Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 23
Limite d'une fonction
Je sais calculer la limite d'une fonction polynôme, rationnelle ou avec racine en un réel ou à l'infini, lever les formes indéterminées simples et en déduire les asymptotes de la courbe.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les limites des fonctions de référence et les règles d'opérations sur les limites
- Calculer la limite d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle à l'infini
- Lever une forme indéterminée (factorisation, simplification, expression conjuguée)
- Calculer une limite à gauche ou à droite et interpréter les limites en termes d'asymptotes
Avant de commencer : Les fonctions (parité, variations), l'ensemble de définition, la factorisation des polynômes et les tableaux de signes.
1Je découvre
Une briqueterie de Kindia fabrique des briques en ciment. Chaque mois, elle paie des frais fixes (location du terrain, gardiennage, entretien de la presse) de 2 000 000 GNF, et chaque brique lui coûte en plus 2 000 GNF de ciment, de sable et de main-d'œuvre.
Pour x briques fabriquées, le coût moyen d'une brique est :
C(x) = 2 000x + 2 000 000x = 2 000 + 2 000 000x.
Pour 1 000 briques, C = 4 000 GNF ; pour 10 000 briques, C = 2 200 GNF ; pour 100 000 briques, C = 2 020 GNF. Le gérant, Monsieur Camara, remarque que le coût moyen se rapproche de plus en plus de 2 000 GNF, sans jamais l'atteindre.
Comment décrire avec précision ce que devient une fonction quand x devient très grand, ou quand x s'approche d'une valeur interdite ?
2Je comprends
1. Idée de limite
- Dire que f(x) tend vers le réel ell quand x tend vers +∞, noté limx → +∞ f(x) = ell, signifie que f(x) devient aussi proche de ell que l'on veut dès que x est assez grand.
- Dire que limx → +∞ f(x) = +∞ signifie que f(x) devient plus grand que n'importe quel nombre dès que x est assez grand.
- On définit de même les limites en -∞ et en un réel a.
Pour la briqueterie : limx → +∞ C(x) = 2 000, car 2 000 000x tend vers 0.
2. Limites de référence
| f(x) | x, x3 | x2 | √x | 1x, 1x2, 1√x |
|---|---|---|---|---|
| en +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | 0 |
| en -∞ | -∞ | +∞ | non défini | 0 (1x et 1x2) |
En 0 : limx → 0^+ 1x = +∞, limx → 0^- 1x = -∞, limx → 0 1x2 = +∞. La notation x → 0^+ signifie que x tend vers 0 en restant positif (« à droite »).
Limite en un réel a où la fonction est définie. Pour un polynôme, une fonction rationnelle ou une racine carrée définie en a : limx → a f(x) = f(a). Par exemple limx → 2 (x2 + 3x) = 10.
3. Opérations sur les limites
Les règles sont intuitives (somme, produit, quotient), avec la règle des signes pour les infinis. Par exemple : ell + ∞ = +∞ ; ell × (+∞) = -∞ si ell < 0 ; ell ± ∞ = 0 ; ell0^+ = +∞ si ell > 0.
Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées :
+∞ - ∞ ; 0 × ∞ ; ∞∞ ; 00.
Il faut alors transformer l'écriture de la fonction.
4. Polynômes et fonctions rationnelles à l'infini
Règle. En +∞ et en -∞ :
- un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
- une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
(On le justifie en mettant le terme de plus haut degré en facteur : -2x3 + 5x2 - 1 = x3(-2 + 5x - 1x3), et la parenthèse tend vers -2.)
Exemple
Calculer lim (x → +∞) (−2x³ + 5x² − 1) et lim (x → −∞) (3x² − x + 1)/(x² + 4).
Premier : forme « −∞ + ∞ ». On garde le terme de plus haut degré : lim −2x³ = −∞.
Second : forme « ∞/∞ ». Quotient des termes de plus haut degré : 3x²/x² = 3. La limite vaut 3.
5. Lever une indétermination « 0/0 » en un réel
Méthode
Pour calculer une limite en un réel a :
- Je remplace x par a. Si j'obtiens un nombre, c'est la limite.
- Si j'obtiens « nombre non nul / 0 », la limite est infinie : j'étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite de a.
- Si j'obtiens « 0/0 », je factorise numérateur et dénominateur par (x − a) et je simplifie ; avec une racine carrée, je multiplie par l'expression conjuguée.
- Je recalcule la limite de l'expression simplifiée.
Exemple
Calculer lim (x → 2) (x² − 4)/(x − 2).
En remplaçant : 0/0, forme indéterminée.
Pour x ≠ 2 : (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2.
lim (x → 2) (x + 2) = 4.
Exemple
Calculer lim (x → 4) (√x − 2)/(x − 4).
En remplaçant : 0/0. On multiplie par l'expression conjuguée √x + 2 :
(√x − 2)(√x + 2) = x − 4, donc (√x − 2)/(x − 4) = (x − 4)/((x − 4)(√x + 2)) = 1/(√x + 2).
La limite vaut 1/(2 + 2) = 1/4.
6. Limites infinies en un réel et asymptotes
Exemple
Étudier f(x) = (x + 2)/(x − 1) au voisinage de 1.
Le numérateur tend vers 3 > 0 et le dénominateur vers 0.
Si x → 1⁺ (x > 1), x − 1 > 0 : lim f(x) = +∞. Si x → 1⁻ (x < 1), x − 1 < 0 : lim f(x) = −∞.
