Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 22
Majorants, minorants, maximum, minimum
Je sais dire si une partie de R est majorée, minorée ou bornée, trouver des majorants et des minorants, et déterminer son plus grand et son plus petit élément quand ils existent.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir majorant, minorant, partie majorée, minorée, bornée
- Distinguer un majorant du maximum (plus grand élément)
- Déterminer le maximum et le minimum d'un ensemble fini ou d'un intervalle, ou justifier qu'ils n'existent pas
- Démontrer qu'un ensemble défini par une formule est borné
Avant de commencer : Les leçons « Inégalités dans R », « Encadrement des nombres réels », « Les intervalles » et « Opérations sur les intervalles ».
1Je découvre
Au lycée de Dalaba, le professeur de mathématiques d'une classe de 11e annonce les notes du devoir (sur 20) de six élèves :
E = {8 ; 12,5 ; 15 ; 9,5 ; 17 ; 11}.
Mariama remarque : « Toutes les notes sont inférieures ou égales à 20, c'est normal. Mais elles sont aussi toutes inférieures ou égales à 18, et même à 17. » Ousmane ajoute : « 17, c'est différent : c'est une note que quelqu'un a vraiment obtenue. C'est la meilleure note. »
Ils viennent de distinguer deux idées :
- un nombre qui dépasse ou égale toutes les notes (20, 18, 17…), qu'on appelle un majorant ;
- la meilleure note effectivement obtenue (17), qu'on appelle le maximum.
Ces deux idées se ressemblent, mais elles ne sont pas identiques. Pour l'intervalle [0 ; 20[, par exemple, 20 dépasse tous les nombres, mais aucun nombre de l'intervalle n'est « le plus grand ».
Comment définir précisément majorant, minorant, maximum et minimum, et comment les déterminer ?
2Je comprends
1. Majorant et minorant
Soit A une partie non vide de ℝ (un ensemble de réels).
- Un réel M est un majorant de A si tout élément de A est inférieur ou égal à M :
pour tout x ∈ A, x ≤ M.
On dit alors que A est majorée (par M).
- Un réel m est un minorant de A si tout élément de A est supérieur ou égal à m :
pour tout x ∈ A, x ≥ m.
On dit alors que A est minorée (par m).
- A est bornée si elle est à la fois majorée et minorée : il existe m et M tels que m ≤ x ≤ M pour tout x ∈ A.
Un majorant n'est jamais unique. Si M est un majorant de A, tout nombre plus grand que M en est aussi un. Pour les notes de la classe : 17, 18, 20, 100 sont des majorants ; 0, 5, 8 sont des minorants.
Un majorant n'appartient pas forcément à l'ensemble : 20 est un majorant de E mais 20 ∉ E.
2. Maximum et minimum
- Le maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A. On le note max A.
- Le minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A. On le note min A.
S'il existe, le maximum est unique. Pour les notes : max E = 17 et min E = 8.
- pour tout x de A, x ≤ M
- M peut être en dehors de A
- il y en a une infinité (si A est majorée)
- existe dès que A est majorée
- pour tout x de A, x ≤ max A
- max A appartient à A
- il y en a au plus un
- peut ne pas exister
3. Le cas des intervalles
| Ensemble | Majorants | Maximum | Minorants | Minimum |
|---|---|---|---|---|
| [2 ; 5] | tout M ≥ 5 | 5 | tout m ≤ 2 | 2 |
| [2 ; 5[ | tout M ≥ 5 | n'existe pas | tout m ≤ 2 | 2 |
| ]2 ; 5[ | tout M ≥ 5 | n'existe pas | tout m ≤ 2 | n'existe pas |
| [2 ; +∞[ | aucun | n'existe pas | tout m ≤ 2 | 2 |
| ℝ | aucun | n'existe pas | aucun | n'existe pas |
Pourquoi [2 ; 5[ n'a pas de maximum ? Supposons qu'un nombre a de [2 ; 5[ soit le plus grand. Alors a < 5, et le milieu b = a + 52 vérifie a < b < 5 : b appartient à l'intervalle et il est plus grand que a. Contradiction : il n'y a donc pas de plus grand élément. Le nombre 5 est un majorant, mais il n'appartient pas à l'intervalle.
Pour aller plus loin (SM). Le plus petit des majorants d'une partie majorée s'appelle sa borne supérieure (notée sup A), et le plus grand des minorants sa borne inférieure (inf A). Pour [2 ; 5[, sup = 5 et inf = 2. Quand le maximum existe, il est égal à la borne supérieure.
