Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 23
Les inéquations du second degré
Je sais trouver le signe d'un trinôme du second degré et m'en servir pour résoudre des inéquations du second degré, des inéquations produits ou quotients et des problèmes.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer et justifier la règle du signe d'un trinôme selon le signe de Δ
- Résoudre une inéquation du second degré
- Résoudre une inéquation produit ou quotient avec un tableau de signes
- Trouver les valeurs d'un paramètre pour qu'un trinôme garde un signe constant
Avant de commencer : Les équations du second degré (discriminant, racines, factorisation) et les tableaux de signes des inéquations du premier degré.
1Je découvre
Lansana tient une petite unité de fabrication de savon à Kankan. Son comptable a établi que, s'il produit x caisses par semaine, son bénéfice hebdomadaire, en milliers de francs guinéens, est donné par :
B(x) = -x2 + 40x - 300.
Pour x = 5, B(5) = -25 + 200 - 300 = -125 : il perd 125 000 GNF. Pour x = 20, B(20) = -400 + 800 - 300 = 100 : il gagne 100 000 GNF. Pour x = 35, B(35) = -1 225 + 1 400 - 300 = -125 : il perd de nouveau de l'argent, car il faut alors payer des heures supplémentaires et acheter plus cher.
Lansana voudrait savoir exactement pour quelles productions il est gagnant, c'est-à-dire résoudre -x2 + 40x - 300 > 0.
Comment connaître le signe d'un trinôme du second degré pour toutes les valeurs de x, et résoudre ainsi une inéquation du second degré ?
2Je comprends
1. Le signe d'un trinôme
Soit le trinôme f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) de discriminant Δ.
- Si Δ > 0 : f(x) = a(x - x1)(x - x2) avec x1 < x2. Un tableau de signes montre que (x - x1)(x - x2) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines.
- Si Δ = 0 : f(x) = a(x - x0)2. f(x) est du signe de a pour tout x ≠ x0 et s'annule en x0.
- Si Δ < 0 : f(x) ne s'annule jamais et est toujours du signe de a.
On résume par la phrase : « le trinôme a le signe de a, sauf entre les racines ».
| x | -∞ | x1 | x2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) (Δ > 0) | signe de a | 0 | signe de -a | 0 | signe de a |
2. Résoudre une inéquation du second degré
Méthode
Pour résoudre une inéquation du second degré :
- Je passe tout dans un membre pour obtenir ax² + bx + c > 0 (ou <, ≥, ≤).
- Je calcule Δ et, s'il y en a, les racines.
- J'applique la règle : signe de a sauf entre les racines.
- Je lis les solutions ; je ferme les crochets sur les racines si l'inégalité est large (≥ ou ≤), je les ouvre si elle est stricte.
Exemple
Résoudre x² − x − 6 < 0.
Δ = 1 + 24 = 25. Racines : (1 − 5)/2 = −2 et (1 + 5)/2 = 3.
a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines.
S = ]−2 ; 3[.
Exemple
Résoudre −2x² + 3x + 2 ≤ 0.
Δ = 9 + 16 = 25. Racines : (−3 + 5)/(−4) = −1/2 et (−3 − 5)/(−4) = 2.
a = −2 < 0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines (signe de a) et positif entre elles.
S = ]−∞ ; −1/2] ∪ [2 ; +∞[.
Exemple
Résoudre x² + 2x + 5 > 0, puis 4x² − 4x + 1 ≤ 0.
Premier : Δ = 4 − 20 = −16 < 0 et a > 0 : le trinôme est toujours strictement positif. S = ℝ.
Second : Δ = 16 − 16 = 0 et 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)². Un carré n'est négatif ou nul que s'il est nul : 2x − 1 = 0. S = {1/2}.
Pour Lansana : -x2 + 40x - 300 > 0 ; Δ = 1 600 - 1 200 = 400 ; racines -40 + 20-2 = 10 et -40 - 20-2 = 30. Comme a = -1 < 0, le trinôme est positif entre les racines. Lansana est gagnant s'il produit strictement entre 10 et 30 caisses par semaine.
3. Inéquations produits et quotients
Quand l'expression est un produit ou un quotient de trinômes et de binômes, on fait un tableau de signes avec une ligne par facteur : pour un binôme, signe de a à droite de la racine ; pour un trinôme, signe de a sauf entre les racines.
Exemple
Résoudre (x² − 3x + 2)/(x + 3) ≥ 0.
Numérateur : a + b + c = 0, racines 1 et 2 ; positif à l'extérieur de [1 ; 2].
Dénominateur : s'annule en −3 (valeur interdite).
| x | −∞ | −3 | 1 | 2 | +∞ | ||||
| x² − 3x + 2 | + | + | 0 | − | 0 | + | |||
| x + 3 | − | 0 | + | + | + | ||||
| quotient | − | ‖ | + | 0 | − | 0 | + |
S = ]−3 ; 1] ∪ [2 ; +∞[.
4. Trinôme de signe constant (avec paramètre)
Un trinôme est strictement positif pour tout réel x si et seulement si a > 0 et Δ < 0. Il est strictement négatif pour tout x si et seulement si a < 0 et Δ < 0.
Exemple
Pour quelles valeurs de m a-t-on x² + mx + 1 > 0 pour tout réel x ?
a = 1 > 0. Il faut Δ = m² − 4 < 0.
m² − 4 est un trinôme en m, de racines −2 et 2, négatif entre elles.
