Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 21
Équations aux dimensions
Je sais écrire la dimension d'une grandeur physique, vérifier qu'une formule est homogène et retrouver la forme d'une loi à partir des dimensions.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les dimensions des grandeurs de base (L, M, T, I, Θ, N, J)
- Établir l'équation aux dimensions d'une grandeur dérivée
- Vérifier l'homogénéité d'une formule et détecter une formule fausse
- Trouver l'unité SI d'une grandeur ou d'une constante
- Retrouver les exposants d'une loi par l'analyse dimensionnelle
Avant de commencer : Les grandeurs mesurables et les unités du Système international ; les règles de calcul sur les puissances.
1Je découvre
Pendant la révision, Ibrahima et Mariama ne sont pas d'accord sur la formule de la hauteur de chute d'un caillou lâché dans un puits. Ibrahima écrit h = 12 g t2, Mariama écrit h = 12 g t. Le professeur est absent et le cahier est resté à l'école.
Leur cousin Alpha, étudiant à l'université de Kankan, leur dit au téléphone : « Vous n'avez pas besoin du cahier. Regardez seulement les dimensions : une hauteur est une longueur. Si le membre de droite n'est pas une longueur, la formule est fausse, c'est sûr. »
Mariama est étonnée : comment peut-on savoir qu'une formule est fausse sans faire d'expérience ?
Qu'est-ce que la dimension d'une grandeur, et comment l'utiliser pour contrôler une formule ou même en trouver une ?
2Je comprends
1. La dimension d'une grandeur
La dimension d'une grandeur indique sa nature, sans tenir compte de l'unité choisie. Une hauteur, une distance, un rayon, une épaisseur sont de même nature : ce sont des longueurs. On dit qu'elles ont la dimension d'une longueur, notée L, qu'on les exprime en mètres, en kilomètres ou en pouces.
À chaque grandeur de base du Système international correspond une dimension de base :
| Grandeur de base | Dimension | Unité SI |
|---|---|---|
| Longueur | L | m |
| Masse | M | kg |
| Temps | T | s |
| Intensité du courant | I | A |
| Température | Θ (thêta) | K |
| Quantité de matière | N | mol |
| Intensité lumineuse | J | cd |
La dimension d'une grandeur G se note entre crochets : [G]. Par exemple [h] = L, [m] = M, [t] = T.
2. L'équation aux dimensions
L'équation aux dimensions d'une grandeur dérivée exprime sa dimension comme un produit de puissances des dimensions de base :
[G] = La Mb Tc Id…
On l'obtient à partir d'une formule de définition, en appliquant quatre règles simples :
- [A × B] = [A] × [B] ;
- [AB] = [A][B] ;
- [An] = [A]n ;
- un nombre pur (2, 12, π, un angle en radians…) n'a pas de dimension : [2] = 1.
Exemple
Établir l'équation aux dimensions de la vitesse, de l'accélération et de la force.
Vitesse : v = d / t, donc [v] = [d] / [t] = L / T = L·T⁻¹.
Accélération : a = Δv / Δt, donc [a] = L·T⁻¹ / T = L·T⁻².
Force : F = m × a (relation que tu étudieras plus tard), donc [F] = M × L·T⁻² = M·L·T⁻².
On en déduit l'unité SI de la force : kg·m·s⁻², appelée newton (N).
Voici les équations aux dimensions à connaître :
| Grandeur | Formule de définition | Dimension | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Surface | S = ell × ell | L2 | m² |
| Volume | V = ell3 | L3 | m³ |
| Masse volumique | ρ = mV | M L-3 | kg·m⁻³ |
| Vitesse | v = dt | L T-1 | m·s⁻¹ |
| Accélération | a = Δ vΔ t | L T-2 | m·s⁻² |
| Force | F = m a | M L T-2 | N |
| Travail, énergie | W = F × d | M L2 T-2 | J |
| Puissance | P = Wt | M L2 T-3 | W |
| Pression | p = FS | M L-1 T-2 | Pa |
| Fréquence | f = 1T | T-1 | Hz |
3. Le principe d'homogénéité
Une formule physique juste est toujours homogène :
- ses deux membres ont la même dimension ;
- on n'additionne (ou on ne soustrait) que des termes de même dimension : on n'ajoute pas des mètres à des secondes ;
- l'argument d'une fonction comme sin, cos, exp ou ln est sans dimension.
