Géométrie de l'espace

1. Règles de base (règles d'incidence)

• Par deux points distincts passe une seule droite.
• Par trois points non alignés passe un seul plan. Un plan est aussi déterminé par une droite et un point hors de cette droite, ou par deux droites sécantes, ou par deux droites parallèles distinctes.
• Si deux points distincts d'une droite appartiennent à un plan, toute la droite est dans ce plan.
• Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite.
• Dans chaque plan de l'espace, tous les théorèmes de géométrie plane (Pythagore, Thalès, droite des milieux…) s'appliquent.

Pour dessiner les solides, on utilise la perspective cavalière : les arêtes cachées sont en pointillés, les droites parallèles restent parallèles sur le dessin, mais les angles droits et les longueurs ne sont pas toujours conservés.

Dans toute la leçon, ABCDEFGH désigne un cube : ABCD est la face du dessous, EFGH celle du dessus, avec E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C et H au-dessus de D.

2. Positions relatives

Deux droites de l'espace sont :

• coplanaires (dans un même plan) : elles sont alors sécantes (un seul point commun) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues) ;
• non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux ; elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

Une droite et un plan : la droite est contenue dans le plan, ou elle est sécante au plan (un seul point commun), ou elle est strictement parallèle au plan (aucun point commun).

Deux plans : ils sont parallèles (strictement parallèles ou confondus) ou sécants selon une droite.

3. Parallélisme dans l'espace

• Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
• Une droite (d) est parallèle à un plan (P) si elle est parallèle à une droite de (P).
• Deux plans sont parallèles si l'un contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites de l'autre.
• Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
• Théorème du toit. Si (d) et (d') sont deux droites parallèles, (P) un plan contenant (d) et (P') un plan contenant (d'), et si (P) et (P') sont sécants selon une droite (Δ), alors (Δ) est parallèle à (d) et à (d').

(Le nom vient du toit d'une case rectangulaire : les deux pans du toit s'appuient sur deux murs parallèles, et le faîte est parallèle à ces murs.)

4. Orthogonalité dans l'espace

Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Attention : deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément. Dans le cube, (AB) et (EH) sont orthogonales (car (EH) ∥ (AD) et (AB) ⊥ (AD)), mais elles ne sont pas sécantes.

Une droite (d) est orthogonale à un plan (P) si elle est orthogonale à toutes les droites de (P).

Théorème fondamental. Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Conséquence : si (d) ⊥ (P), alors (d) est orthogonale à toute droite de (P). C'est l'outil principal pour démontrer que deux droites sont orthogonales.

5. Calculs de longueurs et de volumes

Dans un cube d'arête a :

• diagonale d'une face : AC = a√2 (Pythagore dans ABC) ;
• grande diagonale : AG = a√3 (Pythagore dans ACG, rectangle en C car (CG) ⊥ (ABC)) : AG² = 2a² + a² = 3a².

6. Retour au poteau d'Ousmane

Ousmane a raison. Un angle droit avec une seule droite du sol ne suffit pas : le poteau peut être orthogonal à cette droite tout en penchant dans l'autre direction. D'après le théorème, il faut qu'il soit orthogonal à deux droites sécantes du sol. Deux contrôles à l'équerre dans deux directions différentes garantissent que le poteau est vertical.