Les systèmes d'équations

1. Vocabulaire

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s'écrit :

begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases

Une solution du système est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre le système, c'est trouver tous ses couples solutions.

Par exemple, (3 ; 2) est solution de begincases x + 2y = 7
3x - y = 7 endcases car 3 + 4 = 7 et 9 - 2 = 7.

2. La méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace (on substitue) dans l'autre équation. C'est pratique quand une inconnue a le coefficient 1 ou −1.

Pour Ousmane : h = 35 000 - 2r, puis 3r + 2(35 000 - 2r) = 60 000, soit 3r + 70 000 - 4r = 60 000, donc r = 10 000 et h = 35 000 - 20 000 = 15 000. Le kilo de riz coûte 10 000 GNF et le litre d'huile 15 000 GNF. Vérification : 3 × 10 000 + 2 × 15 000 = 60 000.

3. La méthode par combinaison (ou addition)

On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que, en les additionnant, une inconnue disparaisse.

4. La méthode des déterminants

Pour le système begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases, on calcule le déterminant :

D = beginvmatrix a & b
a' & b' endvmatrix = ab' - a'b.

• Si D ≠ 0, le système a une seule solution :

x = D_xD et y = D_yD, avec D_x = beginvmatrix c & b
c' & b' endvmatrix = cb' - c'b et D_y = beginvmatrix a & c
a' & c' endvmatrix = ac' - a'c.

• Si D = 0, le système a aucune solution ou une infinité de solutions : on regarde les équations de plus près.

Pour retenir : dans D_x, on remplace la colonne des x par la colonne des seconds membres ; dans D_y, celle des y.

Deux cas avec D = 0 :

• begincases x + 2y = 3
  2x + 4y = 5 endcases : en multipliant la 1re par 2, on obtient 2x + 4y = 6, qui contredit 2x + 4y = 5. Aucune solution.
• begincases x + 2y = 3
  2x + 4y = 6 endcases : la 2e équation est la 1re multipliée par 2. Infinité de solutions : tous les couples (3 - 2y ; y), y réel.

5. Interprétation graphique

Chaque équation ax + by = c (avec a et b non tous deux nuls) est l'équation d'une droite. Résoudre le système, c'est chercher les points communs aux deux droites :

• droites sécantes (D ≠ 0) : un seul point commun, une solution ;
• droites parallèles distinctes : aucune solution ;
• droites confondues : infinité de solutions.

6. En plus pour SM : systèmes de trois équations

Pour un système de trois équations à trois inconnues, on élimine une inconnue en combinant les équations deux à deux : on obtient un système de deux équations à deux inconnues, que l'on sait résoudre.

Exemple : begincases x + y + z = 6
x - y + z = 2
2x + y - z = 1 endcases. En soustrayant la 2e à la 1re : 2y = 4, donc y = 2. Il reste x + z = 4 et 2x - z = 1 - 2 = -1. En additionnant : 3x = 3, donc x = 1 et z = 3. Vérification dans la 3e : 2 + 2 - 3 = 1. S = {(1 ; 2 ; 3)}.

7. Un système non linéaire utile : somme et produit

Si l'on connaît la somme s et le produit p de deux nombres, begincases x + y = s
xy = p endcases, alors x et y sont les solutions de X² - sX + p = 0 (leçon sur le second degré). Par exemple, x + y = 9 et xy = 20 donnent X² - 9X + 20 = 0, dont les solutions sont 4 et 5.