Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 17
Généralités sur les fonctions
Je sais ce qu'est une fonction, je calcule des images et des antécédents, je trouve un ensemble de définition et je reconnais le sens de variation et la parité d'une fonction.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire et les notations des fonctions (image, antécédent, f(x))
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
- Démontrer qu'une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle
- Étudier la parité d'une fonction
Avant de commencer : Le calcul littéral, les équations et les inéquations (leçons 3 à 5), et les intervalles (leçon « Les nombres réels »).
1Je découvre
À Kankan, Ibrahima fait le taxi-moto. Son tarif est simple : 3 000 GNF pour la prise en charge, puis 1 000 GNF par kilomètre. Pour un trajet de 4 km, il demande 3 000 + 4 × 1 000 = 7 000 GNF ; pour 7,5 km, 3 000 + 7 500 = 10 500 GNF.
À chaque distance x (en km) correspond un seul prix, que l'on peut noter f(x) = 1 000x + 3 000. Une cliente, Kadiatou, pose la question à l'envers : « J'ai 12 000 GNF. Jusqu'où peux-tu m'emmener ? » Elle cherche la distance x telle que f(x) = 12 000, soit x = 9 km.
Ibrahima remarque aussi que plus la distance est longue, plus le prix est élevé ; il ne pourrait pas faire un tarif « à reculons ».
Ces trois idées — associer un nombre à un autre, remonter d'un résultat au nombre de départ, étudier comment le résultat évolue — sont au cœur de la notion de fonction.
Qu'est-ce qu'une fonction, et quels outils permettent de l'étudier ?
2Je comprends
1. Définition et vocabulaire
Une fonction f est un procédé qui, à chaque nombre x d'un ensemble D, associe un seul nombre, noté f(x). On écrit :
f : x longmapsto f(x).
- f(x) est l'image de x par f ;
- si f(a) = b, on dit que a est un antécédent de b ;
- x est la variable.
Un nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- 1Je choisis un nombre x (la distance en km).
- 2Je le multiplie par 1 000.
- 3J'ajoute 3 000.
- 4J'obtiens f(x) = 1 000x + 3 000, l'image de x (le prix en GNF).
Exemple
Soit f(x) = x² − 3x + 1. Calculer l'image de −2, puis les antécédents de 1.
Image de −2 : f(−2) = (−2)² − 3 × (−2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11.
Antécédents de 1 : on résout f(x) = 1, soit x² − 3x + 1 = 1, donc x² − 3x = 0, c'est-à-dire x(x − 3) = 0.
x = 0 ou x = 3. Le nombre 1 a deux antécédents : 0 et 3.
Vérification : f(3) = 9 − 9 + 1 = 1.
2. L'ensemble de définition
L'ensemble de définition Df d'une fonction est l'ensemble des réels x pour lesquels on peut calculer f(x). Deux opérations posent problème :
- on ne peut pas diviser par zéro : on exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ;
- on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif : l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
| Type de fonction | Condition | Exemple |
|---|---|---|
| polynôme (3x2 - x + 5) | aucune | D = ℝ |
| quotient A(x)B(x) | B(x) ≠ 0 | 2x + 1x - 4 : D = ℝ setminus {4} |
| racine √A(x) | A(x) ≥ 0 | √6 - 2x : D = ]-∞ ; 3] |
Dans une situation concrète, le sens du problème peut aussi limiter D : pour le taxi-moto, la distance est positive, donc on prend x ≥ 0.
Méthode
Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction :
- Je repère les dénominateurs et les racines carrées dans l'expression.
- Pour chaque dénominateur, je résous « dénominateur = 0 » et j'exclus ces valeurs.
- Pour chaque racine, je résous « expression sous la racine ≥ 0 ».
- Je rassemble les conditions et j'écris D sous forme d'intervalle(s).
- S'il n'y a ni dénominateur ni racine, D = R (sauf contrainte de la situation).
Exemple
Déterminer l'ensemble de définition de k(x) = 1/(x² − 9) et de h(x) = √(6 − 2x).
Pour k : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 pour x = 3 ou x = −3. D = R \ {−3 ; 3}.
Pour h : 6 − 2x ≥ 0, soit −2x ≥ −6, donc x ≤ 3 (on a divisé par −2 : le sens change). D = ]−∞ ; 3].
3. Le sens de variation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
- f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b). Les images sont rangées dans le même ordre que les nombres.
- f est décroissante sur I si : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b). Les images sont rangées dans l'ordre contraire.
On parle de fonction strictement croissante (ou décroissante) avec des inégalités strictes. Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre ; on le résume dans un tableau de variations (leçon « Représentation graphique d'une fonction »).
Pour démontrer un sens de variation, on prend a < b et on étudie le signe de f(b) - f(a).
Exemple
Montrer que f(x) = −2x + 5 est strictement décroissante sur R.
Soient a < b. f(b) − f(a) = (−2b + 5) − (−2a + 5) = −2b + 2a = −2(b − a).
Comme b − a > 0, on a −2(b − a) < 0, donc f(b) < f(a).
Les images sont rangées dans l'ordre contraire : f est strictement décroissante sur R.
Le tarif du taxi-moto, f(x) = 1 000x + 3 000, est au contraire strictement croissant : f(b) - f(a) = 1 000(b - a) > 0.
4. La parité
On dit que Df est symétrique par rapport à 0 si, pour tout x de Df, -x est aussi dans Df (c'est le cas de ℝ, de ℝ^*, de [-2 ; 2]…).
