Système et centre d'inertie d'un système

1. Choisir un système

En mécanique, on commence toujours par préciser le corps (ou l'ensemble de corps) que l'on étudie : c'est le système. Tout le reste constitue le milieu extérieur.

Exemples : {le bâton} ; {le taxi-brousse} ; {le taxi-brousse + ses passagers + les bagages} ; {le seau + l'eau qu'il contient}.

Une fois le système choisi, on classe les forces :

• les forces extérieures sont exercées par le milieu extérieur sur le système (le poids exercé par la Terre, la réaction du sol, la tension d'une corde tenue par quelqu'un d'extérieur…) ;
• les forces intérieures sont exercées par une partie du système sur une autre partie du même système.

D'après le principe des interactions, les forces intérieures vont par paires opposées : leur somme est nulle. C'est pourquoi on ne tient compte que des forces extérieures pour étudier le mouvement d'ensemble du système. Un passager assis dans le taxi ne peut pas faire avancer le taxi en poussant le tableau de bord : c'est une force intérieure au système {taxi + passager}.

Attention : une même force peut être intérieure ou extérieure selon le système choisi. La force exercée par le passager sur son siège est intérieure au système {taxi + passager}, mais extérieure au système {taxi}.

2. Système isolé, système pseudo-isolé

• Un système est isolé s'il n'est soumis à aucune force extérieure. C'est une situation idéale : sur Terre, tout corps est au moins soumis à son poids.
• Un système est pseudo-isolé si les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent : Σ F_ext = 0.

Exemple : le palet sur la table à coussin d'air horizontale est soumis à son poids et à la poussée de l'air, verticale vers le haut, qui se compensent ; les frottements sont presque nuls. Il est pseudo-isolé.

3. Le centre d'inertie

L'expérience du palet (ou du bâton lancé) montre qu'il existe, pour tout système, un point unique dont le mouvement est plus simple que celui des autres points. On l'appelle le centre d'inertie du système, noté G.

Le centre d'inertie est le barycentre des masses du système. Si le système est formé de parties de masses m₁, m₂, …, m_n dont les centres d'inertie sont G₁, G₂, …, G_n, alors :

m₁GG₁ + m₂GG₂ + … + m_nGG_n = 0

et, pour tout point O : OG = m₁OG₁ + m₂OG₂ + … + m_nOG_nm₁ + m₂ + … + m_n.

Dans un repère, les coordonnées de G s'obtiennent par :

x_G = Σ m_i x_iΣ m_i et y_G = Σ m_i y_iΣ m_i.

Solides homogènes. Pour un solide homogène possédant un centre de symétrie (disque, boule, rectangle, cube, tige), G est ce centre. S'il possède un axe (ou un plan) de symétrie, G est sur cet axe. Pour une plaque homogène, les masses des morceaux sont proportionnelles à leurs aires : on peut remplacer les masses par les aires dans les formules.

Centre d'inertie et centre de gravité. Le centre de gravité est le point d'application du poids. Pour les objets de taille courante, où g a la même valeur en tous points, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus. On peut donc trouver G expérimentalement en suspendant l'objet successivement par deux points différents : G est à l'intersection des deux verticales passant par les points de suspension.

G n'est pas toujours dans la matière : pour un anneau, G est au centre, dans le vide ; pour une plaque en forme de L, il peut être à l'extérieur de la plaque.

4. Le principe de l'inertie

Le physicien Isaac Newton a énoncé ce principe, qu'on appelle aussi première loi de Newton :

Principe de l'inertie. Dans un référentiel galiléen (par exemple le référentiel terrestre pour des mouvements de courte durée), le centre d'inertie G d'un système isolé ou pseudo-isolé est :

• soit au repos, s'il était immobile au départ ;
• soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Réciproque. Si le centre d'inertie d'un système est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent : Σ F_ext = 0.

Conséquences pratiques :

• un taxi-brousse qui roule en ligne droite à vitesse constante sur la route de Mamou est pseudo-isolé : la force motrice compense les frottements, et la réaction de la route compense le poids ;
• quand le taxi freine brusquement, les passagers continuent leur mouvement vers l'avant : ils ne sont pas « projetés », ils gardent leur vitesse par inertie. D'où l'intérêt de la ceinture de sécurité ;
• pour modifier la vitesse (valeur ou direction) du centre d'inertie, il faut que les forces extérieures ne se compensent pas.

En plus pour SM. Le système {Terre + Lune} a lui aussi un centre d'inertie. La masse de la Terre étant environ 81 fois celle de la Lune et la distance entre leurs centres d'environ 384 000 km, ce point est à environ 384 00082 ≈ 4 700 km du centre de la Terre : il se trouve à l'intérieur de la Terre.