Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 33
Mesure des grandeurs
Je sais exprimer une grandeur physique avec la bonne unité du Système international, convertir, écrire un résultat en notation scientifique et vérifier qu'une formule est homogène.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer grandeur, mesure et unité
- Connaître les sept unités de base du Système international et leurs symboles
- Utiliser les préfixes, la notation scientifique et l'ordre de grandeur
- Établir la dimension d'une grandeur et contrôler l'homogénéité d'une formule
Avant de commencer : Les puissances de 10 et le calcul fractionnaire ; les grandeurs vues au collège (longueur, masse, durée, vitesse, force, intensité).
1Je découvre
Au marché de Madina, Mariama achète du tissu. Le vendeur mesure « trois coudées » avec son avant-bras. À l'étal voisin, une autre commerçante mesure « trois coudées » elle aussi, mais son bras est plus court : Mariama repart avec un coupon plus petit pour le même prix.
Plus loin, Ibrahima pèse du riz. Sa balance affiche 25 kg ; celle de son voisin, mal réglée, affiche 25 kg pour un sac un peu plus léger. Et quand le mécanicien de la gare routière dit qu'un pneu doit être gonflé à « 2,2 », de quoi parle-t-il ? De bars ? De kilogrammes ?
Ces petits malentendus montrent une chose : un nombre seul ne veut rien dire. Pour que tout le monde se comprenne, à Conakry comme à Nzérékoré ou à Paris, il faut des unités communes, des instruments fiables et une façon claire d'écrire les résultats.
Qu'est-ce que mesurer une grandeur physique, avec quelles unités, et comment écrire correctement le résultat d'une mesure ?
2Je comprends
1. Grandeur, mesure, unité
Une grandeur physique est une propriété d'un objet ou d'un phénomène que l'on peut mesurer, c'est-à-dire comparer à une grandeur de même nature choisie comme référence. La longueur d'une table, la masse d'un sac de riz, la durée d'un trajet, la température de l'eau sont des grandeurs physiques. La beauté d'un pagne n'en est pas une : on ne peut pas la comparer à un étalon.
Mesurer, c'est déterminer combien de fois la grandeur contient l'unité. Le résultat s'écrit toujours sous la forme :
G = valeur numérique × unité, par exemple L = 2,35 m.
Une mesure sans unité est fausse, même si le nombre est juste : « la table mesure 2,35 » ne veut rien dire.
On distingue :
- les grandeurs scalaires, entièrement décrites par un nombre et une unité (masse, durée, énergie, température) ;
- les grandeurs vectorielles, qui ont en plus une direction et un sens (vitesse, force, accélération). On les note avec une flèche : v, F.
2. Le Système international d'unités (SI)
Pour éviter la confusion des coudées, la communauté scientifique a adopté le Système international d'unités (SI). Il repose sur sept grandeurs de base. Toutes les autres unités s'en déduisent.
| Grandeur de base | Symbole de la grandeur | Unité SI | Symbole de l'unité | Dimension |
|---|---|---|---|---|
| Longueur | L ou ell | mètre | m | L |
| Masse | m | kilogramme | kg | M |
| Temps (durée) | t | seconde | s | T |
| Intensité du courant électrique | I | ampère | A | I |
| Température thermodynamique | T | kelvin | K | Θ |
| Quantité de matière | n | mole | mol | N |
| Intensité lumineuse | Iv | candela | cd | J |
Remarque : l'unité SI de masse est le kilogramme, pas le gramme. C'est la seule unité de base qui contient un préfixe.
Les unités dérivées s'obtiennent en combinant les unités de base à l'aide des formules de définition :
- vitesse : v = dt, unité m/s ou m·s-1 ;
- accélération : m·s-2 ;
- force : le newton (N), avec 1 N = 1 kg·m·s-2 ;
- énergie et travail : le joule (J), avec 1 J = 1 N·m ;
- puissance : le watt (W), avec 1 W = 1 J·s-1 ;
- pression : le pascal (Pa), avec 1 Pa = 1 N·m-2.
Le « 2,2 » du mécanicien est en réalité une pression de 2,2 bars, soit 2,2 × 105 Pa (1 bar = 105 Pa). Le bar est une unité pratique, pas une unité SI.
3. Multiples, sous-multiples et notation scientifique
Pour éviter d'écrire des nombres trop grands ou trop petits, on utilise des préfixes :
| Préfixe | giga | méga | kilo | hecto | déca | déci | centi | milli | micro | nano |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbole | G | M | k | h | da | d | c | m | µ | n |
| Facteur | 109 | 106 | 103 | 102 | 101 | 10-1 | 10-2 | 10-3 | 10-6 | 10-9 |
La notation scientifique d'un nombre s'écrit a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Par exemple : 0,000 45 m = 4,5 × 10-4 m et 350 000 W = 3,5 × 105 W.
