Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 17
Les suites géométriques
Je sais reconnaître une suite géométrique, calculer ses termes et la somme de termes consécutifs, et l'utiliser pour les pourcentages répétés et les intérêts composés.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et définir une suite géométrique par son premier terme et sa raison
- Utiliser la formule du terme général u(n) = u(0) × qⁿ ou u(n) = u(p) × qⁿ⁻ᵖ
- Connaître le sens de variation d'une suite géométrique de premier terme positif
- Calculer la somme de termes consécutifs et modéliser une évolution à taux constant
Avant de commencer : Les puissances et les coefficients multiplicateurs (leçon « Activités numériques »), les suites arithmétiques (leçon précédente).
1Je découvre
Mariama, qui vend des tissus à Kankan, a économisé 1 000 000 GNF. Une institution de microfinance lui propose un placement à intérêts composés au taux de 10 % par an : chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital, et l'année suivante ils rapportent eux aussi des intérêts. (Le taux est choisi pour l'exemple.)
- Après 1 an : 1 000 000 × 1,1 = 1 100 000 GNF ;
- après 2 ans : 1 100 000 × 1,1 = 1 210 000 GNF ;
- après 3 ans : 1 210 000 × 1,1 = 1 331 000 GNF.
Les gains augmentent chaque année : 100 000 GNF la première, 110 000 la deuxième, 121 000 la troisième. Ce n'est donc pas une suite arithmétique : on n'ajoute pas toujours le même nombre, on multiplie toujours par le même nombre, 1,1.
Mariama voudrait savoir combien elle aura au bout de 10 ans sans faire dix multiplications, et si son capital aura doublé.
Comment calculer directement les termes d'une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre, et la somme de ces termes ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n :
un+1 = q × un.
Le nombre q s'appelle la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
Pour démontrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on calcule un+1un : si c'est une constante, la suite est géométrique et cette constante est sa raison.
Lien avec les pourcentages : augmenter une quantité de t \% chaque année, c'est la multiplier chaque année par q = 1 + t100 ; la diminuer de t \%, c'est la multiplier par q = 1 - t100. Une évolution à taux constant se modélise donc par une suite géométrique.
Exemple
La suite u(n) = 3 × 2ⁿ est-elle géométrique ?
u(n) n'est jamais nul, et u(n+1)/u(n) = (3 × 2ⁿ⁺¹)/(3 × 2ⁿ) = 2.
C'est une constante : (u(n)) est géométrique de raison 2 et de premier terme u₀ = 3 × 2⁰ = 3.
2. Le terme général
Si (un) est géométrique de raison q :
- un = u0 × qn ;
- plus généralement : un = up × qn - p ;
- si le premier terme est u1 : un = u1 × qn - 1.
Pour aller de u0 à un, on multiplie n fois par q.
| Suite arithmétique | Suite géométrique | |
|---|---|---|
| Passage au suivant | on ajoute r | on multiplie par q |
| Terme général | un = u0 + nr | un = u0 × qn |
| Pour la reconnaître | un+1 - un constant | un+1un constant |
| Croissance | linéaire (points alignés) | exponentielle (de plus en plus rapide si q > 1) |
Exemple
Retour au placement de Mariama : C₀ = 1 000 000 et q = 1,1. Calculer C₁₀.
C₁₀ = C₀ × q¹⁰ = 1 000 000 × 1,1¹⁰ ≈ 1 000 000 × 2,593 7 ≈ 2 593 742 GNF.
Au bout de 10 ans, son capital a plus que doublé.
Exemple
(u(n)) est géométrique à termes positifs avec u₂ = 12 et u₅ = 96. Trouver q et u₀.
u₅ = u₂ × q³, donc 96 = 12 × q³, soit q³ = 8 et q = 2.
u₂ = u₀ × q², donc 12 = u₀ × 4, soit u₀ = 3.
Contrôle : u₅ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
3. Sens de variation
Pour une suite géométrique de premier terme u0 > 0 :
- si q > 1, la suite est strictement croissante ;
- si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante (elle se rapproche de 0) ;
- si q = 1, elle est constante ;
- si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante.
En effet, un+1 - un = u0 qn (q - 1) ; quand q > 0 et u0 > 0, ce nombre a le signe de q - 1.
4. Somme de termes consécutifs
Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1 :
S = premier terme × 1 - qnombre de termes1 - q.
En particulier : 1 + q + q2 + … + qn = 1 - qn+11 - q.
Si q = 1, tous les termes sont égaux et la somme vaut « nombre de termes × premier terme ».
Méthode
Pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique :
- Je vérifie que la suite est géométrique et je note sa raison q (q ≠ 1).
- Je repère le premier terme de la somme.
- Je compte le nombre de termes : de u(p) à u(n), il y en a n − p + 1.
- J'applique S = premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q).
- Je contrôle, si possible, en additionnant les premiers termes à la main.
Exemple
Calculer S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96.
Chaque terme est le double du précédent : suite géométrique de raison 2, premier terme 3, et 6 termes.
S = 3 × (1 − 2⁶)/(1 − 2) = 3 × (1 − 64)/(−1) = 3 × 63 = 189.
Contrôle : 3 + 6 = 9 ; 9 + 12 = 21 ; 21 + 24 = 45 ; 45 + 48 = 93 ; 93 + 96 = 189.