Conséquence très utile : une formule non homogène est forcément fausse. Attention, la réciproque n'est pas vraie : une formule homogène peut être fausse à cause d'un coefficient numérique (un 12 oublié, par exemple), car les nombres n'ont pas de dimension.
Exemple
Qui a raison entre Ibrahima (h = ½ g t²) et Mariama (h = ½ g t) ?
g est une accélération : [g] = L·T⁻².
Formule d'Ibrahima : [½ g t²] = 1 × L·T⁻² × T² = L. C'est une longueur, comme h : la formule est homogène.
Formule de Mariama : [½ g t] = L·T⁻² × T = L·T⁻¹. C'est une vitesse, pas une longueur : la formule est fausse.
Conclusion : seule la formule d'Ibrahima peut être juste (et elle l'est).
Exemple
Vérifier l'homogénéité de la loi x = ½ a t² + v₀ t + x₀.
[x] = L.
[½ a t²] = L·T⁻² × T² = L ; [v₀ t] = L·T⁻¹ × T = L ; [x₀] = L.
Les trois termes additionnés sont des longueurs, et le premier membre aussi : la formule est homogène.
4. Trouver l'unité d'une grandeur ou d'une constante
L'équation aux dimensions donne directement l'unité SI : on remplace L par m, M par kg, T par s, etc.
Exemple
La force d'attraction entre deux masses m et m' séparées par une distance d s'écrit F = G × m × m' / d². Trouver la dimension et l'unité de la constante G.
On isole G : G = F × d² / (m × m').
[G] = M·L·T⁻² × L² / (M × M) = M⁻¹·L³·T⁻².
Unité SI de G : kg⁻¹·m³·s⁻², que l'on peut aussi écrire N·m²·kg⁻².
5. Retrouver une loi : l'analyse dimensionnelle
On peut aussi utiliser les dimensions pour deviner la forme d'une loi. On suppose que la grandeur cherchée est un produit de puissances des grandeurs dont elle peut dépendre, multiplié par un nombre k sans dimension. On écrit l'égalité des dimensions, puis on identifie les exposants de L, M et T.
- 1Lister les grandeurs dont peut dépendre la grandeur cherchée.
- 2Écrire la loi sous la forme G = k × A^α × B^β × C^γ, avec k sans dimension.
- 3Écrire la dimension de chaque membre en L, M, T.
- 4Identifier les exposants de L, de M et de T : on obtient un système d'équations.
- 5Résoudre le système et écrire la loi trouvée (k reste inconnu).
Exemple
La période T d'un pendule simple (le temps d'un aller-retour) peut dépendre de la longueur ℓ du fil, de l'intensité de la pesanteur g et de la masse m. Trouver la forme de la loi.
On pose T = k × ℓ^α × g^β × m^γ.
Premier membre : [T] = T (c'est une durée).
Second membre : L^α × (L·T⁻²)^β × M^γ = L^(α+β) × T^(−2β) × M^γ.
Identification :
- pour M : γ = 0 ;
- pour T : −2β = 1, donc β = −½ ;
- pour L : α + β = 0, donc α = ½.
Donc T = k × ℓ^½ × g^(−½), soit T = k √(ℓ / g).
La période ne dépend pas de la masse. L'expérience donne k = 2π.
Méthode
Pour vérifier qu'une formule est homogène :
- J'écris la dimension de chaque grandeur en L, M, T (à partir du tableau ou d'une formule de définition).
- Je calcule la dimension du premier membre, puis celle de chaque terme du second membre.
- Je compare : si tout est identique, la formule est homogène ; sinon, elle est fausse.
- Je n'oublie pas que les nombres (2, ½, π) n'ont pas de dimension : l'analyse ne peut pas les vérifier.
3Je retiens
Je retiens
La dimension [G] d'une grandeur indique sa nature : L (longueur), M (masse), T (temps), I (courant), Θ (température), N (quantité de matière), J (intensité lumineuse).
Règles : [A × B] = [A][B] ; [A / B] = [A] / [B] ; [Aⁿ] = [A]ⁿ ; un nombre pur a pour dimension 1.
