Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 22
Équations et tableau de signes
Je sais étudier le signe d'une expression produit ou quotient à l'aide d'un tableau de signes, et résoudre les équations et inéquations qui s'y ramènent.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Donner le signe de ax + b selon les valeurs de x
- Construire le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient
- Résoudre une inéquation produit ou quotient
- Résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites
Avant de commencer : Équations et inéquations du premier degré, factorisation (facteur commun, identités remarquables), propriété du produit nul, intervalles.
1Je découvre
Mariama prépare du jus de bissap qu'elle vend devant le lycée, à Labé. Pour une semaine, elle dépense 60 000 GNF (fleurs d'oseille, sucre, sachets, glace). Elle vend chaque sachet 2 000 GNF. Si elle vend x sachets, son bénéfice est :
B(x) = 2 000x - 60 000.
Elle se demande : à partir de combien de sachets vendus gagne-t-elle de l'argent ? Il faut trouver quand B(x) > 0. Facile : 2 000x > 60 000, donc x > 30.
Son amie Kadiatou, qui étudie la gestion, lui montre un calcul plus compliqué pour une autre activité : un bénéfice qui s'écrit comme un produit, par exemple (2x - 4)(3 - x), ou comme un quotient. Là, on ne peut plus « isoler x » en une seule étape.
Comment trouver le signe d'un produit ou d'un quotient d'expressions, et résoudre les inéquations correspondantes ?
2Je comprends
1. Le signe de ax + b
Soit a ≠ 0. L'expression ax + b s'annule pour x = -ba.
- Si a > 0 : ax + b est négatif avant -ba et positif après.
- Si a < 0 : ax + b est positif avant -ba et négatif après.
Règle pratique : à droite du zéro, ax + b a le signe de a ; à gauche, le signe contraire.
Exemple 1 : signe de -2x + 6.
-2x + 6 = 0 pour x = 3. Ici a = -2 < 0 : « + » avant 3, « − » après.
| x | −∞ | 3 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| −2x + 6 | + | 0 | − |
Contrôle : pour x = 0, -2 × 0 + 6 = 6 > 0. C'est bien « + » avant 3.
2. Le tableau de signes d'un produit
La règle des signes : un produit de deux facteurs est positif s'ils ont le même signe, négatif s'ils sont de signes contraires, nul si l'un d'eux est nul.
Pour étudier le signe de A(x) × B(x) :
- on étudie le signe de chaque facteur sur une ligne ;
- on range les valeurs qui annulent les facteurs dans l'ordre croissant sur la première ligne ;
- sur chaque colonne, on applique la règle des signes.
Exemple 2 : résoudre (2x - 4)(-x + 3) ≥ 0.
- 2x - 4 = 0 pour x = 2 (a = 2 > 0 : « − » puis « + ») ;
- -x + 3 = 0 pour x = 3 (a = -1 < 0 : « + » puis « − »).
| x | −∞ | 2 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x − 4 | − | 0 | + | + | |||
| −x + 3 | + | + | 0 | − | |||
| produit | − | 0 | + | 0 | − |
Le produit est positif ou nul entre 2 et 3, bornes comprises (car « ≥ ») : S = [2 ; 3].
3. Le tableau de signes d'un quotient
Un quotient A(x)B(x) suit la même règle des signes qu'un produit. Mais il n'existe que si B(x) ≠ 0 : les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites. Dans le tableau, on les marque par une double barre ‖, et on ne les met jamais dans l'ensemble des solutions.
Exemple 3 : résoudre x + 1x - 2 ≤ 0.
Valeur interdite : x - 2 = 0, soit x = 2. Le numérateur s'annule pour x = -1.
| x | −∞ | −1 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 1 | − | 0 | + | + | |||
| x − 2 | − | − | 0 | + | |||
| quotient | + | 0 | − | ‖ | + |
Le quotient est négatif ou nul sur [-1 ; 2[ : on prend -1 (le quotient y vaut 0) mais on exclut 2 (valeur interdite). S = [-1 ; 2[.
4. Se ramener à la comparaison avec zéro
Un tableau de signes ne sert qu'à comparer une expression à zéro. Si l'inéquation est du type AB ≥ k, on passe tout dans le premier membre et on réduit au même dénominateur. On ne multiplie jamais les deux membres par une expression dont on ignore le signe.
Exemple 4 : résoudre x + 5x - 1 ≥ 2.
Valeur interdite : 1. On compare à zéro :
x + 5x - 1 - 2 ≥ 0 ⇔ (x + 5) - 2(x - 1)x - 1 ≥ 0 ⇔ -x + 7x - 1 ≥ 0.
| x | −∞ | 1 | 7 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| −x + 7 | + | + | 0 | − | |||
| x − 1 | − | 0 | + | + | |||
| quotient | − | ‖ | + | 0 | − |
S = ]1 ; 7]. Contrôle avec x = 3 : 3 + 53 - 1 = 4 ≥ 2. Juste.
5. Les équations quotients
Pour résoudre A(x)B(x) = 0 : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
Pour résoudre AB = CD : on cherche les valeurs interdites, puis on utilise les produits en croix A × D = B × C, et on élimine les solutions interdites.