5. Intérêts simples et intérêts composés
Avec un capital C0 placé au taux annuel t :
- à intérêts simples, on gagne chaque année le même montant C0 × t : Cn = C0 + nC0t, suite arithmétique ;
- à intérêts composés, les intérêts s'ajoutent au capital : Cn = C0 (1 + t)n, suite géométrique.
À long terme, la suite géométrique finit toujours par dépasser la suite arithmétique quand q > 1 : c'est la force de la croissance exponentielle, très utilisée en économie et en démographie.
3Je retiens
Je retiens
Suite géométrique : u(n+1) = q × u(n) (on multiplie toujours par la raison q).
Pour le démontrer : u(n+1)/u(n) est une constante (termes non nuls).
Terme général : u(n) = u₀ × qⁿ ; u(n) = u(p) × qⁿ⁻ᵖ ; u(n) = u₁ × qⁿ⁻¹.
Hausse de t % par période : q = 1 + t/100 ; baisse de t % : q = 1 − t/100.
Si u₀ > 0 : q > 1 croissante ; 0 < q < 1 décroissante ; q = 1 constante.
Somme (q ≠ 1) : premier terme × (1 − q^(nombre de termes))/(1 − q).
Intérêts composés : Cn = C₀(1 + t)ⁿ.
4Erreurs fréquentes
- Confondre les deux types de suites : +5 % par an donne une suite géométrique (q = 1,05), pas une suite arithmétique de raison 5.
- Écrire u(n) = u₀ × q × n au lieu de u₀ × qⁿ : la raison est un exposant, pas un facteur multiplié par n.
- Utiliser le rang au lieu du nombre de termes dans la formule de la somme : de u₀ à u₅, l'exposant est 6.
- Calculer 3 × 2⁵ comme 6⁵ : la puissance ne porte que sur 2 (priorité des puissances).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dis si chaque suite est géométrique. Si oui, donne sa raison et son premier terme.
a) un = 5 × 3n b) vn = 2n + 1 c) w0 = 64 et wn+1 = wn4 d) tn = 2n+2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) un+1un = 5 × 3n+15 × 3n = 3 : géométrique, q = 3, u0 = 5.
b) vn+1 - vn = 2 : elle est arithmétique. Elle n'est pas géométrique : v0 = 1, v1 = 3, v2 = 5 et 31 ≠ 53.
c) wn+1 = 14 wn : géométrique, q = 14, w0 = 64.
d) tn = 2n+2 = 4 × 2n : géométrique, q = 2, t0 = 4.
2Exercice 2
(un) est géométrique de premier terme u0 = 80 et de raison 12.
a) Exprime un en fonction de n ; calcule u1 et u4.
b) Donne le sens de variation de (un).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) un = 80 × (12)n. u1 = 40 ; u4 = 80 × 116 = 5.
b) u0 = 80 > 0 et 0 < q = 12 < 1 : la suite est strictement décroissante.
3Exercice 3
(un) est géométrique à termes positifs avec u1 = 6 et u4 = 162. Calcule la raison, u0 et u6.
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u4 = u1 × q3, soit 162 = 6q3, donc q3 = 27 et q = 3. u0 = u1q = 2. u6 = 2 × 36 = 2 × 729 = 1 458.
4Exercice 4
Calcule :
a) 1 + 3 + 9 + … + 36
b) S = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 pour la suite de l'exercice 2.
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a) Premier terme 1, raison 3, 7 termes (30 à 36) : 1 - 371 - 3 = 1 - 2 187-2 = -2 186-2 = 1 093.
b) Premier terme 80, raison 12, 5 termes : S = 80 × 1 - (12)51 - 12 = 80 × 3132 × 2 = 155. Contrôle : 80 + 40 + 20 + 10 + 5 = 155.
5Exercice 5
(Type examen, calculatrice autorisée) Fatoumata hésite entre deux contrats de travail. Le salaire mensuel de la première année est de 1 500 000 GNF dans les deux cas.
- Contrat A : le salaire mensuel augmente de 100 000 GNF chaque année.
- Contrat B : le salaire mensuel augmente de 5 % chaque année.
On note an et bn le salaire mensuel de l'année n (a1 = b1 = 1 500 000).
a) Quelle est la nature de chaque suite ? Donne sa raison.
b) Exprime an et bn en fonction de n.
c) Calcule le salaire mensuel de la 5e année dans chaque contrat (arrondi au franc).
d) Calcule a13, b13, a14 et b14. À partir de quelle année le contrat B devient-il plus avantageux ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (an) est arithmétique de raison 100 000 ; (bn) est géométrique de raison 1,05.
b) an = 1 500 000 + 100 000(n - 1) et bn = 1 500 000 × 1,05n - 1.
c) a5 = 1 500 000 + 400 000 = 1 900 000 GNF. b5 = 1 500 000 × 1,054 = 1 500 000 × 1,215 506 25 ≈ 1 823 259 GNF. La 5e année, le contrat A est meilleur.
d) a13 = 1 500 000 + 1 200 000 = 2 700 000 GNF et b13 = 1 500 000 × 1,0512 ≈ 2 693 784 GNF : A reste meilleur.
a14 = 2 800 000 GNF et b14 = 1 500 000 × 1,0513 ≈ 2 828 474 GNF : B dépasse A.
Le contrat B devient plus avantageux à partir de la 14e année ; ensuite l'écart ne fait que grandir, car la croissance géométrique s'accélère.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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