Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 17
Activités numériques
Je sais calculer sans erreur avec les fractions, les puissances, l'écriture scientifique et les pourcentages, en respectant les priorités.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer les priorités opératoires dans un calcul
- Calculer avec des fractions et donner le résultat sous forme irréductible
- Utiliser les règles des puissances et l'écriture scientifique
- Calculer une évolution en pourcentage avec un coefficient multiplicateur
Avant de commencer : Les quatre opérations sur les nombres relatifs, la simplification des fractions et la notion de puissance vues au collège.
1Je découvre
Au grand marché de Kankan, Mariama vend des pagnes. Au début du mois, un pagne coûte 50 000 GNF. Parce que le prix du transport depuis la côte a monté, elle augmente son prix de 10 %. Deux semaines plus tard, les clientes se font rares : elle baisse alors le nouveau prix de 10 %.
Sa voisine Hawa lui dit : « Tu as augmenté de 10 % puis baissé de 10 % : ton pagne est revenu à 50 000 GNF. » Mariama fait le calcul sur son cahier et trouve 49 500 GNF. Qui a raison ?
Pour répondre, il faut savoir calculer correctement un pourcentage, enchaîner deux évolutions, et plus généralement ne jamais se tromper dans un calcul numérique. En série sociale, ces calculs reviennent partout : économie, démographie, budgets, statistiques.
Comment calculer avec sûreté avec les fractions, les puissances et les pourcentages ?
2Je comprends
1. Les priorités opératoires
Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue :
- d'abord les puissances ;
- ensuite les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Les parenthèses (et les crochets) passent avant tout : on commence par les plus intérieures. Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses autour du numérateur et autour du dénominateur.
Par exemple : 5 + 3 × 22 = 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17, et non 8 × 4 = 32.
2. Calculer avec des fractions
Une fraction ab (avec b ≠ 0) est irréductible quand a et b n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre : 1824 = 3 × 64 × 6 = 34.
| Opération | Règle |
|---|---|
| Addition, soustraction | on réduit au même dénominateur : ab + cb = a + cb |
| Multiplication | ab × cd = a × cb × d |
| Division | diviser, c'est multiplier par l'inverse : ab ÷ cd = ab × dc |
Conseil : simplifie avant de multiplier, cela évite les grands nombres.
Exemple
Calculer A = 2/3 + 5/6 × 4/5 et donner le résultat sous forme irréductible.
La multiplication est prioritaire : 5/6 × 4/5 = 20/30 = 2/3.
A = 2/3 + 2/3 = 4/3.
Exemple
Calculer B = (3/4 − 1/2) ÷ 5/8.
Parenthèses d'abord : 3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4.
Diviser par 5/8, c'est multiplier par 8/5 : B = 1/4 × 8/5 = 8/20 = 2/5.
3. Les puissances
Pour un nombre a non nul et un entier naturel n ≥ 1 : an = a × a × … × a (n facteurs), a0 = 1 et a-n = 1an.
Pour a et b non nuls et m, n entiers relatifs :
| Règle | Exemple |
|---|---|
| am × an = am+n | 23 × 24 = 27 |
| aman = am-n | 5652 = 54 |
| (am)n = am × n | (32)3 = 36 |
| (a × b)n = an × bn | (2 × 5)3 = 23 × 53 |
Attention : il n'existe aucune règle pour une somme. 23 + 24 ne vaut pas 27 : 8 + 16 = 24, alors que 27 = 128.
4. L'écriture scientifique
Tout nombre décimal positif non nul peut s'écrire de façon unique sous la forme a × 10n, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif : c'est son écriture scientifique.
- 3 200 000 = 3,2 × 106 (on a déplacé la virgule de 6 rangs vers la gauche) ;
- 0,000 45 = 4,5 × 10-4 (on a déplacé la virgule de 4 rangs vers la droite).
Exemple
Calculer D = (6 × 10⁵ × 4 × 10⁻²) / (8 × 10²) et donner l'écriture scientifique.
On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre :
D = (6 × 4 / 8) × 10^(5 − 2 − 2) = 3 × 10¹ = 30.
5. Les pourcentages et les évolutions
Prendre t \% d'une quantité, c'est la multiplier par t100 : 18 % de 250 000 GNF valent 250 000 × 18100 = 45 000 GNF.
Augmenter de t \%, c'est multiplier par le coefficient multiplicateur 1 + t100. Diminuer de t \%, c'est multiplier par 1 - t100.
- Hausse de 12 % : coefficient 1,12.
- Baisse de 25 % : coefficient 0,75.
Évolutions successives : on multiplie les coefficients, on n'additionne jamais les pourcentages.
Le taux d'évolution entre une valeur de départ VD et une valeur d'arrivée VA est t = VA - VDVD, que l'on écrit en pourcentage.
Méthode
Pour traiter une évolution en pourcentage :
- J'écris le coefficient multiplicateur de chaque évolution (1 + t/100 ou 1 − t/100).
