Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 22
Ensembles de nombres
Je sais reconnaître à quel ensemble de nombres (N, Z, D, Q, R) appartient un nombre et utiliser correctement les symboles ∈, ∉ et ⊂.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir les ensembles N, Z, D, Q et R
- Déterminer le plus petit ensemble auquel appartient un nombre donné
- Utiliser les symboles ∈, ∉, ⊂ et les notations N*, R+, R*
- Justifier qu'une fraction est ou n'est pas un nombre décimal
Avant de commencer : Les quatre opérations sur les entiers et les décimaux, la simplification des fractions et la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers (collège).
1Je découvre
Au marché de Kankan, Sékou vend des mangues. En fin de journée, il fait ses comptes dans un cahier. Il a écrit plusieurs nombres :
- 48 mangues vendues ;
- une dette de 15 000 GNF envers son fournisseur, qu'il note -15 000 ;
- 2,5 kg de mangues abîmées ;
- sa part du bénéfice, partagé en trois avec ses deux frères : 13 ;
- le côté d'un carton carré dont la diagonale mesure 1 m : il a lu que ce côté vaut √22 m.
Sa petite sœur Kadiatou, élève de 11e, remarque : « Tous ces nombres ne sont pas de la même famille. 48 sert à compter, -15 000 est négatif, 2,5 s'écrit avec une virgule, 13 ne tombe jamais juste quand on fait la division, et √22… on ne peut même pas l'écrire comme une fraction ! »
Comment classer tous les nombres que nous utilisons, et comment savoir à quelle famille appartient un nombre donné ?
2Je comprends
1. Les entiers naturels : l'ensemble N
Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter : 0, 1, 2, 3, 4, …
Leur ensemble se note N (en caractères spéciaux : ℕ).
On écrit 48 ∈ ℕ (on lit « 48 appartient à N ») et -3 ∉ ℕ (« -3 n'appartient pas à N »).
L'ensemble des entiers naturels non nuls se note ℕ^* : ℕ^* = {1, 2, 3, …}. De manière générale, une étoile signifie « privé de zéro ».
2. Les entiers relatifs : l'ensemble Z
Les entiers relatifs sont les entiers positifs et négatifs : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Leur ensemble se note Z (ℤ). Il permet d'écrire une dette, une température négative, un étage en sous-sol.
Tout entier naturel est un entier relatif : on dit que N est inclus dans Z et on écrit ℕ ⊂ ℤ.
3. Les nombres décimaux : l'ensemble D
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a10n, où a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. Autrement dit, c'est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Leur ensemble se note D (ⅅ).
Exemples : 2,5 = 2510 ; -0,037 = -371000 ; 7 = 7100.
Tout entier relatif est décimal (avec n = 0) : ℤ ⊂ ⅅ.
Critère pratique. Une fraction irréductible ab (avec b > 0) est un nombre décimal si et seulement si la décomposition de b en facteurs premiers ne contient que des 2 et des 5.
Pourquoi ? Parce que 10n = 2n × 5n : on peut compléter un dénominateur de la forme 2p × 5q pour obtenir une puissance de 10, mais jamais un dénominateur qui contient un 3, un 7, un 11…
4. Les nombres rationnels : l'ensemble Q
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient ab, où a ∈ ℤ et b ∈ ℕ^*.
Leur ensemble se note Q (ℚ), de l'italien quoziente (quotient).
Exemples : 13 ; -57 ; 2,5 = 52 ; -4 = -41.
Tout décimal est rationnel (car a10n est un quotient) : ⅅ ⊂ ℚ. Mais la réciproque est fausse : 13 est rationnel sans être décimal.
Démonstration que 13 ∉ ⅅ. Supposons que 13 = a10n avec a entier. Alors 10n = 3a, donc 3 diviserait 10n = 2n × 5n. C'est impossible, car les seuls facteurs premiers de 10n sont 2 et 5. Donc 13 n'est pas décimal. D'ailleurs, sa division ne s'arrête jamais : 13 = 0,333…
5. Les nombres réels : l'ensemble R
Certains nombres ne peuvent pas s'écrire comme un quotient d'entiers : √2, √3, π… On les appelle des nombres irrationnels (tu en verras la démonstration dans la leçon sur les nombres irrationnels).
