Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 23
Équations du premier degré
Je sais résoudre toute équation qui se ramène à ax + b = 0, y compris avec des fractions, des quotients, des valeurs absolues ou un paramètre.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre ax + b = 0 en distinguant les trois cas possibles
- Se ramener à une équation du premier degré (fractions, produit nul, quotient nul, valeur absolue)
- Discuter une équation qui dépend d'un paramètre m
- Mettre un problème en équation et interpréter la solution
Avant de commencer : Le calcul littéral (développer, factoriser), les identités remarquables, la valeur absolue et la propriété du produit nul vus en 11e.
1Je découvre
Sékou, élève de 12e à Kankan, compare deux forfaits d'appels proposés dans une boutique de son quartier.
- Forfait A : 20 000 GNF d'abonnement par mois, puis 500 GNF la minute.
- Forfait B : pas d'abonnement, mais 1 000 GNF la minute.
Il appelle x le nombre de minutes consommées dans le mois. Le forfait A coûte 20 000 + 500x et le forfait B coûte 1 000x. Les deux forfaits coûtent la même chose lorsque :
20 000 + 500x = 1 000x, soit 500x = 20 000, donc x = 40 minutes.
Sékou trouve cela facile. Mais son professeur lui pose ensuite des questions plus délicates : que se passe-t-il si les « x » disparaissent pendant le calcul ? Et si le prix de la minute n'est pas connu, mais noté m ?
Comment résoudre toutes les équations qui se ramènent au premier degré, et comment discuter les cas selon la valeur d'un paramètre ?
2Je comprends
1. L'équation ax + b = 0 et ses trois cas
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire ax + b = 0, où a et b sont des nombres réels donnés et x l'inconnue.
Pour la résoudre, on isole x avec deux règles :
- on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ;
- on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Trois cas peuvent se présenter :
| Cas | Équation | Ensemble des solutions |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | ax = -b | S = {-ba} (une seule solution) |
| a = 0 et b = 0 | 0x = 0 | S = ℝ (tout réel est solution) |
| a = 0 et b ≠ 0 | 0x = -b | S = ∅ (aucune solution) |
Graphiquement, résoudre ax + b = 0 revient à chercher l'abscisse du point où la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des abscisses.
Exemple
Résoudre 3(x − 2) − 2(2x + 1) = 5 − x.
On développe : 3x − 6 − 4x − 2 = 5 − x, soit −x − 8 = 5 − x.
On ajoute x aux deux membres : −8 = 5.
Cette égalité est fausse quelle que soit la valeur de x : S = ∅.
(C'est le cas a = 0 et b ≠ 0.)
2. Équations avec des fractions
Quand l'équation contient des dénominateurs numériques, on multiplie les deux membres par leur plus petit dénominateur commun pour se débarrasser des fractions.
Exemple
Résoudre (x − 1)/3 − (2x + 1)/4 = 1/6.
Le dénominateur commun de 3, 4 et 6 est 12. On multiplie tout par 12 :
4(x − 1) − 3(2x + 1) = 2
4x − 4 − 6x − 3 = 2
−2x − 7 = 2, donc −2x = 9 et x = −9/2.
Vérification : (−9/2 − 1)/3 = −11/6 et (2 × (−9/2) + 1)/4 = −8/4 = −2.
−11/6 − (−2) = −11/6 + 12/6 = 1/6. Juste. S = {−9/2}.
3. Équations produits et équations quotients
Tu connais la propriété du produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Pour un quotient, il faut ajouter une condition, car on ne divise jamais par zéro :
AB = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0.
Avant de résoudre une équation qui contient x au dénominateur, on écrit donc toujours les valeurs interdites.
Exemple
Résoudre (x² − 4)/(x − 2) = 0.
Valeur interdite : x − 2 = 0, soit x = 2.
Le numérateur doit être nul : x² − 4 = (x − 2)(x + 2) = 0, donc x = 2 ou x = −2.
Or 2 est interdit : on le rejette. S = {−2}.
Exemple
Résoudre (2x − 3)/(x + 1) = 1.
Valeur interdite : x = −1. Pour x ≠ −1, on multiplie par (x + 1) :
2x − 3 = x + 1, donc x = 4.
4 n'est pas interdit. S = {4}. Vérification : (8 − 3)/(4 + 1) = 5/5 = 1.
4. Équations avec valeur absolue
Rappel : |X| = k avec k > 0 équivaut à X = k ou X = -k ; |X| = 0 équivaut à X = 0 ; et |X| = k avec k < 0 n'a pas de solution. De même, |A| = |B| ⇔ A = B ou A = -B.
Exemple
Résoudre |x − 3| = |2x + 1|.
Premier cas : x − 3 = 2x + 1, donc x = −4.
Second cas : x − 3 = −(2x + 1) = −2x − 1, donc 3x = 2 et x = 2/3.
Vérification : |−4 − 3| = 7 et |−8 + 1| = 7 ; |2/3 − 3| = 7/3 et |4/3 + 1| = 7/3.
S = {−4 ; 2/3}.
5. Équations avec paramètre
Une équation peut contenir, en plus de l'inconnue x, une lettre m appelée paramètre : c'est un nombre fixé mais non précisé. Discuter l'équation, c'est donner l'ensemble des solutions selon les valeurs de m. On l'écrit sous la forme A(m) x = B(m) et on examine le cas où le coefficient A(m) s'annule. Cette discussion est exigée dans les deux séries ; en SM, on attend en plus une rédaction très soignée de chaque cas.
