Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 17
Calcul littéral
Je sais développer, factoriser et simplifier une expression littérale, y compris une fraction rationnelle, en choisissant la forme la plus utile.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Développer et réduire une expression avec la distributivité et les identités remarquables
- Factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable
- Trouver les valeurs interdites d'une fraction rationnelle et la simplifier
- Choisir la forme d'une expression adaptée à un calcul
Avant de commencer : Les calculs sur les nombres réels et les racines carrées (leçons « Activités numériques » et « Les nombres réels »).
1Je découvre
Kadiatou possède à Kindia un jardin carré de x mètres de côté. Elle décide d'allonger chaque côté de 3 m. Son petit frère Ousmane affirme : « La nouvelle aire, c'est x2 + 9 : l'ancienne aire plus 32. »
Kadiatou teste avec un jardin de 2 m de côté. Le nouveau côté vaut 5 m, donc la nouvelle aire vaut 52 = 25 m². Or la formule d'Ousmane donne 22 + 9 = 13. Il y a une grosse différence : où sont passés les 12 m² manquants ?
En dessinant le grand carré, Kadiatou voit qu'il contient l'ancien carré (x2), un petit carré de 3 × 3, mais aussi deux rectangles de x sur 3. La bonne formule est donc (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Pour x = 2 : 4 + 12 + 9 = 25. C'est juste.
Comment transformer sans erreur une expression littérale, et quelle forme choisir selon ce que l'on veut calculer ?
2Je comprends
1. Développer
Développer, c'est transformer un produit en somme. On utilise la distributivité :
- k(a + b) = ka + kb ;
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second).
Réduire, c'est regrouper les termes semblables (x2 avec x2, x avec x, les nombres ensemble) et les ordonner selon les puissances décroissantes de x.
Les trois identités remarquables font gagner du temps :
| Identité | Exemple |
|---|---|
| (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 | (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 |
| (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 | (2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1 |
| (a + b)(a - b) = a2 - b2 | (x + 5)(x - 5) = x2 - 25 |
Exemple
Développer et réduire A = (2x − 3)(x + 4).
A = 2x × x + 2x × 4 − 3 × x − 3 × 4
A = 2x² + 8x − 3x − 12
A = 2x² + 5x − 12.
Contrôle avec x = 1 : (2 − 3)(1 + 4) = −5 et 2 + 5 − 12 = −5. Juste.
2. Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement. Deux outils :
- le facteur commun : ka + kb = k(a + b) ; le facteur commun peut être un nombre, x, ou une parenthèse entière ;
- les identités remarquables lues de droite à gauche : a2 - b2 = (a - b)(a + b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
Méthode
Pour factoriser une expression :
- Je cherche d'abord un facteur commun à tous les termes (nombre, x, parenthèse).
- S'il n'y en a pas, je compte les termes : deux carrés séparés par un « − » → a² − b² ; trois termes dont deux carrés → (a ± b)².
- J'identifie clairement a et b par écrit.
- J'écris le produit, puis je réduis l'intérieur de chaque facteur.
- Je contrôle en développant mentalement, ou en remplaçant x par une valeur simple.
Exemple
Factoriser C = (x + 1)(2x − 5) + (x + 1)(x + 3).
Le facteur commun est (x + 1) :
C = (x + 1)[(2x − 5) + (x + 3)]
C = (x + 1)(3x − 2).
Exemple
Soit B = (3x + 2)² − (x − 1)². Développer, puis factoriser B.
Développement : (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4 et (x − 1)² = x² − 2x + 1.
B = 9x² + 12x + 4 − x² + 2x − 1 = 8x² + 14x + 3.
Factorisation : B est de la forme a² − b² avec a = 3x + 2 et b = x − 1.
B = [(3x + 2) − (x − 1)][(3x + 2) + (x − 1)]
B = (3x + 2 − x + 1)(3x + 2 + x − 1) = (2x + 3)(4x + 1).
Contrôle : (2x + 3)(4x + 1) = 8x² + 2x + 12x + 3 = 8x² + 14x + 3. Juste.
Autre exemple : 9x2 - 30x + 25. On voit 9x2 = (3x)2 et 25 = 52, et le terme du milieu vaut bien 2 × 3x × 5 = 30x. Donc 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5)2.
3. Les fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un quotient de deux expressions en x, comme F(x) = x2 - 4x2 + 2x.
Une valeur interdite est une valeur de x qui annule le dénominateur : on ne peut pas diviser par zéro. On la cherche en résolvant « dénominateur = 0 ».
Pour simplifier, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on supprime un facteur commun, en précisant les valeurs interdites.
Exemple
Soit F(x) = (x² − 4)/(x² + 2x). Trouver les valeurs interdites, puis simplifier.
Dénominateur : x² + 2x = x(x + 2). Il est nul pour x = 0 ou x = −2.
Valeurs interdites : 0 et −2.
Numérateur : x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Pour x ≠ 0 et x ≠ −2 : F(x) = (x − 2)(x + 2) / [x(x + 2)] = (x − 2)/x.