L'ensemble formé de tous les rationnels et de tous les irrationnels est l'ensemble des nombres réels, noté R (ℝ). Chaque réel correspond à un point, et un seul, d'une droite graduée : c'est pourquoi on parle de droite des réels.
Notations utiles :
- ℝ^* : les réels non nuls ;
- ℝ_+ : les réels positifs ou nuls ; ℝ_- : les réels négatifs ou nuls ;
- ℝ_+^* : les réels strictement positifs.
6. La chaîne des inclusions
On obtient :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- 1N : entiers naturels 0, 1, 2, 3… (compter)
- 2Z : on ajoute les entiers négatifs −1, −2, −3… (dettes, températures)
- 3D : on ajoute les nombres à écriture décimale finie comme 2,5 ou −0,037
- 4Q : on ajoute les quotients qui ne tombent pas juste comme 1/3 ou 2/7
- 5R : on ajoute les irrationnels comme √2 ou π (tous les points de la droite)
| Nombre | N | Z | D | Q | R |
|---|---|---|---|---|---|
| 48 | oui | oui | oui | oui | oui |
| -15 000 | non | oui | oui | oui | oui |
| 2,5 | non | non | oui | oui | oui |
| 13 | non | non | non | oui | oui |
| √22 | non | non | non | non | oui |
Attention au symbole : ∈ relie un nombre à un ensemble (3 ∈ ℤ) ; ⊂ relie deux ensembles (ℤ ⊂ ℚ).
7. Trouver le plus petit ensemble d'un nombre
Un nombre peut se présenter sous une forme trompeuse. Avant de conclure, il faut simplifier.
Méthode
Pour trouver le plus petit ensemble auquel appartient un nombre :
- J'effectue les calculs et je simplifie (fraction irréductible, racine d'un carré parfait…).
- Si j'obtiens un entier positif ou nul : il est dans N.
- Si j'obtiens un entier négatif : il est dans Z.
- Si j'obtiens une fraction irréductible dont le dénominateur n'a que des facteurs 2 et 5 : il est dans D.
- Si j'obtiens une autre fraction d'entiers : il est dans Q.
- Sinon (racine d'un nombre qui n'est pas un carré parfait, π…) : il est seulement dans R.
Exemple
Classer les nombres suivants : −12/4 ; 7/4 ; 5/6 ; √49 ; √5.
−12/4 = −3 : c'est un entier négatif, donc −12/4 ∈ Z (et −12/4 ∉ N).
7/4 : fraction irréductible, 4 = 2 × 2. Donc 7/4 ∈ D. En effet 7/4 = 175/100 = 1,75.
5/6 : fraction irréductible, 6 = 2 × 3 contient le facteur 3. Donc 5/6 ∈ Q mais 5/6 ∉ D (5/6 = 0,8333…).
√49 = 7 : donc √49 ∈ N.
√5 : 5 n'est pas le carré d'un entier ; √5 est irrationnel. Donc √5 ∈ R mais √5 ∉ Q.
Exemple
Montrer que 21/60 est un nombre décimal et donner son écriture décimale.
On simplifie : 21/60 = (3 × 7)/(3 × 20) = 7/20. La fraction 7/20 est irréductible.
20 = 2² × 5 : il n'y a que des facteurs 2 et 5, donc 21/60 ∈ D.
Pour obtenir 100 au dénominateur, on multiplie par 5 : 7/20 = 35/100 = 0,35.
Remarque : sans simplifier, on aurait vu 60 = 2² × 3 × 5 et on aurait cru à tort que le nombre n'est pas décimal.
8. Retour au cahier de Sékou
Les 48 mangues sont dans N ; la dette -15 000 est dans Z ; 2,5 kg est dans D ; sa part 13 est dans Q ; le côté √22 m est un réel irrationnel. Tous ces nombres sont des réels : R est l'ensemble dans lequel on fera presque tous les calculs du lycée.
3Je retiens
Je retiens
N = entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; …} ; Z = entiers relatifs {… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …}.
D = nombres de la forme a/10ⁿ (a ∈ Z, n ∈ N) : écriture décimale finie.
Q = nombres de la forme a/b (a ∈ Z, b ∈ N*).
R = tous les nombres de la droite graduée : rationnels et irrationnels (√2, π…).
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Une fraction irréductible a/b est décimale si et seulement si b ne contient que des facteurs premiers 2 et 5.