L'ordre de grandeur d'une valeur est la puissance de 10 la plus proche. On arrondit a : si a < 5, l'ordre de grandeur est 10n ; si a ≥ 5, c'est 10n+1. Ainsi, pour 3,5 × 105 W l'ordre de grandeur est 105 W ; pour 6,4 × 106 m (le rayon de la Terre) c'est 107 m. L'ordre de grandeur sert à vérifier rapidement qu'un résultat est raisonnable : un élève de 12e qui trouve une masse de 104 kg pour lui-même s'est trompé.
Méthode
Pour convertir une grandeur dans l'unité SI :
- J'écris la grandeur avec son unité de départ.
- Je remplace chaque préfixe par sa puissance de 10 (km → 10³ m ; ms → 10⁻³ s).
- Pour une unité composée (km/h, g/cm³), je convertis séparément le numérateur et le dénominateur.
- Je calcule et j'écris le résultat en notation scientifique, avec l'unité SI.
Exemple
Un taxi-brousse roule à 72 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s.
72 km/h = 72 × 1 000 m / 3 600 s = 72 000 / 3 600 m/s = 20 m/s.
Astuce à retenir : pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,6 (72 ÷ 3,6 = 20).
Pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6.
Exemple
La masse volumique de l'eau vaut 1 g/cm³. L'exprimer en kg/m³.
1 g = 10⁻³ kg et 1 cm³ = (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³.
1 g/cm³ = 10⁻³ kg / 10⁻⁶ m³ = 10³ kg/m³ = 1 000 kg/m³.
Attention au cube : 1 cm³ ne vaut pas 10⁻² m³ mais 10⁻⁶ m³.
4. Les instruments de mesure
Chaque grandeur se mesure avec un instrument adapté :
| Grandeur | Instruments usuels |
|---|---|
| Longueur | règle graduée, mètre ruban, pied à coulisse (au dixième de millimètre), palmer (au centième de millimètre) |
| Masse | balance (à plateaux ou électronique) |
| Durée | chronomètre, horloge |
| Intensité | ampèremètre (branché en série) |
| Tension | voltmètre (branché en dérivation) |
| Température | thermomètre |
Un instrument est caractérisé par son calibre (la plus grande valeur qu'il peut mesurer) et sa résolution ou précision (la plus petite variation qu'il peut distinguer, souvent la plus petite graduation). Une règle graduée en millimètres ne permet pas de lire 0,1 mm. Tu verras dans la leçon suivante que cela entraîne une incertitude.
5. Dimension d'une grandeur et homogénéité
La dimension d'une grandeur indique comment elle s'exprime à partir des grandeurs de base. On la note entre crochets. Par exemple :
- [v] = [d][t] = L·T-1 ;
- [a] = L·T-2 ;
- [F] = [m][a] = M·L·T-2 ;
- [E] = [F][d] = M·L2·T-2.
Un nombre pur (comme 12 ou π) n'a pas de dimension.
Règle d'homogénéité : dans une formule physique juste,
- les deux membres d'une égalité ont la même dimension ;
- on ne peut additionner ou soustraire que des grandeurs de même dimension.
Une formule non homogène est forcément fausse. Attention : une formule homogène n'est pas forcément juste (il peut manquer un facteur 12, par exemple), mais le contrôle d'homogénéité détecte beaucoup d'erreurs.
- 1J'écris la formule à contrôler, par exemple d = ½ a t².
- 2J'écris la dimension de chaque grandeur : [d] = L ; [a] = L·T⁻² ; [t] = T.
- 3Je calcule la dimension du second membre : L·T⁻² × T² = L (½ n'a pas de dimension).
- 4Je compare les deux membres : L = L, la formule est homogène.
Exemple
Aïssatou hésite entre deux formules pour l'énergie cinétique : Ec = ½ m v et Ec = ½ m v². Laquelle est homogène ?
Une énergie a pour dimension M·L²·T⁻².
Pour ½ m v : M × L·T⁻¹ = M·L·T⁻¹. Ce n'est pas M·L²·T⁻² : formule fausse.
Pour ½ m v² : M × (L·T⁻¹)² = M·L²·T⁻². C'est bien la dimension d'une énergie.
La bonne formule est Ec = ½ m v².
Exemple
Retrouver l'unité SI de la constante k dans la relation F = k·x (force d'un ressort, x étant l'allongement).
k = F / x, donc [k] = M·L·T⁻² / L = M·T⁻².
L'unité est kg·s⁻², qu'on écrit plus souvent N/m (newton par mètre).
6. Écrire un résultat : les chiffres significatifs
Les chiffres significatifs d'une valeur sont tous ses chiffres, en partant du premier chiffre non nul à gauche. Les zéros placés à gauche ne comptent pas ; les zéros à droite comptent.
- 0,052 0 m : 3 chiffres significatifs (5, 2 et le dernier 0).
- 2,35 m : 3 chiffres significatifs.
- 1,20 × 103 kg : 3 chiffres significatifs.