Exemple
Résoudre (2x − 1)/(x + 3) = 1.
Valeur interdite : −3.
2x − 1 = x + 3 (produit en croix), donc x = 4. Or 4 ≠ −3 : on garde.
S = {4}. Vérification : (8 − 1)/(4 + 3) = 7/7 = 1.
Exemple
Résoudre (3x − 1)/(x + 2) = 0.
Valeur interdite : −2.
Le quotient est nul quand le numérateur est nul : 3x − 1 = 0, soit x = 1/3.
Or 1/3 ≠ −2 : on garde. S = {1/3}.
Exemple
Résoudre (x² − 4)/(x − 2) = 0.
Valeur interdite : 2.
Numérateur nul : x² − 4 = (x − 2)(x + 2) = 0, soit x = 2 ou x = −2.
Mais 2 est interdit : on le rejette. S = {−2}.
Méthode
Pour résoudre une inéquation avec un tableau de signes :
- Je cherche les valeurs interdites (dénominateurs nuls).
- Je passe tout dans le premier membre pour comparer à 0, et je réduis au même dénominateur.
- Je factorise numérateur et dénominateur en facteurs du type ax + b.
- Je dresse le tableau : valeurs rangées dans l'ordre croissant, une ligne par facteur, dernière ligne par la règle des signes, double barre aux valeurs interdites.
- Je lis S : crochets fermés aux zéros si l'inégalité est large, toujours ouverts aux valeurs interdites.
3Je retiens
Je retiens
ax + b (a ≠ 0) s'annule en −b/a ; à droite de ce nombre il a le signe de a, à gauche le signe contraire.
Règle des signes : même signe → produit (ou quotient) positif ; signes contraires → négatif.
Un quotient n'existe pas là où le dénominateur est nul : valeur interdite, double barre dans le tableau, jamais dans S.
A/B = 0 équivaut à A = 0 et B ≠ 0.
Pour résoudre A/B ≥ k : je compare à zéro, A/B − k ≥ 0, je réduis au même dénominateur, puis tableau de signes.
Je ne multiplie jamais une inéquation par une expression dont je ne connais pas le signe.
4Erreurs fréquentes
- Mal placer les signes de ax + b quand a est négatif : pour −x + 3, c'est « + » avant 3 et « − » après.
- Inclure une valeur interdite dans les solutions : dans (x + 1)/(x − 2) ≤ 0, le nombre 2 est exclu, même si l'inégalité est large.
- « Multiplier en croix » une inéquation : (x + 5)/(x − 1) ≥ 2 ne donne pas x + 5 ≥ 2(x − 1), car x − 1 peut être négatif.
- Ranger les valeurs dans le désordre dans la première ligne du tableau : elles doivent être dans l'ordre croissant.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dresse le tableau de signes de :
a) 3x - 12 b) -5x + 10
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x - 12 = 0 pour x = 4 ; a = 3 > 0.
| x | −∞ | 4 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 3x − 12 | − | 0 | + |
b) -5x + 10 = 0 pour x = 2 ; a = -5 < 0.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| −5x + 10 | + | 0 | − |
2Exercice 2
Résous (x + 3)(2 - x) > 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Zéros : x = -3 et x = 2.
| x | −∞ | −3 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | − | 0 | + | + | |||
| 2 − x | + | + | 0 | − | |||
| produit | − | 0 | + | 0 | − |
L'inégalité est stricte : S = ]-3 ; 2[.
3Exercice 3
Résous 3x - 6x + 4 ≥ 0.
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Valeur interdite : -4. Zéro du numérateur : 2.
| x | −∞ | −4 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3x − 6 | − | − | 0 | + | |||
| x + 4 | − | 0 | + | + | |||
| quotient | + | ‖ | − | 0 | + |
S = ]-∞ ; -4[ ∪ [2 ; +∞[.
4Exercice 4
Résous l'équation x + 2x - 3 = x - 1x + 1.
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Valeurs interdites : 3 et -1.
Produits en croix : (x + 2)(x + 1) = (x - 1)(x - 3), soit x2 + 3x + 2 = x2 - 4x + 3, donc 7x = 1 et x = 17. Ce n'est pas une valeur interdite.
Vérification : 1/7 + 21/7 - 3 = 15/7-20/7 = -34 et 1/7 - 11/7 + 1 = -6/78/7 = -34.
S = {17}.
5Exercice 5
(Type examen)
a) Résous x2 - 4x ≤ 0.
b) Résous x2 - 9x + 1 < 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x2 - 4x = x(x - 4). Zéros : 0 et 4.
| x | −∞ | 0 | 4 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | − | 0 | + | + | |||
| x − 4 | − | − | 0 | + | |||
| produit | + | 0 | − | 0 | + |
S = [0 ; 4].
b) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Zéros : -3 et 3 ; valeur interdite : -1.
| x | −∞ | −3 | −1 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | − | 0 | + | + | + | ||||
| x − 3 | − | − | − | 0 | + | ||||
| x + 1 | − | − | 0 | + | + | ||||
| quotient | − | 0 | + | ‖ | − | 0 | + |
S = ]-∞ ; -3[ ∪ ]-1 ; 3[.
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6Je vérifie
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