Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 23
Suites géométriques
Je sais reconnaître une suite géométrique, écrire son terme général, étudier son sens de variation et calculer la somme de ses termes.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa raison
- Exprimer u_n en fonction de n
- Étudier le sens de variation d'une suite géométrique
- Calculer la somme de termes consécutifs
- Utiliser une suite auxiliaire dans un problème de type examen
Avant de commencer : La leçon « Les suites » (définitions, sens de variation, suites arithmétiques) et le calcul sur les puissances.
1Je découvre
Mariama a vendu sa récolte d'arachides en Haute-Guinée et dépose 1 000 000 GNF sur un compte d'épargne. Pour l'exemple, on suppose que ce compte rapporte 5 % d'intérêts par an et que les intérêts restent sur le compte : ils rapportent à leur tour des intérêts l'année suivante.
- Après 1 an : 1 000 000 × 1,05 = 1 050 000 GNF.
- Après 2 ans : 1 050 000 × 1,05 = 1 102 500 GNF.
- Après 3 ans : 1 102 500 × 1,05 = 1 157 625 GNF.
Cette fois, on ne passe pas d'une année à la suivante en ajoutant toujours le même nombre (les gains augmentent : 50 000, puis 52 500, puis 55 125 GNF), mais en multipliant toujours par le même nombre, 1,05.
Mariama aimerait savoir au bout de combien d'années son capital aura doublé.
Comment décrire une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre, et comment calculer ses termes et leur somme ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q, appelé raison, tel que pour tout entier n :
un+1 = q × un.
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q. Pour Mariama, u0 = 1 000 000 et q = 1,05.
Une augmentation de t \% correspond à une multiplication par 1 + t100 ; une baisse de t \% à une multiplication par 1 - t100. C'est pour cela que les suites géométriques décrivent les intérêts composés, la croissance d'une population ou la dépréciation d'une moto.
Pour montrer qu'une suite est géométrique (quand ses termes ne sont pas nuls), on calcule le quotient un+1un et on vérifie qu'il ne dépend pas de n. On peut aussi écrire un+1 sous la forme q × un.
Exemple
Montrer que la suite définie par v_n = 5 × 3^n est géométrique.
v_(n+1) = 5 × 3^(n+1) = 5 × 3^n × 3 = 3 × v_n.
Donc pour tout n, v_(n+1) = 3 v_n : la suite (v_n) est géométrique de raison q = 3 et de premier terme v_0 = 5 × 3^0 = 5.
2. Terme général
Si (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a : u1 = q u0, u2 = q2 u0, u3 = q3 u0… et pour tout n :
un = u0 × qn, et plus généralement un = up × q n - p.
Si le premier terme est u1 : un = u1 × q n - 1.
Exemple
(u_n) est géométrique, avec u_2 = 12 et u_5 = 96. Trouver q, u_0 puis u_n.
u_5 = u_2 × q^(5 − 2), donc 96 = 12 × q³, soit q³ = 8, d'où q = 2 (seul réel dont le cube vaut 8).
u_2 = u_0 × q², donc 12 = u_0 × 4 et u_0 = 3.
Pour tout n : u_n = 3 × 2^n. Contrôle : u_5 = 3 × 32 = 96. Juste.
3. Sens de variation
On se limite au cas u0 > 0 et q > 0 (le plus fréquent dans les problèmes).
un+1 - un = u0 qn+1 - u0 qn = u0 qn (q - 1).
Comme u0 > 0 et qn > 0, le signe est celui de q - 1 :
| Raison | Sens de variation (avec u0 > 0) |
|---|---|
| q > 1 | strictement croissante |
| q = 1 | constante |
| 0 < q < 1 | strictement décroissante |
Si u0 < 0, les sens sont inversés. Si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante.
Pour 0 < q < 1, les nombres qn deviennent aussi proches de 0 que l'on veut quand n devient grand ; pour q > 1, ils deviennent aussi grands que l'on veut.
4. Somme de termes consécutifs
Pour q ≠ 1 :
1 + q + q2 + … + qn = 1 - qn+11 - q.
