Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 22
Les nombres irrationnels
Je sais ce qu'est un nombre irrationnel, je sais démontrer que √2 est irrationnel et je sais prouver qu'un nombre construit à partir d'un irrationnel l'est aussi.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un nombre irrationnel et en citer des exemples
- Comprendre et refaire la démonstration par l'absurde de l'irrationalité de √2
- Savoir que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle
- Placer un irrationnel comme √2 sur une droite graduée
Avant de commencer : Les leçons « Ensembles de nombres » et « Nombres rationnels », la parité des entiers et le théorème de Pythagore.
1Je découvre
Mamadou, menuisier à Mamou, fabrique un cadre carré de 1 m de côté pour une fenêtre. Pour le rigidifier, il veut clouer une baguette en diagonale. Par le théorème de Pythagore, la diagonale d vérifie :
d2 = 12 + 12 = 2, donc d = √2 m.
Sur son mètre ruban, il lit un peu plus de 1,41 m. Son apprenti Lansana tape √2 sur la calculatrice : 1,414213562. Il demande : « Si on avait une calculatrice plus puissante, on finirait par trouver le dernier chiffre, ou bien la période qui se répète ? »
Mamadou n'en sait rien. Pourtant, les mathématiciens de la Grèce antique ont prouvé, il y a plus de deux mille ans, que la réponse est non : il n'y a ni dernier chiffre, ni période.
Comment peut-on être certain qu'un nombre comme √2 ne s'écrira jamais sous forme de fraction ?
2Je comprends
1. Définition
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qui ne peut pas s'écrire ab avec a ∈ ℤ et b ∈ ℕ^*.
L'ensemble des irrationnels se note ℝ setminus ℚ (« R privé de Q »). Tout réel est donc soit rationnel, soit irrationnel, jamais les deux.
D'après la leçon précédente, un irrationnel a un développement décimal illimité et non périodique.
Exemples à connaître :
- √2 ≈ 1,414 ; √3 ≈ 1,732 ; √5 ≈ 2,236 ;
- plus généralement, √n est irrationnel lorsque n est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait (propriété admise en 11e) ;
- π ≈ 3,1416, le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre (son irrationalité est admise).
Attention : √9 = 3, √0,25 = 0,5 et √49 = 23 sont rationnels.
2. Un outil : la parité du carré
Pour démontrer que √2 est irrationnel, on a besoin d'un petit résultat.
Lemme. Si le carré d'un entier n est pair, alors n est pair.
Preuve. Montrons que si n est impair, alors n2 est impair. Si n est impair, il s'écrit n = 2k + 1 avec k entier. Alors n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 : c'est un nombre impair. Donc un entier impair a toujours un carré impair ; par conséquent, si n2 est pair, n ne peut pas être impair : il est pair.
3. La démonstration par l'absurde : √2 est irrationnel
Un raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce qu'on veut montrer, puis à en déduire une contradiction (une chose impossible). On conclut alors que la supposition de départ était fausse.
- 1Supposons que √2 = a/b, fraction irréductible (a et b entiers, b non nul).
- 2En élevant au carré : 2 = a²/b², donc a² = 2b². Ainsi a² est pair, donc a est pair.
- 3On écrit a = 2k. Alors 4k² = 2b², soit b² = 2k². Donc b² est pair, et b est pair.
- 4a et b sont tous deux pairs : la fraction a/b n'était pas irréductible. Contradiction !
- 5Conclusion : la supposition est fausse, √2 n'est pas rationnel : √2 est irrationnel.
Ce raisonnement est un modèle : on l'adapte pour prouver que √3, √5… sont irrationnels (voir l'exercice 4).
4. Placer √2 sur la droite des réels
Un irrationnel n'a pas d'écriture décimale exacte, mais il correspond à un point précis de la droite. On construit un carré de côté 1 sur la droite graduée ; sa diagonale mesure √2. Avec un compas, on reporte cette diagonale sur la droite à partir de 0.
5. Opérations avec les irrationnels
Propriété 1. La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel.
Preuve (par l'absurde). Soit r rationnel et x irrationnel. Supposons que s = r + x soit rationnel. Alors x = s - r est la différence de deux rationnels, donc un rationnel (ℚ est stable par soustraction). C'est impossible puisque x est irrationnel. Donc r + x est irrationnel.
Propriété 2. Le produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est un irrationnel. (Même preuve : si r × x = q rationnel, alors x = qr serait rationnel.)
Attention : la somme ou le produit de deux irrationnels peut être rationnel ou irrationnel :
- √2 + (-√2) = 0 (rationnel) ; √2 × √2 = 2 (rationnel) ;
- √2 + √2 = 2√2 (irrationnel par la propriété 2).
Méthode
Pour montrer qu'un nombre est irrationnel :
- Je simplifie le nombre (par exemple √8 = 2√2, √(9/4) = 3/2).
- S'il s'écrit r + x ou r × x avec r rationnel (non nul pour le produit) et x irrationnel connu, j'applique la propriété 1 ou 2.
- Sinon, je raisonne par l'absurde : je suppose qu'il est rationnel et j'isole un irrationnel connu pour obtenir une contradiction.
- Je rédige une conclusion claire : « donc … est irrationnel ».
Exemple
Montrer que 3 + √2 est irrationnel.
3 est rationnel et √2 est irrationnel. D'après la propriété 1, leur somme 3 + √2 est irrationnelle.
Rédaction par l'absurde : si 3 + √2 = q avec q rationnel, alors √2 = q − 3 serait rationnel, ce qui est faux.
Exemple
Le nombre √8 est-il rationnel ?
√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2.
2 est un rationnel non nul et √2 est irrationnel : d'après la propriété 2, 2√2 est irrationnel.