Donc m ∈ ]−2 ; 2[.
Cette question est au programme des deux séries. En SM, on la prolonge souvent par l'étude du signe des racines d'une équation à paramètre, en utilisant la somme -ba et le produit ca.
3Je retiens
Je retiens
Signe de ax² + bx + c : signe de a, sauf entre les racines.
Δ > 0 : signe de a à l'extérieur de [x1 ; x2], signe contraire entre x1 et x2.
Δ = 0 : signe de a partout, sauf en x0 où il est nul.
Δ < 0 : toujours du signe de a.
Produit ou quotient : un tableau de signes, une ligne par facteur ; valeurs interdites exclues.
ax² + bx + c > 0 pour tout x ⟺ a > 0 et Δ < 0.
4Erreurs fréquentes
- Appliquer « positif à l'extérieur » sans regarder le signe de a : pour −x² + 4, a < 0, le trinôme est négatif à l'extérieur de [−2 ; 2].
- Conclure S = ∅ dès que Δ < 0 : x² + 1 > 0 a pour solutions tous les réels. Il faut regarder le signe de a et le sens de l'inégalité.
- Multiplier une inéquation par un dénominateur de signe inconnu : on compare toujours un quotient à 0 avec un tableau de signes.
- Mal placer les racines dans le tableau : il faut toujours les ranger dans l'ordre croissant, par exemple −1/2 avant 2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) x2 - 5x + 4 ≥ 0
b) -x2 + x + 12 > 0
c) 3x2 + x + 1 < 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 : racines 1 et 4. a > 0 : positif à l'extérieur des racines. S = ]-∞ ; 1] ∪ [4 ; +∞[.
b) Δ = 1 + 48 = 49 ; racines -1 + 7-2 = -3 et -1 - 7-2 = 4. a = -1 < 0 : positif entre les racines. S = ]-3 ; 4[.
c) Δ = 1 - 12 = -11 < 0 et a = 3 > 0 : le trinôme est toujours strictement positif. S = ∅.
2Exercice 2
Soit f(x) = (2x - 1)(x2 - 9). Dresse le tableau de signes de f(x), puis résous f(x) ≤ 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
2x - 1 s'annule en 12 ; x2 - 9 a pour racines -3 et 3 et est négatif entre elles.
| x | -∞ | -3 | 12 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x - 1 | - | - | 0 | + | + | ||||
| x2 - 9 | + | 0 | - | - | 0 | + | |||
| f(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
S = ]-∞ ; -3] ∪ [12 ; 3].
3Exercice 3
Résous x2 - x - 2x2 - 4x < 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Numérateur : Δ = 1 + 8 = 9, racines -1 et 2 ; négatif entre elles. Dénominateur : x2 - 4x = x(x - 4), racines 0 et 4 (valeurs interdites) ; négatif entre elles.
Rangement : -1 < 0 < 2 < 4.
- x < -1 : (+)/(+), positif ;
- -1 < x < 0 : (-)/(+), négatif ;
- 0 < x < 2 : (-)/(-), positif ;
- 2 < x < 4 : (+)/(-), négatif ;
- x > 4 : (+)/(+), positif.
L'inégalité est stricte : S = ]-1 ; 0[ ∪ ]2 ; 4[.
4Exercice 4
Résous 2xx + 1 ≥ x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Valeur interdite : -1. On compare à 0 :
2xx + 1 - x = 2x - x(x + 1)x + 1 = -x2 + xx + 1 = x(1 - x)x + 1.
Le numérateur -x2 + x a pour racines 0 et 1, et a = -1 < 0 : il est positif entre 0 et 1, négatif ailleurs.
- x < -1 : (-)/(-), positif ;
- -1 < x < 0 : (-)/(+), négatif ;
- 0 ≤ x ≤ 1 : positif ou nul ;
- x > 1 : (-)/(+), négatif.
S = ]-∞ ; -1[ ∪ [0 ; 1].
Contrôle : pour x = -2, -4-1 = 4 ≥ -2 (vrai) ; pour x = 2, 43 ≥ 2 (faux).
5Exercice 5
Détermine les réels m pour lesquels x2 - 2mx + m + 6 > 0 pour tout réel x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a = 1 > 0. Il faut Δ < 0 :
Δ = (-2m)2 - 4(m + 6) = 4m2 - 4m - 24 = 4(m2 - m - 6) = 4(m - 3)(m + 2).
Δ < 0 ⇔ (m - 3)(m + 2) < 0 ⇔ -2 < m < 3. Réponse : m ∈ ]-2 ; 3[.
6Exercice 6
(Type BAC) Sur le terrain de football de son quartier, à Siguiri, Sékou frappe un ballon vers le haut. Sa hauteur, en mètres, t secondes après la frappe, est h(t) = -5t2 + 20t (pour 0 ≤ t ≤ 4).
a) Calcule h(1) et h(2).
b) Pendant combien de temps le ballon est-il à 15 m de hauteur ou plus ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) h(1) = -5 + 20 = 15 m et h(2) = -20 + 40 = 20 m.
b) On résout -5t2 + 20t ≥ 15, soit -5t2 + 20t - 15 ≥ 0. On divise par -5 (le sens change) : t2 - 4t + 3 ≤ 0. Racines : 1 et 3 (a + b + c = 0). Le trinôme est négatif entre les racines : t ∈ [1 ; 3].
Le ballon est à 15 m ou plus entre la 1re et la 3e seconde, soit pendant 2 secondes.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