Démonstration. Pose S = 1 + q + … + qn. Alors qS = q + q2 + … + qn+1. En soustrayant, presque tout se simplifie : S - qS = 1 - qn+1, soit S(1 - q) = 1 - qn+1. On divise par 1 - q ≠ 0.
On en déduit la règle générale pour une suite géométrique de raison q ≠ 1 :
S = (premier terme) × 1 - qnombre de termes1 - q.
Par exemple : u0 + u1 + … + un = u0 × 1 - qn+11 - q.
Si q = 1, tous les termes sont égaux et la somme vaut (nombre de termes) × u0.
Exemple
Calculer S = 3 + 6 + 12 + … + 96.
Chaque terme est le double du précédent : suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2.
96 = 3 × 2^k donne 2^k = 32, soit k = 5 : 96 est le terme u_5 si u_0 = 3. De u_0 à u_5, il y a 6 termes.
S = 3 × (1 − 2^6)/(1 − 2) = 3 × (1 − 64)/(−1) = 3 × 63 = 189.
Contrôle : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189. Juste.
Méthode
Pour traiter une suite définie par u_(n+1) = a u_n + b (a ≠ 1) avec une suite auxiliaire v_n = u_n − c donnée par l'énoncé :
- J'écris v_(n+1) = u_(n+1) − c, je remplace u_(n+1) par a u_n + b.
- Je remplace u_n par v_n + c et je simplifie jusqu'à obtenir v_(n+1) = a × v_n.
- Je conclus : (v_n) est géométrique de raison a ; je calcule v_0 = u_0 − c.
- J'écris v_n = v_0 × a^n, puis u_n = v_n + c.
- Je contrôle ma formule sur u_1 ou u_2 calculés directement.
Exemple
u_0 = 2 et u_(n+1) = 0,5 u_n + 3. On pose v_n = u_n − 6.
v_(n+1) = u_(n+1) − 6 = 0,5 u_n + 3 − 6 = 0,5 u_n − 3 = 0,5 (u_n − 6) = 0,5 v_n.
(v_n) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v_0 = 2 − 6 = −4.
Donc v_n = −4 × 0,5^n et u_n = 6 − 4 × 0,5^n.
Contrôle : u_1 = 0,5 × 2 + 3 = 4 et la formule donne 6 − 4 × 0,5 = 4. Juste.
Comme 0,5^n se rapproche de 0 quand n grandit, u_n se rapproche de 6.
5. Retour au compte de Mariama
un = 1 000 000 × 1,05n. Elle cherche le plus petit n tel que 1,05n ≥ 2. À la calculatrice :
- 1,0514 ≈ 1,980, donc u14 ≈ 1 979 932 GNF (pas encore le double) ;
- 1,0515 ≈ 2,079, donc u15 ≈ 2 078 928 GNF.
Le capital aura doublé au bout de 15 ans.
Compare avec une suite arithmétique : si Mariama recevait toujours 50 000 GNF par an (intérêts simples), il lui faudrait 20 ans pour doubler. La croissance géométrique finit toujours par dépasser la croissance arithmétique.
3Je retiens
Je retiens
Suite géométrique de raison q : u_(n+1) = q × u_n pour tout n.
Terme général : u_n = u_0 × q^n ; plus généralement u_n = u_p × q^(n − p).
Hausse de t % : on multiplie par 1 + t/100 ; baisse de t % : par 1 − t/100.
Avec u_0 > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.
Pour q ≠ 1 : 1 + q + … + q^n = (1 − q^(n+1))/(1 − q).
Somme de termes consécutifs : S = premier terme × (1 − q^(nombre de termes))/(1 − q).
4Erreurs fréquentes
- Confondre arithmétique et géométrique : dans une suite géométrique on MULTIPLIE par q, on n'ajoute pas q.
- Écrire u_n = u_0 × q^(n−1) alors que le premier terme est u_0 : l'exposant est n. On utilise n − 1 seulement si le premier terme est u_1.
- Mal compter les termes dans la somme : l'exposant dans 1 − q^(…) est le NOMBRE de termes, pas le dernier indice.
