Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 22
Calcul dans R : les puissances
Je sais utiliser les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatif pour simplifier une expression et écrire un nombre en notation scientifique.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir aⁿ pour n entier relatif et a réel non nul
- Appliquer les cinq règles de calcul sur les puissances
- Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre négatif
- Écrire un nombre en notation scientifique et calculer avec cette notation
Avant de commencer : La leçon « Calcul dans R : les fractions » et les puissances de 10 vues au collège.
1Je découvre
Sékou élève des poulets à Kindia. Il remarque qu'une maladie se propage vite : un poulet malade en contamine 2 autres chaque semaine, et chacun d'eux en contamine 2 autres la semaine suivante, et ainsi de suite.
Il compte les nouveaux malades :
- semaine 1 : 2 ;
- semaine 2 : 2 × 2 = 4 ;
- semaine 3 : 2 × 2 × 2 = 8 ;
- semaine 10 : 2 × 2 × ⋯ × 2 (10 facteurs).
Écrire dix fois « × 2 » est long. Sa cousine Fatoumata lui montre l'écriture 210 et calcule : 210 = 1 024. « Heureusement que tu as fait vacciner tes poulets à temps ! » dit-elle.
En sciences, on rencontre aussi des nombres très petits, comme la taille d'un microbe, qui s'écrivent avec beaucoup de zéros après la virgule.
Comment écrire et calculer rapidement avec des produits de facteurs identiques, qu'ils soient très grands ou très petits ?
2Je comprends
1. Définitions
Soit a un réel et n un entier naturel non nul.
- Puissance n-ième de a : an = underbracea × a × ⋯ × an facteurs. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Par convention a1 = a.
- Pour a ≠ 0 : a0 = 1.
- Exposant négatif : pour a ≠ 0, a-n = 1an. Ainsi a-1 = 1a est l'inverse de a.
Exemples : 34 = 81 ; 50 = 1 ; 2-3 = 123 = 18 ; (23)-2 = (32)2 = 94.
Remarque : 0n = 0 pour n ≥ 1, mais 00 et 0-n ne sont pas définis dans ce cours (on ne divise pas par 0).
2. Les règles de calcul
Pour tous réels a et b non nuls et tous entiers relatifs m et n :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | am × an = am+n | 23 × 2-5 = 2-2 = 14 |
| Quotient, même base | aman = am-n | 7573 = 72 = 49 |
| Puissance de puissance | (am)n = am × n | (32)3 = 36 = 729 |
| Produit, même exposant | (ab)n = an bn | (2x)3 = 8x3 |
| Quotient, même exposant | (ab)n = anbn | (52)2 = 254 |
Pourquoi am × an = am+n ? Avec m = 3 et n = 2 : a3 × a2 = (a × a × a) × (a × a), soit 5 facteurs a. On compte les facteurs.
Attention : il n'existe aucune règle pour une somme : 23 + 22 = 8 + 4 = 12, alors que 25 = 32.
3. Le signe d'une puissance
- Si a > 0, alors an > 0 pour tout n.
- Si a < 0 : an est positif si n est pair et négatif si n est impair.
Ainsi (-2)4 = 16 et (-2)3 = -8.
Attention aux parenthèses : (-2)4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16, mais -24 = -(24) = -16. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur 2.
4. Simplifier une expression
Méthode
Pour simplifier une expression avec des puissances :
- Je décompose chaque base en facteurs premiers (4 = 2², 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5, 0,01 = 10⁻²…).
- Je développe les puissances de produits et de puissances : (ab)ⁿ = aⁿbⁿ et (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
- Je regroupe les facteurs de même base et j'additionne ou je soustrais les exposants.
- Je vérifie le signe (nombre de facteurs négatifs) et j'écris le résultat sous forme simple.
- 1A = (3⁴ × 3⁻²) / 3⁵
- 2Numérateur : même base, on additionne les exposants : 3⁴ × 3⁻² = 3²
- 3Quotient : on soustrait les exposants : 3² / 3⁵ = 3⁻³
- 4Exposant négatif : 3⁻³ = 1/3³ = 1/27
Exemple
Calculer B = (2³ × 5²)² / 10³.
On décompose 10 = 2 × 5, donc 10³ = 2³ × 5³.
Numérateur : (2³ × 5²)² = 2⁶ × 5⁴.
B = (2⁶ × 5⁴)/(2³ × 5³) = 2⁶⁻³ × 5⁴⁻³ = 2³ × 5 = 40.
Contrôle : 2³ × 5² = 200 ; 200² = 40 000 ; 40 000 / 1 000 = 40.
Exemple
Simplifier C = (6² × 2⁻³) / (3⁻¹ × 4²), et donner C sous la forme 2^p × 3^q.
6² = 2² × 3² et 4² = (2²)² = 2⁴.
C = (2² × 3² × 2⁻³)/(3⁻¹ × 2⁴) = 2^(2 − 3 − 4) × 3^(2 − (−1)) = 2⁻⁵ × 3³.
