,58 g.
a) Calcule la quantité de matière de gaz.
b) Calcule sa masse molaire.
c) Le gaz est-il du méthane (CH4), du butane (C4H10) ou du dioxyde de carbone (CO2) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) V = 2,5 × 10-4 m³ ; T = 300 K. n = PVRT = 1,0 × 105 × 2,5 × 10-48,31 × 300 = 252 493 ≈ 1,00 × 10-2 mol.
b) M = mn = 0,581,00 × 10-2 ≈ 58 g/mol.
c) M(CH4) = 16 g/mol ; M(C4H10) = 58 g/mol ; M(CO2) = 44 g/mol. Le gaz est du butane.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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