4. Ensembles définis par une formule
Méthode
Pour étudier une partie A de R (majorants, minorants, max, min) :
- Je calcule quelques éléments de A pour deviner son comportement.
- Je propose un majorant M et je démontre que x ≤ M pour tout x de A (souvent en étudiant le signe de M − x).
- Je propose un minorant m et je démontre que x ≥ m pour tout x de A.
- Je regarde si M (ou m) est atteint, c'est-à-dire s'il existe un élément de A égal à M (ou à m). Si oui, c'est le maximum (ou le minimum).
- Si la borne n'est pas atteinte, je justifie que le maximum (ou le minimum) n'existe pas.
Exemple
Étudier A = {1/n ; n ∈ N*}, c'est-à-dire A = {1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; …}.
Majorant : pour tout n ≥ 1, 1/n ≤ 1. Donc 1 est un majorant, et 1 ∈ A (pour n = 1). Donc max A = 1.
Minorant : pour tout n ≥ 1, 1/n > 0. Donc 0 est un minorant, et A est bornée.
Minimum : 0 n'appartient pas à A (1/n n'est jamais nul). De plus, pour tout élément 1/n, l'élément 1/(n + 1) est plus petit et appartient à A : il n'y a donc pas de plus petit élément. A n'a pas de minimum.
Exemple
Étudier la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [−1 ; 2], c'est-à-dire l'ensemble B = {x² ; x ∈ [−1 ; 2]}.
Un carré est toujours positif ou nul : x² ≥ 0, et 0 = 0² est atteint pour x = 0 ∈ [−1 ; 2]. Donc min B = 0.
Pour x ∈ [0 ; 2] : x² ≤ 2² = 4 (carrés de nombres positifs). Pour x ∈ [−1 ; 0] : x² ≤ (−1)² = 1 ≤ 4.
Donc x² ≤ 4 pour tout x de [−1 ; 2], et 4 est atteint pour x = 2. Donc max B = 4.
B est bornée : B = [0 ; 4].
Exemple
Montrer que C = {(2x + 1)/(x + 1) ; x ≥ 0} est bornée, et étudier son maximum et son minimum.
On transforme l'écriture : (2x + 1)/(x + 1) = (2(x + 1) − 1)/(x + 1) = 2 − 1/(x + 1).
Pour x ≥ 0 : x + 1 ≥ 1, donc 0 < 1/(x + 1) ≤ 1 (passage à l'inverse de nombres positifs).
Donc −1 ≤ −1/(x + 1) < 0, puis 1 ≤ 2 − 1/(x + 1) < 2.
Minorant 1, atteint pour x = 0 : min C = 1.
Majorant 2, jamais atteint (il faudrait 1/(x + 1) = 0, impossible) : 2 est un majorant mais C n'a pas de maximum.
C est bornée : 1 ≤ y < 2 pour tout y de C.
5. Retour aux notes de Dalaba
L'ensemble des notes E est fini : un ensemble fini non vide de réels a toujours un maximum et un minimum (il suffit de comparer les éléments un à un). Ici max E = 17 et min E = 8 ; 20 est un majorant qui n'est pas un maximum, et 0 un minorant qui n'est pas un minimum.
3Je retiens
Je retiens
M est un majorant de A si x ≤ M pour tout x de A ; m est un minorant si x ≥ m pour tout x de A.
A est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Le maximum de A est un majorant qui appartient à A ; le minimum est un minorant qui appartient à A.
Un majorant n'est pas unique ; le maximum, s'il existe, est unique.
Un ensemble fini non vide a toujours un maximum et un minimum.
[a ; b] a pour max b et pour min a ; [a ; b[ a pour min a mais pas de maximum.
Pour prouver que M est un majorant, on montre que M − x ≥ 0 pour tout x de A ; puis on regarde si M est atteint.
4Erreurs fréquentes
- Confondre majorant et maximum : 5 est un majorant de [2 ; 5[, mais ce n'est pas son maximum, car 5 n'appartient pas à l'intervalle.
- Croire qu'un ensemble borné a toujours un maximum : ]0 ; 1[ est borné mais n'a ni maximum ni minimum.
- Dire « le majorant » : un ensemble majoré a une infinité de majorants. On dit « un majorant ».