Les limites donnent des asymptotes, des droites dont la courbe se rapproche indéfiniment :
- si limx → a f(x) = ± ∞ (à gauche ou à droite), la droite x = a est asymptote verticale ;
- si limx → ± ∞ f(x) = b, la droite y = b est asymptote horizontale ;
- si limx → ± ∞ [f(x) - (ax + b)] = 0, la droite y = ax + b est asymptote oblique.
Dans l'exemple ci-dessus, x = 1 est asymptote verticale et, comme limx → ± ∞ f(x) = 1, la droite y = 1 est asymptote horizontale. Pour g(x) = x2 + 1x = x + 1x, on a g(x) - x = 1x → 0 : la droite y = x est asymptote oblique. Les asymptotes obliques sont exigées dans les deux séries ; en SM, on demande souvent en plus la position de la courbe par rapport à l'asymptote (signe de f(x) - (ax + b)).
3Je retiens
Je retiens
Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0.
À l'infini : polynôme → terme de plus haut degré ; fonction rationnelle → quotient des termes de plus haut degré.
En a où f est définie (polynôme, rationnelle, racine) : lim f(x) = f(a).
« 0/0 » en a : factoriser par (x − a) et simplifier, ou utiliser l'expression conjuguée.
« nombre non nul / 0 » : limite infinie ; signe à gauche et à droite.
Asymptote verticale x = a : limite infinie en a. Horizontale y = b : limite b en ±∞. Oblique y = ax + b : f(x) − (ax + b) → 0.
4Erreurs fréquentes
- Écrire « +∞ − ∞ = 0 » : c'est une forme indéterminée, il faut transformer l'expression.
- Répondre « ∞/∞ = 1 » : la limite de (3x² + 1)/(x² − 2) en +∞ vaut 3, pas 1.
- Oublier d'étudier séparément la gauche et la droite de a quand le dénominateur tend vers 0 : les signes sont souvent différents.
- Garder le terme de plus haut degré pour une limite en un réel : la règle ne vaut qu'en +∞ ou −∞.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule :
a) limx → +∞ (x3 - 100x2)
b) limx → -∞ (4 - x + 2x2)
c) limx → -∞ (-x4 + 3x)
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a) Forme « +∞ - ∞ ». Terme de plus haut degré : limx → +∞ x3 = +∞.
b) Terme de plus haut degré : 2x2 → +∞ quand x → -∞. La limite vaut +∞.
c) -x4 → -∞ (car x4 → +∞). La limite vaut -∞.
2Exercice 2
Calcule :
a) limx → +∞ 5x2 - 32x2 + x
b) limx → -∞ x3 + 1x2 - 2
c) limx → +∞ 3x - 7x2 + 1
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a) 5x22x2 = 52. La limite vaut 52.
b) x3x2 = x → -∞. La limite vaut -∞.
c) 3xx2 = 3x → 0. La limite vaut 0.
3Exercice 3
Calcule :
a) limx → 3 x2 - 9x2 - 3x
b) limx → -1 x2 + 3x + 2x + 1
c) limx → 0 √x + 9 - 3x
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a) Forme 00. Pour x ≠ 3 et x ≠ 0 : (x - 3)(x + 3)x(x - 3) = x + 3x. La limite vaut 63 = 2.
b) Forme 00 (1 - 3 + 2 = 0). x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), donc pour x ≠ -1 l'expression vaut x + 2. La limite vaut 1.
c) Forme 00. Expression conjuguée : (√x + 9 - 3)(√x + 9 + 3)x(√x + 9 + 3) = x + 9 - 9x(√x + 9 + 3) = 1√x + 9 + 3. La limite vaut 13 + 3 = 16.
4Exercice 4
Soit f(x) = 2x - 1x + 2.
a) Calcule les limites de f à gauche et à droite de -2.
b) Calcule les limites de f en +∞ et en -∞.
c) Déduis-en les asymptotes de la courbe de f.
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a) Le numérateur tend vers 2 × (-2) - 1 = -5 < 0 et le dénominateur vers 0.
Si x → -2^+, x + 2 > 0 : -50^+ donne -∞. Si x → -2^-, x + 2 < 0 : -50^- donne +∞.
b) 2xx = 2 : les limites en +∞ et en -∞ valent 2.
c) La droite x = -2 est asymptote verticale et la droite y = 2 est asymptote horizontale.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit g(x) = x2 - x + 2x - 1.
a) Donne l'ensemble de définition de g.
b) Trouve les réels a, b, c tels que g(x) = ax + b + cx - 1.
c) Calcule les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
d) Montre que la droite (D) : y = x est asymptote oblique à la courbe de g et précise la position de la courbe par rapport à (D).
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a) Dg = ℝ setminus {1}.
b) ax + b + cx - 1 = (ax + b)(x - 1) + cx - 1 = ax2 + (b - a)x + (c - b)x - 1. Par identification avec x2 - x + 2 : a = 1 ; b - a = -1, donc b = 0 ; c - b = 2, donc c = 2. Ainsi g(x) = x + 2x - 1.
c) En +∞ : quotient x2x = x → +∞. En -∞ : x → -∞.
En 1 : le numérateur tend vers 1 - 1 + 2 = 2 > 0. Si x → 1^+ : +∞ ; si x → 1^- : -∞ (la droite x = 1 est asymptote verticale).
d) g(x) - x = 2x - 1, qui tend vers 0 en +∞ et en -∞ : (D) est asymptote oblique.
Position : pour x > 1, 2x - 1 > 0, la courbe est au-dessus de (D) ; pour x < 1, elle est au-dessous.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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