Mouvement d'un solide

1. Rappels : solide et centre d'inertie

Un solide est un système indéformable : la distance entre deux quelconques de ses points ne change pas. Pour décrire son mouvement, on ne peut plus, en général, le réduire à un seul point : ses différents points peuvent se déplacer différemment.

Il existe cependant un point particulier, le centre d'inertie G du solide, dont le mouvement est le plus simple à décrire. Par exemple, quand on lance en l'air un bâton qui tournoie, chaque extrémité décrit une courbe compliquée, mais le centre d'inertie G décrit une simple parabole.

• Pour un solide homogène qui possède un centre de symétrie (disque, boule, règle), G est ce centre géométrique.
• Pour un solide hétérogène, G est plus proche de la partie la plus lourde : pour un marteau, il est près de la tête métallique.

La leçon « Système et centre d'inertie d'un système » approfondira cette notion.

2. Les différents mouvements d'un solide

Une roue de vélo qui roule sur la route a un mouvement quelconque : son centre avance en ligne droite (translation) pendant que la roue tourne autour de ce centre (rotation).

3. La rotation autour d'un axe fixe

Un solide est en rotation autour d'un axe fixe (Δ) quand les points de l'axe restent immobiles et que chaque autre point M décrit un cercle :

• centré sur l'axe ;
• situé dans un plan perpendiculaire à l'axe ;
• de rayon R égal à la distance du point M à l'axe.

Deux points situés à des distances différentes de l'axe décrivent des cercles de rayons différents, mais ils tournent du même angle pendant la même durée.

4. Le radian et l'abscisse angulaire

Pour mesurer les angles en physique, on utilise le radian (rad). Un tour complet vaut 2π rad, donc :

360° = 2π rad ; 180° = π rad ; 90° = π2 rad.

Pour convertir : θ(rad) = θ(°) × π180.

La position d'un point M sur son cercle est repérée par son abscisse angulaire θ : l'angle, en radians, entre une demi-droite de référence [OA) et le rayon [OM]. L'abscisse curviligne s (longueur de l'arc oversetfrownAM) est alors :

s = R θ (avec θ en radians).

5. La vitesse angulaire

La vitesse angulaire moyenne d'un solide en rotation est l'angle dont il tourne par unité de temps :

ω = ΔθΔ t , en radians par seconde (rad/s ou rad·s⁻¹).

La vitesse angulaire est la même pour tous les points du solide : c'est le « rythme » de rotation dont parlait Aïssatou.

On donne souvent la vitesse de rotation d'un moteur en tours par minute (tr/min). Comme 1 tour = 2π rad et 1 min = 60 s :

ω(rad/s) = N(tr/min) × 2π60

6. La vitesse linéaire d'un point : v = Rω

Pendant une durée Δ t, le point M tourne de Δθ et parcourt l'arc Δ s = R Δθ. Sa vitesse est donc :

v = Δ sΔ t = R ΔθΔ t , soit v = R ω

• v : vitesse du point (m/s) ; R : distance du point à l'axe (m) ; ω : vitesse angulaire (rad/s).

À vitesse angulaire égale, plus un point est loin de l'axe, plus il va vite : c'est ce qu'avait vu Ibrahima. Les deux enfants avaient donc chacun raison : les taches ont la même vitesse angulaire, mais pas la même vitesse linéaire.

Le vecteur vitesse d'un point en rotation est tangent au cercle, donc perpendiculaire au rayon.

7. La rotation uniforme

La rotation est uniforme quand la vitesse angulaire ω est constante. Alors :

• l'abscisse angulaire suit θ = ω t + θ₀ ;
• la période T est la durée d'un tour : T = 2πω (en s) ;
• la fréquence f est le nombre de tours par seconde : f = 1T (en hertz, Hz) ;
• donc ω = 2π f.