Donc C = 27/32.
Exemple
Simplifier D = (−x²)³ × x⁻⁴ pour x ≠ 0.
(−x²)³ = (−1)³ × (x²)³ = −x⁶.
D = −x⁶ × x⁻⁴ = −x².
5. Les puissances de 10 et la notation scientifique
Pour tout entier naturel n : 10n = 1underbrace0…0n zéros et 10-n = 0,underbrace0…0n-1 zéros1.
Exemples : 106 = 1 000 000 ; 10-3 = 0,001.
Un nombre décimal non nul est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme
a × 10p avec 1 ≤ a < 10 (en valeur positive) et p ∈ ℤ.
Le nombre a a un seul chiffre non nul avant la virgule.
| Nombre | Notation scientifique |
|---|---|
| 2 500 000 GNF | 2,5 × 106 GNF |
| 0,000 045 | 4,5 × 10-5 |
| 380 | 3,8 × 102 |
| -0,07 | -7 × 10-2 |
Méthode : on déplace la virgule pour n'avoir qu'un chiffre non nul devant ; le nombre de rangs de déplacement donne l'exposant (positif si le nombre de départ est grand, négatif s'il est inférieur à 1).
Exemple
Donner la notation scientifique de E = (6 × 10⁵) × (4 × 10⁻⁸) et de F = (3,6 × 10⁷)/(1,2 × 10⁻²).
E = (6 × 4) × 10^(5 − 8) = 24 × 10⁻³ = 2,4 × 10¹ × 10⁻³ = 2,4 × 10⁻².
F = (3,6/1,2) × 10^(7 − (−2)) = 3 × 10⁹.
6. Retour aux poulets de Sékou
Les nouveaux malades de la semaine n sont au nombre de 2n. À la semaine 10 : 210 = 1 024. À la semaine 20 : 220 = (210)2 = 1 0242 = 1 048 576, soit environ 1,05 × 106. On comprend pourquoi une contagion non arrêtée est si dangereuse : la croissance par puissances est extrêmement rapide.
3Je retiens
Je retiens
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) ; a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
Aucune règle pour une somme : aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ.
Si a < 0 : aⁿ > 0 si n est pair, aⁿ < 0 si n est impair. (−2)⁴ = 16 mais −2⁴ = −16.
Notation scientifique : a × 10ᵖ avec 1 ≤ a < 10 et p entier relatif.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier les exposants au lieu de les additionner : 2³ × 2⁴ = 2⁷ (et non 2¹²).
- Multiplier les bases : 2³ × 5³ = 10³ est juste (même exposant), mais 2³ × 2⁴ n'est pas 4⁷.
- Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 2⁻³ = 1/8, qui est positif.
- Oublier la condition 1 ≤ a < 10 : 24 × 10⁻³ n'est pas une notation scientifique, il faut écrire 2,4 × 10⁻².
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice.
a) (-3)4 b) -34 c) 5-2 d) (12)-3 e) (-1)2027
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (-3)4 = 81 (exposant pair, résultat positif).
b) -34 = -(34) = -81.
c) 5-2 = 125.
d) (12)-3 = 23 = 8.
e) 2027 est impair, donc (-1)2027 = -1.
2Exercice 2
Écris sous la forme d'une seule puissance.
a) 73 × 7-8 b) 545-2 c) (2-3)4 d) 35 × 25
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a) 73 + (-8) = 7-5.
b) 54 - (-2) = 56.
c) 2-3 × 4 = 2-12.
d) Même exposant : 35 × 25 = (3 × 2)5 = 65.
3Exercice 3
Simplifie G = 92 × 2-4122 × 3-1 et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
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92 = (32)2 = 34 ; 122 = (22 × 3)2 = 24 × 32.
G = 34 × 2-424 × 32 × 3-1 = 2-4 - 4 × 34 - 2 - (-1) = 2-8 × 33 = 27256.
Contrôle : 81 × 116144 × 13 = 8116 × 148 = 81768 = 27256.
4Exercice 4
Donne la notation scientifique de :
a) 72 000 000 b) 0,000 301 c) 8 × 10-3 × 5 × 1072 × 102
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 72 000 000 = 7,2 × 107.
b) 0,000 301 = 3,01 × 10-4.
c) 8 × 52 × 10-3 + 7 - 2 = 20 × 102 = 2 × 103.
5Exercice 5
(Type examen) Soit x un réel non nul. On pose H = (2x2)3 × x-5(4x)2.
a) Simplifie H.
b) Calcule H pour x = 10-3 et donne le résultat en notation scientifique.
c) Pour quelles valeurs de x l'expression H est-elle négative ?
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a) (2x2)3 = 8x6 et (4x)2 = 16x2.
H = 8x6 × x-516x2 = 8x16x2 = 12x = 12x-1.
b) H = 12 × 10-3 = 0,5 × 103 = 5 × 102.
c) H = 12x a le signe de x : H < 0 pour tout réel x strictement négatif.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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