- Je multiplie la valeur de départ par ce coefficient (ou par le produit des coefficients).
- Pour trouver un taux global, je calcule le produit des coefficients, puis je lui retire 1.
- Je conclus avec une phrase et l'unité (GNF, kg, habitants…).
Exemple
Le prix d'un sac de ciment passe de 40 000 GNF à 46 000 GNF. Quel est le taux d'évolution ?
t = (46 000 − 40 000) / 40 000 = 6 000 / 40 000 = 0,15, soit une hausse de 15 %.
Vérification : 40 000 × 1,15 = 46 000.
6. Retour au pagne de Mariama
Les deux coefficients sont 1,10 (hausse de 10 %) et 0,90 (baisse de 10 %). Le coefficient global est 1,10 × 0,90 = 0,99.
Le prix final est 50 000 × 0,99 = 49 500 GNF. C'est Mariama qui a raison : le prix a baissé de 1 %. La baisse de 10 % porte sur un prix plus grand (55 000 GNF), donc elle enlève plus (5 500 GNF) que la hausse n'avait ajouté (5 000 GNF).
3Je retiens
Je retiens
Priorités : parenthèses, puissances, puis × et ÷, puis + et −, de gauche à droite.
a/b × c/d = ac/(bd) ; a/b ÷ c/d = a/b × d/c ; pour + et −, même dénominateur d'abord.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Hausse de t % : × (1 + t/100) ; baisse de t % : × (1 − t/100).
Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
Taux d'évolution : (valeur d'arrivée − valeur de départ) / valeur de départ.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les pourcentages : +10 % puis −10 % ne donne pas 0 %, mais −1 % (coefficient 1,1 × 0,9 = 0,99).
- Additionner numérateurs et dénominateurs : 1/2 + 1/3 ne vaut pas 2/5, mais 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Confondre (−3)² et −3² : (−3)² = 9, alors que −3² = −9 (la puissance ne porte que sur 3).
- Mal placer la virgule en écriture scientifique : 0,000 45 = 4,5 × 10⁻⁴ et non 4,5 × 10⁴.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) A = 35 - 15 × 23
b) B = 1 + 122 - 13
c) C = 74 × 821
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Multiplication prioritaire : 15 × 23 = 215. Puis 35 = 915, donc A = 915 - 215 = 715.
b) Numérateur : 1 + 12 = 32. Dénominateur : 2 - 13 = 53. B = 32 × 35 = 910.
c) On simplifie avant : C = 7 × 84 × 21 = 7 × 4 × 24 × 7 × 3 = 23.
2Exercice 2
Écris sous la forme d'une puissance ou d'un nombre simple.
a) 34 × 3-2 b) (52)355 c) 103 × 10-710-2 d) (2-1 + 2-2)-1
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a) 34 + (-2) = 32 = 9.
b) (52)3 = 56, donc 5655 = 51 = 5.
c) 103 - 7 - (-2) = 10-2 = 0,01.
d) 2-1 + 2-2 = 12 + 14 = 34, et (34)-1 = 43.
3Exercice 3
a) Donne l'écriture scientifique de 72 000 000 et de 0,000 031.
b) Calcule E = 3 × 104 × 5 × 10-62 × 10-3.
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a) 72 000 000 = 7,2 × 107 ; 0,000 031 = 3,1 × 10-5.
b) E = 3 × 52 × 104 - 6 - (-3) = 7,5 × 101 = 75.
4Exercice 4
À Labé, le sac de riz de 50 kg coûte 400 000 GNF. Son prix augmente de 5 %, puis baisse de 5 %.
a) Calcule le prix après chaque évolution.
b) Quel est le taux d'évolution global ?
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a) Après la hausse : 400 000 × 1,05 = 420 000 GNF. Après la baisse : 420 000 × 0,95 = 399 000 GNF.
b) Coefficient global : 1,05 × 0,95 = 0,9975. Taux : 0,9975 - 1 = -0,0025, soit une baisse de 0,25 %.
5Exercice 5
(Type examen) Sékou gagne 2 000 000 GNF par mois. Il consacre 25 % de son salaire au loyer et les 25 de son salaire à la nourriture.
a) Calcule le montant du loyer et celui de la nourriture.
b) Quelle somme lui reste-t-il ? Quelle fraction du salaire cela représente-t-il ? Donne aussi ce pourcentage.
c) Il épargne 40 % de ce reste. Combien épargne-t-il en un an ?
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a) Loyer : 2 000 000 × 25100 = 500 000 GNF. Nourriture : 2 000 000 × 25 = 800 000 GNF.
b) Reste : 2 000 000 - 500 000 - 800 000 = 700 000 GNF. Fraction : 700 0002 000 000 = 720, soit 35100 = 35 \%.
Autre méthode : 14 + 25 = 520 + 820 = 1320, donc il reste 1 - 1320 = 720.
c) Épargne mensuelle : 700 000 × 0,40 = 280 000 GNF. En un an : 12 × 280 000 = 3 360 000 GNF.
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6Je vérifie
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