Donc √8 est irrationnel (ce qui est cohérent : 8 n'est pas un carré parfait).
Exemple
Montrer que 1/√2 est irrationnel.
1/√2 = √2/(√2 × √2) = √2/2 = (1/2) × √2.
1/2 est un rationnel non nul et √2 est irrationnel, donc 1/√2 est irrationnel.
6. Bilan
| Nombre | Simplification | Nature |
|---|---|---|
| √49 | 7 | rationnel (entier) |
| √94 | 32 | rationnel (décimal : 1,5) |
| √12 | 2√3 | irrationnel |
| 5 - √3 | — | irrationnel |
| (√5)2 | 5 | rationnel |
| 2π | — | irrationnel |
Pour Mamadou, la conclusion est nette : la diagonale de son cadre mesure exactement √2 m, un nombre qu'aucune fraction et aucune écriture décimale finie ne peut donner. En pratique, il coupera sa baguette à 1,414 m, une valeur approchée au millimètre.
3Je retiens
Je retiens
Un irrationnel est un réel qui ne peut pas s'écrire a/b (a ∈ Z, b ∈ N*) ; son développement décimal est illimité et non périodique.
√n est irrationnel si l'entier n n'est pas un carré parfait ; π est irrationnel.
Si n² est pair, alors n est pair.
Raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.
Rationnel + irrationnel = irrationnel ; rationnel non nul × irrationnel = irrationnel.
Deux irrationnels peuvent avoir une somme ou un produit rationnel (√2 × √2 = 2).
4Erreurs fréquentes
- Croire que toute racine carrée est irrationnelle : √16 = 4 et √0,49 = 0,7 sont rationnels. Il faut toujours simplifier d'abord.
- Écrire « √2 = 1,414 » : c'est faux, √2 ≈ 1,414 n'est qu'une valeur approchée. On utilise le signe ≈.
- Penser que la somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle : (1 + √2) + (1 − √2) = 2.
- Dans la démonstration de √2, oublier l'hypothèse « fraction irréductible » : c'est elle qui crée la contradiction à la fin.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque nombre, dis s'il est rationnel ou irrationnel, en justifiant.
a) √36 b) √7 c) √0,81 d) √18 e) π2 f) (√3)2
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a) √36 = 6 : rationnel.
b) 7 n'est pas un carré parfait : √7 est irrationnel.
c) √0,81 = 0,9 car 0,92 = 0,81 : rationnel.
d) √18 = √9 × 2 = 3√2 : produit du rationnel non nul 3 par l'irrationnel √2, donc irrationnel.
e) π2 = 12 × π : produit d'un rationnel non nul par un irrationnel, donc irrationnel.
f) (√3)2 = 3 : rationnel.
2Exercice 2
Montre que les nombres suivants sont irrationnels.
a) √2 - 5 b) 3√24 c) √50
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a) √2 - 5 = (-5) + √2 : somme du rationnel -5 et de l'irrationnel √2, donc irrationnel.
b) 3√24 = 34 × √2 : produit du rationnel non nul 34 par √2, donc irrationnel.
c) √50 = √25 × 2 = 5√2 : irrationnel (propriété 2).
3Exercice 3
Donne deux nombres irrationnels dont la somme est égale à 10, puis deux nombres irrationnels dont le produit est égal à 3.
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Somme : 5 + √2 et 5 - √2 sont irrationnels (propriété 1) et leur somme vaut 10.
Produit : √3 et √3 sont irrationnels et √3 × √3 = 3. (Autre réponse : 2√3 et √32, dont le produit vaut 2 × 32 = 3.)
4Exercice 4
(Démonstration) On veut prouver que √3 est irrationnel.
a) Tout entier n s'écrit 3k, 3k + 1 ou 3k + 2 (k entier). Calcule n2 dans chaque cas et déduis-en : « si n2 est un multiple de 3, alors n est un multiple de 3 ».
b) Suppose que √3 = ab avec ab irréductible. Montre que a puis b sont multiples de 3 et conclus.
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a) Si n = 3k : n2 = 9k2 = 3(3k2), multiple de 3.
Si n = 3k + 1 : n2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1, pas multiple de 3.
Si n = 3k + 2 : n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1, pas multiple de 3.
Seul le cas n = 3k donne un carré multiple de 3 : donc si n2 est multiple de 3, n est multiple de 3.
b) Supposons √3 = ab irréductible. Alors 3 = a2b2, soit a2 = 3b2 : a2 est multiple de 3, donc a aussi (question a). On écrit a = 3k : 9k2 = 3b2, soit b2 = 3k2. Donc b2, puis b, est multiple de 3. Ainsi a et b sont divisibles par 3 : la fraction n'était pas irréductible. C'est une contradiction. Donc √3 est irrationnel.
5Exercice 5
(Type examen) Alpha affirme : « Le nombre x = (1 + √2)2 - 2√2 est irrationnel, puisqu'il contient √2. »
a) Développe et simplifie x.
b) Alpha a-t-il raison ? Explique son erreur de raisonnement.
c) Montre que y = (1 + √2)2 est irrationnel.
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a) (1 + √2)2 = 1 + 2√2 + (√2)2 = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2.
Donc x = 3 + 2√2 - 2√2 = 3.
b) Alpha a tort : x = 3 est rationnel. Le fait qu'une écriture « contienne » √2 ne prouve rien : il faut d'abord simplifier. Les parties irrationnelles peuvent s'annuler.
c) y = 3 + 2√2. 2√2 est irrationnel (rationnel non nul × irrationnel), et y est la somme du rationnel 3 et de cet irrationnel : y est irrationnel.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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