- Calculer (u_0 × q)^n au lieu de u_0 × q^n : seule la raison est élevée à la puissance n.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(un) est géométrique de premier terme u0 = 4 et de raison q = 3.
a) Calcule u1, u2 et u5.
b) Exprime un en fonction de n et donne le sens de variation de la suite.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 4 × 3 = 12 ; u2 = 12 × 3 = 36 ; u5 = 4 × 35 = 4 × 243 = 972.
b) un = 4 × 3n. Comme u0 = 4 > 0 et q = 3 > 1, la suite est strictement croissante.
2Exercice 2
Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Justifie.
a) an = 7 × 2n+1
b) bn = n2 + 1
c) cn = 54n
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a) an+1 = 7 × 2n+2 = 2 × (7 × 2n+1) = 2 an : géométrique de raison 2 (premier terme a0 = 14).
b) b0 = 1, b1 = 2, b2 = 5 : b1b0 = 2 mais b2b1 = 2,5. Le quotient n'est pas constant : la suite n'est pas géométrique.
c) cn+1 = 54n+1 = 14 × 54n = 14 cn : géométrique de raison 14 (premier terme c0 = 5).
3Exercice 3
(un) est géométrique à termes positifs, avec u1 = 2 et u4 = 54. Calcule la raison, puis u0 et u6.
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u4 = u1 × q3, donc 54 = 2q3, q3 = 27 et q = 3.
u0 = u1q = 23. u6 = u4 × q2 = 54 × 9 = 486.
4Exercice 4
Calcule les sommes :
a) S = 1 + 2 + 4 + … + 1 024 ;
b) T = 81 + 27 + 9 + 3 + 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 ; 1 024 = 210, donc les termes vont de 20 à 210 : 11 termes.
S = 1 × 1 - 2111 - 2 = 1 - 2 048-1 = 2 047.
b) Premier terme 81, raison 13, 5 termes.
T = 81 × 1 - (13)51 - 13 = 81 × 1 - 124323 = 81 × 242243 × 32 = 2422 = 121.
Contrôle : 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121.
5Exercice 5
(Type examen) On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = 13un + 4. On pose vn = un - 6.
a) Calcule u1 et u2.
b) Montre que (vn) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
c) Exprime vn puis un en fonction de n.
d) Étudie le sens de variation de (un).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 13 × 1 + 4 = 133 ; u2 = 13 × 133 + 4 = 139 + 369 = 499.
b) vn+1 = un+1 - 6 = 13un + 4 - 6 = 13un - 2 = 13(un - 6) = 13vn.
(vn) est géométrique de raison 13 et de premier terme v0 = 1 - 6 = -5.
c) vn = -5 × (13)n et un = 6 - 5 × (13)n.
Contrôle : u1 = 6 - 53 = 133. Juste.
d) un+1 - un = -5(13)n+1 + 5(13)n = 5(13)n(1 - 13) = 103(13)n > 0.
La suite (un) est strictement croissante (et elle se rapproche de 6).
6Exercice 6
(Problème) Une coopérative de Boffa achète une décortiqueuse à 20 000 000 GNF. On admet, pour l'exercice, qu'elle perd 20 % de sa valeur chaque année. On note Vn sa valeur après n années.
a) Montre que (Vn) est géométrique et exprime Vn en fonction de n.
b) Calcule sa valeur après 3 ans.
c) Au bout de combien d'années vaudra-t-elle moins de la moitié de son prix d'achat ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Perdre 20 % revient à multiplier par 1 - 0,20 = 0,8 : Vn+1 = 0,8 Vn. (Vn) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme V0 = 20 000 000. Donc Vn = 20 000 000 × 0,8n.
b) V3 = 20 000 000 × 0,512 = 10 240 000 GNF.
c) On cherche le plus petit n tel que 0,8n < 0,5. 0,83 = 0,512 (pas encore) et 0,84 = 0,4096 < 0,5. Comme la suite est décroissante, c'est au bout de 4 ans : V4 = 8 192 000 GNF.
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6Je vérifie
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