Pour additionner deux fractions rationnelles, on les met au même dénominateur, comme pour les fractions de nombres : pour x ≠ 0 et x ≠ -1,
1x + 2x + 1 = x + 1x(x + 1) + 2xx(x + 1) = 3x + 1x(x + 1).
4. Choisir la bonne forme
Une même expression a plusieurs formes égales. On choisit :
- la forme développée pour calculer l'image de 0 ou comparer des coefficients ;
- la forme factorisée pour résoudre « expression = 0 » ou étudier un signe (leçons suivantes) ;
- parfois une autre forme, comme (x - 3)2 - 4, pour trouver un minimum (leçon « Notion d'extremum »).
3Je retiens
Je retiens
Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
Pour factoriser : facteur commun d'abord, sinon identité remarquable.
Valeur interdite : valeur de x qui annule un dénominateur.
On ne simplifie une fraction rationnelle qu'après avoir factorisé, en rappelant les valeurs interdites.
Toujours contrôler un calcul en remplaçant x par une valeur simple.
4Erreurs fréquentes
- Écrire (x + 3)² = x² + 9 : on oublie le double produit 2 × x × 3 = 6x.
- Oublier de changer les signes après un « − » devant une parenthèse : −(x² − 2x + 1) = −x² + 2x − 1.
- Simplifier des termes au lieu de facteurs : (x + 2)/(x + 5) ne se simplifie pas en 2/5.
- Oublier les valeurs interdites quand on simplifie une fraction rationnelle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Développe et réduis.
a) 3x(2x - 5) b) (x - 4)(2x + 1) c) (2x + 5)2 d) (3 - x)(3 + x)
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a) 6x2 - 15x.
b) 2x2 + x - 8x - 4 = 2x2 - 7x - 4.
c) (2x)2 + 2 × 2x × 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25.
d) 32 - x2 = 9 - x2.
2Exercice 2
Factorise.
a) 6x2 - 9x b) x2 - 16 c) 4x2 + 12x + 9 d) (2x - 1)(x + 3) - (2x - 1)(4x - 2)
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a) Facteur commun 3x : 3x(2x - 3).
b) x2 - 42 = (x - 4)(x + 4).
c) (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 = (2x + 3)2.
d) Facteur commun (2x - 1) : (2x - 1)[(x + 3) - (4x - 2)] = (2x - 1)(x + 3 - 4x + 2) = (2x - 1)(-3x + 5).
3Exercice 3
On donne E = (x - 3)2 - 4.
a) Développe et réduis E.
b) Factorise E.
c) Calcule E pour x = 0, puis pour x = 3, en choisissant chaque fois la forme la plus pratique.
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a) E = x2 - 6x + 9 - 4 = x2 - 6x + 5.
b) E = (x - 3)2 - 22 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1).
Contrôle : (x - 5)(x - 1) = x2 - x - 5x + 5 = x2 - 6x + 5.
c) Pour x = 0, la forme développée donne directement E = 5. Pour x = 3, la forme de départ donne E = 02 - 4 = -4.
4Exercice 4
a) Soit F(x) = x2 - 9x2 - 3x. Donne les valeurs interdites, puis simplifie F(x). Calcule F(1).
b) Écris G(x) = 2x - 1 - 1x + 1 sous la forme d'une seule fraction, en précisant les valeurs interdites.
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a) Dénominateur : x2 - 3x = x(x - 3), nul pour x = 0 ou x = 3. Valeurs interdites : 0 et 3. Numérateur : x2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Pour x ≠ 0 et x ≠ 3 : F(x) = x + 3x. Donc F(1) = 41 = 4.
b) Valeurs interdites : 1 et -1. Dénominateur commun (x - 1)(x + 1) = x2 - 1 :
G(x) = 2(x + 1) - (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 2x + 2 - x + 1x2 - 1 = x + 3x2 - 1.
5Exercice 5
(Type examen) Ibrahima possède un champ rectangulaire de longueur 2x + 3 mètres et de largeur x + 1 mètres (x > 0). À une extrémité, il réserve un enclos carré de côté x + 1 mètres pour ses moutons.
a) Exprime l'aire A de la partie restante en fonction de x.
b) Développe et réduis A.
c) Factorise A et interprète le résultat.
d) Calcule A pour x = 10.
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a) Aire du champ moins aire de l'enclos : A = (2x + 3)(x + 1) - (x + 1)2.
b) (2x + 3)(x + 1) = 2x2 + 5x + 3 et (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Donc A = 2x2 + 5x + 3 - x2 - 2x - 1 = x2 + 3x + 2.
c) Facteur commun (x + 1) : A = (x + 1)[(2x + 3) - (x + 1)] = (x + 1)(x + 2). Interprétation : la partie restante est un rectangle de largeur x + 1 et de longueur (2x + 3) - (x + 1) = x + 2.
d) A = 11 × 12 = 132 m². Contrôle avec la forme développée : 100 + 30 + 2 = 132 m².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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