∈ relie un nombre à un ensemble ; ⊂ relie deux ensembles. L'étoile * signifie « privé de 0 ».
4Erreurs fréquentes
- Conclure sans simplifier : −18/6 a l'air d'une fraction, mais c'est −3, un entier relatif. De même √81 = 9 est un entier naturel.
- Appliquer le critère des facteurs 2 et 5 à une fraction non irréductible : 3/12 = 1/4 est décimal (0,25), même si 12 contient le facteur 3.
- Écrire 3 ⊂ Z : un nombre « appartient » (∈) à un ensemble ; seul un ensemble peut être « inclus » (⊂) dans un autre.
- Croire qu'une calculatrice prouve qu'un nombre est décimal : elle affiche 1/3 ≈ 0,3333333 en coupant les chiffres, mais 1/3 n'est pas décimal.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète avec ∈ ou ∉.
a) -7 … ℕ b) -7 … ℤ c) 0,25 … ⅅ d) 23 … ⅅ e) π … ℚ f) √16 … ℕ
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a) -7 ∉ ℕ (négatif). b) -7 ∈ ℤ. c) 0,25 ∈ ⅅ (0,25 = 25100). d) 23 ∉ ⅅ (fraction irréductible et 3 n'est ni 2 ni 5). e) π ∉ ℚ (π est irrationnel). f) √16 = 4, donc √16 ∈ ℕ.
2Exercice 2
Donne le plus petit ensemble (parmi N, Z, D, Q, R) auquel appartient chaque nombre.
a) 357 b) -248 c) 940 d) 415 e) √3 f) √36-2
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a) 357 = 5 : N.
b) -248 = -3 : Z.
c) 940 est irréductible et 40 = 23 × 5 : D (en effet 940 = 2251000 = 0,225).
d) 415 est irréductible et 15 = 3 × 5 contient 3 : Q.
e) 3 n'est pas un carré parfait, √3 est irrationnel : R.
f) √36-2 = 6-2 = -3 : Z.
3Exercice 3
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.
a) Tout nombre rationnel est décimal.
b) Tout entier relatif est rationnel.
c) ℚ ⊂ ⅅ.
d) Il existe un nombre décimal qui n'est pas entier.
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a) Faux : 13 est rationnel mais pas décimal.
b) Vrai : tout entier n s'écrit n1.
c) Faux : c'est l'inverse, ⅅ ⊂ ℚ, et 13 ∈ ℚ mais 13 ∉ ⅅ.
d) Vrai : 0,5 est décimal et n'est pas entier.
4Exercice 4
a) Montre que 27150 est un nombre décimal et donne son écriture décimale.
b) Montre que 27 n'est pas un nombre décimal.
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a) 27 = 33 et 150 = 2 × 3 × 52 ; on simplifie par 3 : 27150 = 950, fraction irréductible. 50 = 2 × 52 ne contient que des 2 et des 5 : c'est un décimal. 950 = 18100 = 0,18.
b) 27 est irréductible. Supposons 27 = a10n avec a entier : alors 2 × 10n = 7a, donc 7 diviserait 2 × 10n = 2n+1 × 5n, ce qui est impossible car 7 est premier et différent de 2 et de 5. Donc 27 ∉ ⅅ.
5Exercice 5
(Type examen) On considère les nombres A = 34 + 12, B = 13 - 12 et C = 156 × 45.
a) Calcule A, B et C et donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.
b) Pour chacun, indique le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q auquel il appartient.
c) Mariama affirme : « Le produit de deux nombres non décimaux n'est jamais décimal. » Montre qu'elle se trompe en utilisant les nombres 73 et 37.
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a) A = 34 + 24 = 54.
B = 26 - 36 = -16.
C = 15 × 46 × 5 = 6030 = 2.
b) A = 54 : 4 = 22, donc A ∈ ⅅ (A = 1,25) ; plus petit ensemble : D.
B = -16 : 6 = 2 × 3, donc B ∉ ⅅ ; plus petit ensemble : Q.
C = 2 : plus petit ensemble : N.
c) 73 et 37 sont des fractions irréductibles dont les dénominateurs (3 et 7) ne sont pas de la forme 2p × 5q : aucun des deux n'est décimal. Pourtant 73 × 37 = 2121 = 1, qui est un entier, donc un décimal. L'affirmation de Mariama est fausse : un seul contre-exemple suffit pour le prouver.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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