Écrire 1,20 kg au lieu de 1,2 kg, ce n'est pas la même chose : cela signifie qu'on a mesuré jusqu'au centième de kilogramme. Règle pratique : un résultat calculé (produit ou quotient) garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
3Je retiens
Je retiens
Mesurer, c'est comparer une grandeur à une unité : G = valeur numérique × unité. Pas de résultat sans unité.
Les 7 unités de base du SI : mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), ampère (A), kelvin (K), mole (mol), candela (cd).
Unités dérivées : N = kg·m·s⁻² ; J = N·m ; W = J·s⁻¹ ; Pa = N·m⁻².
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. km/h → m/s : diviser par 3,6.
Dimensions : [v] = L·T⁻¹ ; [a] = L·T⁻² ; [F] = M·L·T⁻² ; [E] = M·L²·T⁻².
Une formule juste est homogène : les deux membres ont la même dimension et on n'additionne que des grandeurs de même dimension.
Un résultat calculé garde le nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise.
4Erreurs fréquentes
- Oublier l'unité ou mélanger les unités : dans v = d/t, si d est en km et t en s, le résultat n'est ni en km/h ni en m/s. On convertit tout en SI avant de calculer.
- Convertir une aire ou un volume comme une longueur : 1 m² = 10⁴ cm² et 1 m³ = 10⁶ cm³, pas 10² cm².
- Croire que le gramme est l'unité SI de masse : c'est le kilogramme.
- Recopier tous les chiffres de la calculatrice : 20 ÷ 3 = 6,666 666 7 ne s'écrit pas ainsi si les données n'ont que deux chiffres significatifs ; on écrit 6,7.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris en notation scientifique, dans l'unité SI, puis donne l'ordre de grandeur.
a) 4 500 km b) 0,25 mm c) 36 g d) 2 h 30 min
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 500 km = 4 500 × 103 m = 4,5 × 106 m. Comme 4,5 < 5, l'ordre de grandeur est 106 m.
b) 0,25 mm = 0,25 × 10-3 m = 2,5 × 10-4 m ; ordre de grandeur 10-4 m.
c) 36 g = 36 × 10-3 kg = 3,6 × 10-2 kg ; ordre de grandeur 10-2 kg.
d) 2 h 30 min = 2 × 3 600 + 30 × 60 = 7 200 + 1 800 = 9 000 s = 9,0 × 103 s. Comme 9 ≥ 5, l'ordre de grandeur est 104 s.
2Exercice 2
Convertis.
a) 90 km/h en m/s b) 15 m/s en km/h c) 2,7 g/cm³ en kg/m³ d) 500 cm² en m²
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 90 ÷ 3,6 = 25 m/s.
b) 15 × 3,6 = 54 km/h.
c) 2,7 g/cm3 = 2,7 × 10-3 kg10-6 m3 = 2,7 × 103 kg/m3 (c'est la masse volumique de l'aluminium, métal tiré de la bauxite).
d) 1 cm2 = 10-4 m2, donc 500 cm2 = 500 × 10-4 = 5,00 × 10-2 m2 = 0,05 m2.
3Exercice 3
Indique le nombre de chiffres significatifs de chaque valeur : 0,004 8 s ; 12,0 cm ; 3,050 × 102 g ; 700,1 m.
Voir le corrigéCacher le corrigé
0,004 8 s : 2 chiffres significatifs (4 et 8). 12,0 cm : 3. 3,050 × 102 g : 4. 700,1 m : 4.
4Exercice 4
Établis la dimension et l'unité SI de la puissance P = Wt, où W est un travail (énergie). Montre que 1 W = 1 kg·m2·s-3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
[P] = [W][t] = M·L2·T-2T = M·L2·T-3. L'unité SI est le watt : 1 W = 1 J/s. Or 1 J = 1 N·m = 1 kg·m·s-2 × m = 1 kg·m2·s-2. Donc 1 W = 1 kg·m2·s-3.
5Exercice 5
(Type examen) Sékou se souvient mal de la formule donnant la période d'un pendule simple de longueur ell dans le champ de pesanteur g (en m·s-2). Il propose :
(1) T = 2π√gell (2) T = 2π√ellg (3) T = 2π ell g
a) Donne la dimension de ell et de g.
b) Par analyse dimensionnelle, élimine les formules fausses.
c) Avec la formule retenue, calcule T pour ell = 1,00 m et g = 9,80 m·s-2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) [ell] = L ; [g] = L·T-2. Une période est une durée : [T] = T.
b) 2π n'a pas de dimension.
(1) [√gell] = √L·T-2L = √T-2 = T-1 : ce n'est pas une durée, formule fausse.
(2) [√ellg] = √LL·T-2 = √T2 = T : homogène.
(3) [ell g] = L2·T-2 : formule fausse.
On retient la formule (2).
c) T = 2π√1,009,80 = 2π × √0,102 04 ≈ 2π × 0,319 4 ≈ 2,01 s (3 chiffres significatifs, comme les données).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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