À connaître : [v] = L·T⁻¹ ; [a] = L·T⁻² ; [F] = M·L·T⁻² ; [énergie] = M·L²·T⁻² ; [P] = M·L²·T⁻³ ; [ρ] = M·L⁻³ ; [p] = M·L⁻¹·T⁻².
Principe d'homogénéité : les deux membres d'une formule ont la même dimension et on n'additionne que des termes de même dimension.
Une formule non homogène est fausse ; une formule homogène peut encore avoir un mauvais coefficient numérique.
4Erreurs fréquentes
- Confondre la dimension T (temps) et la période T, ou la température. Écris toujours « [T] = T » avec soin et précise de quoi tu parles.
- Oublier de mettre au carré la dimension : [t²] = T², pas T ; [d²] = L².
- Croire qu'une formule homogène est forcément juste : h = g t² est homogène mais fausse (il manque le coefficient ½).
- Donner une dimension à un nombre ou à un angle : dans v = 2πR / T, le facteur 2π n'a pas de dimension, donc [v] = L / T = L·T⁻¹.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne la dimension puis l'unité SI de : a) une surface ; b) une masse volumique ; c) une énergie ; d) une fréquence.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) [S] = L2 ; unité : m².
b) [ρ] = [m][V] = M L-3 ; unité : kg·m⁻³.
c) [E] = [F] × [d] = M L T-2 × L = M L2 T-2 ; unité : le joule, J = kg·m²·s⁻².
d) [f] = 1[T] = T-1 ; unité : le hertz, Hz = s⁻¹.
2Exercice 2
L'énergie cinétique d'un corps de masse m et de vitesse v vaut Ec = 12 m v2. Montre que Ec a bien la dimension d'une énergie (M L2 T-2) et que 1 J = 1 kg · m2 · s-2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
[12 m v2] = 1 × M × (L T-1)2 = M L2 T-2. C'est bien la dimension d'une énergie. En remplaçant M par kg, L par m et T par s : 1 J = 1 kg · m2 · s-2.
3Exercice 3
Parmi les formules suivantes, où v est une vitesse, g une accélération, h une hauteur et t une durée, lesquelles sont non homogènes (donc fausses) ?
a) v = √2 g h ; b) v = 2 g h ; c) h = v t + g t ; d) v2 = 2 g h.
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a) [√2gh] = (L T-2 × L)1/2 = (L2 T-2)1/2 = L T-1 : c'est une vitesse. Homogène.
b) [2gh] = L2 T-2, différent de [v] = L T-1. Non homogène.
c) [vt] = L mais [gt] = L T-1 : on additionne une longueur et une vitesse. Non homogène.
d) [v2] = L2 T-2 et [2gh] = L2 T-2. Homogène.
Les formules fausses sont b) et c).
4Exercice 4
La pression p exercée par une force F sur une surface S vaut p = FS. Établis l'équation aux dimensions de p, puis exprime le pascal (Pa) en unités de base.
Voir le corrigéCacher le corrigé
[p] = [F][S] = M L T-2L2 = M L-1 T-2. Donc 1 Pa = 1 kg · m-1 · s-2 (c'est aussi 1 N·m⁻²).
5Exercice 5
(Type composition) Sur la corde d'une kora, une vibration se propage à la vitesse v. On suppose que v ne dépend que de la tension F de la corde (une force) et de sa masse linéique µ (masse par unité de longueur, en kg·m⁻¹), sous la forme v = k Fa µb, où k est un nombre sans dimension.
a) Donne la dimension de µ.
b) Par l'analyse dimensionnelle, trouve a et b.
c) Écris la loi obtenue. Que devient v si l'on multiplie la tension par 4 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) µ = mell, donc [µ] = M L-1.
b) [v] = L T-1 et [Fa µb] = (M L T-2)a × (M L-1)b = Ma+b La-b T-2a.
Identification :
- pour T : -2a = -1, donc a = 12 ;
- pour M : a + b = 0, donc b = -12 ;
- pour L : a - b = 12 + 12 = 1. C'est bien l'exposant de L dans [v] : le résultat est cohérent.
c) v = k F1/2 µ-1/2 = k√Fµ. Si la tension est multipliée par 4, √4 = 2 : la vitesse est multipliée par 2.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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