- Vérifier l'inégalité pour quelques valeurs seulement : pour montrer que M est un majorant, il faut une preuve valable pour TOUS les éléments de A.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit F = {-3 ; 52 ; 0 ; -√2 ; 73}.
a) Donne deux majorants et deux minorants de F.
b) Détermine max F et min F.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On range les éléments : -3 < -√2 < 0 < 73 < 52 (car 73 = 146 < 156 = 52).
Majorants : par exemple 52 et 10. Minorants : par exemple -3 et -5.
b) max F = 52 et min F = -3 (ils appartiennent à F).
2Exercice 2
Pour chaque ensemble, dis s'il est majoré, minoré, borné, et donne son maximum et son minimum s'ils existent.
a) ]-1 ; 4] b) ]-∞ ; 3[ c) ℕ d) [-2 ; 0] ∪ [1 ; 3[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ]-1 ; 4] : majoré (par 4), minoré (par -1), donc borné. max = 4 (inclus). Pas de minimum (-1 est exclu, et il n'y a pas de plus petit élément).
b) ]-∞ ; 3[ : majoré par 3, non minoré, donc non borné. Pas de maximum (3 exclu), pas de minimum.
c) ℕ : minoré par 0, min ℕ = 0. Non majoré : pour tout réel M, il existe un entier naturel plus grand que M. Pas de maximum.
d) [-2 ; 0] ∪ [1 ; 3[ : borné (entre -2 et 3). min = -2. Pas de maximum (3 est exclu : 3 est un majorant, mais pas un élément).
3Exercice 3
Vrai ou faux ? Justifie.
a) 10 est un majorant de [0 ; 7].
b) Tout majorant d'un ensemble appartient à cet ensemble.
c) ℤ est minoré.
d) L'intervalle ]0 ; 1] a un maximum mais pas de minimum.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Vrai : tout x de [0 ; 7] vérifie x ≤ 7 ≤ 10.
b) Faux : 10 majore [0 ; 7] sans lui appartenir.
c) Faux : pour tout réel m, il existe un entier relatif plus petit que m ; ℤ n'est pas minoré.
d) Vrai : max = 1 (inclus) ; 0 est exclu et, pour tout a de ]0 ; 1], a2 est un élément plus petit : il n'y a pas de minimum.
4Exercice 4
On considère G = {1 - 1n ; n ∈ ℕ^*} = {0 ; 12 ; 23 ; 34 ; …}.
a) Montre que G est minorée par 0 et que 0 est son minimum.
b) Montre que 1 est un majorant de G.
c) G a-t-il un maximum ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Pour n ≥ 1, 1n ≤ 1, donc 1 - 1n ≥ 0 : 0 est un minorant. Il est atteint pour n = 1 (1 - 1 = 0), donc 0 = min G.
b) Pour n ≥ 1, 1n > 0, donc 1 - 1n < 1 : 1 est un majorant (strict).
c) 1 n'est pas atteint (il faudrait 1n = 0). De plus, pour tout n, 1 - 1n + 1 > 1 - 1n (car 1n+1 < 1n) : chaque élément est dépassé par un autre élément de G. Donc G n'a pas de maximum.
5Exercice 5
(Type examen) Soit H = {3x - 2x + 2 ; x ∈ [0 ; +∞[}.
a) Vérifie que, pour tout x ≥ 0, 3x - 2x + 2 = 3 - 8x + 2.
b) Déduis-en que, pour tout x ≥ 0 : -1 ≤ 3x - 2x + 2 < 3.
c) H est-il borné ? Détermine son minimum. H a-t-il un maximum ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 - 8x + 2 = 3(x + 2) - 8x + 2 = 3x + 6 - 8x + 2 = 3x - 2x + 2.
b) Pour x ≥ 0 : x + 2 ≥ 2, donc 0 < 1x + 2 ≤ 12 (inverse de nombres positifs), puis 0 < 8x + 2 ≤ 4.
En multipliant par -1 : -4 ≤ -8x + 2 < 0, puis en ajoutant 3 : -1 ≤ 3 - 8x + 2 < 3.
c) H est minoré par -1 et majoré par 3 : il est borné.
-1 est atteint pour x = 0 : 3 × 0 - 20 + 2 = -1. Donc min H = -1.
3 n'est jamais atteint (il faudrait 8x + 2 = 0, impossible) : 3 est un majorant, mais H n'a pas de maximum.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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