Méthode
Pour discuter une équation à paramètre :
- Je développe et je regroupe les termes en x d'un côté : A(m) x = B(m).
- Je cherche les valeurs de m qui annulent A(m).
- Si A(m) ≠ 0 : une seule solution x = B(m)/A(m), que je simplifie.
- Pour chaque valeur de m qui annule A(m), je remplace m dans l'équation : 0x = 0 donne S = ℝ ; 0x = nombre non nul donne S = ∅.
- Je termine par un tableau ou une phrase qui résume tous les cas.
Exemple
Discuter selon m l'équation m(x − 1) = 2x + 3.
On développe : mx − m = 2x + 3, donc mx − 2x = m + 3, soit (m − 2)x = m + 3.
Si m ≠ 2 : x = (m + 3)/(m − 2), une solution unique.
Si m = 2 : l'équation devient 0x = 5, ce qui est impossible : S = ∅.
Par exemple, pour m = 3 : x = 6/1 = 6. Vérification : 3(6 − 1) = 15 et 2 × 6 + 3 = 15.
3Je retiens
Je retiens
ax + b = 0 : si a ≠ 0, S = {−b/a} ; si a = 0 et b = 0, S = ℝ ; si a = 0 et b ≠ 0, S = ∅.
Fractions numériques : je multiplie tout par le dénominateur commun.
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
A/B = 0 ⟺ A = 0 et B ≠ 0 : j'écris toujours d'abord les valeurs interdites.
|A| = |B| ⟺ A = B ou A = −B ; |X| = k (k > 0) ⟺ X = k ou X = −k.
Discussion : j'écris A(m) x = B(m), puis je traite à part les valeurs de m qui annulent A(m).
4Erreurs fréquentes
- Garder une valeur interdite : dans (x² − 4)/(x − 2) = 0, la valeur 2 annule le numérateur mais aussi le dénominateur ; elle n'est pas solution.
- Oublier de multiplier tous les termes par le dénominateur commun : dans x/2 + 1 = x/3, le « 1 » doit aussi être multiplié par 6.
- Diviser par une expression qui dépend de m sans vérifier qu'elle est non nulle : dans (m − 2)x = m + 3, on ne peut écrire x = (m + 3)/(m − 2) que si m ≠ 2.
- Conclure « x = 0 » quand on obtient 0x = 0 : il faut conclure S = ℝ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) 5x - 7 = 2x + 8
b) 2(x + 3) = 2x + 6
c) 4x - 1 = 4(x + 2)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5x - 2x = 8 + 7, soit 3x = 15 et x = 5. S = {5}.
b) 2x + 6 = 2x + 6 : on obtient 0x = 0, vrai pour tout réel. S = ℝ.
c) 4x - 1 = 4x + 8 donne -1 = 8, ce qui est faux. S = ∅.
2Exercice 2
Résous x + 12 - x - 23 = 2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On multiplie par 6 : 3(x + 1) - 2(x - 2) = 12, soit 3x + 3 - 2x + 4 = 12, donc x + 7 = 12 et x = 5.
Vérification : 62 - 33 = 3 - 1 = 2. S = {5}.
3Exercice 3
Résous en précisant d'abord les valeurs interdites :
a) 3x - 6x + 4 = 0
b) x + 2x - 1 = 3
c) xx - 3 = 3x - 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Valeur interdite : -4. Numérateur nul : 3x - 6 = 0, soit x = 2, qui n'est pas interdit. S = {2}.
b) Valeur interdite : 1. Pour x ≠ 1 : x + 2 = 3(x - 1), soit x + 2 = 3x - 3, donc 2x = 5 et x = 52. Vérification : 4,51,5 = 3. S = {52}.
c) Valeur interdite : 3. Pour x ≠ 3, on multiplie par x - 3 : x = 3. Or 3 est interdit. S = ∅.
4Exercice 4
Résous :
a) |3x + 2| = 4
b) |x + 1| = |x - 5|
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x + 2 = 4 ou 3x + 2 = -4, soit x = 23 ou x = -2. S = {-2 ; 23}.
b) Premier cas : x + 1 = x - 5 donne 1 = -5, impossible. Second cas : x + 1 = -(x - 5) = -x + 5, soit 2x = 4 et x = 2. Vérification : |3| = |-3| = 3. S = {2}.
5Exercice 5
Discute, selon les valeurs du réel m :
a) (m + 1)x = m2 - 1
b) (m2 - 9)x = m - 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le coefficient m + 1 s'annule pour m = -1.
- Si m ≠ -1 : x = m2 - 1m + 1 = (m - 1)(m + 1)m + 1 = m - 1. S = {m - 1}.
- Si m = -1 : 0x = 0. S = ℝ.
b) Le coefficient m2 - 9 = (m - 3)(m + 3) s'annule pour m = 3 et m = -3.
- Si m ≠ 3 et m ≠ -3 : x = m - 3(m - 3)(m + 3) = 1m + 3. S = {1m + 3}.
- Si m = 3 : 0x = 0. S = ℝ.
- Si m = -3 : 0x = -6, impossible. S = ∅.
6Exercice 6
(Problème) Le père de Mariama a 42 ans et Mariama a 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de celui de sa fille ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x le nombre d'années cherché. Dans x ans, le père aura 42 + x ans et Mariama 12 + x ans. On veut 42 + x = 2(12 + x), soit 42 + x = 24 + 2x, donc x = 18.
Vérification : dans 18 ans, le père aura 60 ans et Mariama 30 ans, et 60 = 2 × 30. Réponse : dans 18 ans.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