- f est paire si Df est symétrique et si f(-x) = f(x) pour tout x de Df ;
- f est impaire si Df est symétrique et si f(-x) = -f(x) pour tout x de Df.
Nous verrons à la leçon suivante que la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et celle d'une fonction impaire symétrique par rapport à l'origine.
Exemple
Étudier la parité de f(x) = x² + 1, g(x) = x³ − x et h(x) = x² + x (toutes définies sur R, ensemble symétrique).
f(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1 = f(x) : f est paire.
g(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −g(x) : g est impaire.
h(1) = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0 : h(−1) ≠ h(1) et h(−1) ≠ −h(1). h n'est ni paire ni impaire.
Pour montrer qu'une fonction n'est ni paire ni impaire, un seul contre-exemple suffit.
3Je retiens
Je retiens
Une fonction associe à chaque x de D une seule image f(x).
Antécédent de b : solution de l'équation f(x) = b (il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs).
D : on exclut les zéros des dénominateurs ; sous une racine, l'expression doit être ≥ 0.
Croissante sur I : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) ; décroissante : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b).
Pour démontrer : on étudie le signe de f(b) − f(a) pour a < b.
Paire : f(−x) = f(x) ; impaire : f(−x) = −f(x) ; D doit être symétrique par rapport à 0.
4Erreurs fréquentes
- Confondre image et antécédent : l'image se CALCULE (f(2) = …) ; l'antécédent se TROUVE en résolvant f(x) = b.
- Oublier les parenthèses : pour f(x) = x², f(−3) = (−3)² = 9, et non −3² = −9.
- Conclure « paire » après un seul essai comme f(2) = f(−2) : il faut le démontrer pour tout x.
- Oublier le changement de sens en résolvant −2x ≥ −6 pour trouver un ensemble de définition.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f(x) = 2x2 - 5.
a) Calcule f(0), f(-3) et f(√2).
b) Trouve les antécédents de 3, puis ceux de -7.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f(0) = -5 ; f(-3) = 2 × 9 - 5 = 13 ; f(√2) = 2 × 2 - 5 = -1.
b) 2x2 - 5 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = -2 ou x = 2 : deux antécédents. 2x2 - 5 = -7 ⇔ x2 = -1 : impossible, -7 n'a aucun antécédent.
2Exercice 2
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = 3x3 - x + 2 b) g(x) = 52x - 6 c) h(x) = √x + 4 d) k(x) = x + 1x2 - 4x
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a) Polynôme : Df = ℝ.
b) 2x - 6 = 0 ⇔ x = 3 : Dg = ℝ setminus {3}.
c) x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4 : Dh = [-4 ; +∞[.
d) x2 - 4x = x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4 : Dk = ℝ setminus {0 ; 4}.
3Exercice 3
a) Démontre que f(x) = 3x - 7 est strictement croissante sur ℝ.
b) Démontre que g(x) = 1x est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
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a) Soient a < b. f(b) - f(a) = 3b - 7 - 3a + 7 = 3(b - a) > 0, donc f(a) < f(b) : f est strictement croissante sur ℝ.
b) Soient 0 < a < b. g(b) - g(a) = 1b - 1a = a - bab. Or a - b < 0 et ab > 0, donc g(b) - g(a) < 0 : g est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
4Exercice 4
Étudie la parité de :
a) f(x) = 3x4 - x2 b) g(x) = x3 + 4x c) h(x) = x2 - 2x d) k(x) = 1x (définie sur ℝ^*)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) D = ℝ symétrique ; f(-x) = 3(-x)4 - (-x)2 = 3x4 - x2 = f(x) : paire.
b) g(-x) = -x3 - 4x = -(x3 + 4x) = -g(x) : impaire.
c) h(1) = -1 et h(-1) = 1 + 2 = 3 ; 3 ≠ -1 et 3 ≠ 1 : ni paire ni impaire.
d) ℝ^* est symétrique ; k(-x) = 1-x = -1x = -k(x) : impaire.
5Exercice 5
(Type examen) Une couturière de Labé estime que le coût de fabrication de x boubous est C(x) = x2 + 20x + 100, en milliers de GNF, pour 0 ≤ x ≤ 30.
a) Calcule C(10) et interprète.
b) Le coût moyen d'un boubou est M(x) = C(x)x. Donne son ensemble de définition dans cette situation, puis calcule M(10).
c) Trouve l'antécédent de 400 par C sur [0 ; 30].
d) Démontre que C est strictement croissante sur [0 ; 30].
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) C(10) = 100 + 200 + 100 = 400 : fabriquer 10 boubous coûte 400 000 GNF.
b) On divise par x, donc x ≠ 0 ; avec la contrainte 0 ≤ x ≤ 30 : DM = ]0 ; 30]. M(10) = 40010 = 40 : chaque boubou revient en moyenne à 40 000 GNF.
c) x2 + 20x + 100 = 400 ⇔ (x + 10)2 = 400 ⇔ x + 10 = 20 ou x + 10 = -20. Soit x = 10 ou x = -30 ; seul 10 ∈ [0 ; 30]. L'antécédent est 10.
d) Soient 0 ≤ a < b ≤ 30. C(b) - C(a) = b2 - a2 + 20(b - a) = (b - a)(b + a) + 20(b - a) = (b - a)(a + b + 20). Or b - a > 0 et a + b + 20 > 0, donc C(b) - C(a) > 0 : C est strictement croissante sur [0 ; 30].
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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