Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 33
Solide en rotation autour d'un axe fixe
Je sais décrire la rotation d'un solide autour d'un axe fixe, calculer le moment d'une force, le travail et la puissance d'une force ou d'un couple, et l'énergie cinétique de rotation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Caractériser le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
- Calculer le moment d'une force et d'un couple par rapport à un axe
- Calculer le travail et la puissance d'une force ou d'un couple dans une rotation
- Utiliser le moment d'inertie pour calculer l'énergie cinétique de rotation
Avant de commencer : Les leçons « Le mouvement circulaire uniforme », « Le mouvement circulaire non uniforme » et « Solide en translation » (travail, puissance, énergie cinétique).
1Je découvre
Dans un village du Fouta-Djallon, Hawa tire l'eau du puits avec un treuil : un cylindre de bois, traversé par un axe, autour duquel s'enroule la corde. Elle tourne la manivelle et le seau remonte. Son petit frère Mamadou essaie à son tour, mais il pousse la manivelle tout près de l'axe : il n'y arrive pas. Hawa lui montre qu'il faut agir au bout de la manivelle et perpendiculairement à elle.
Le treuil ne se déplace pas : il tourne sur place autour de son axe. Les formules de la translation (W = F × AB × cosα, Ec = 12mv2) ne suffisent plus, car chaque point du cylindre a une vitesse différente.
Comment décrire la rotation d'un solide autour d'un axe fixe, et comment calculer l'effet d'une force (son moment), son travail, sa puissance et l'énergie cinétique du solide qui tourne ?
2Je comprends
1. Le mouvement de rotation autour d'un axe fixe
Un solide est en rotation autour d'un axe fixe (Δ) si tous ses points, sauf ceux de l'axe, décrivent des cercles centrés sur l'axe, dans des plans perpendiculaires à l'axe. Exemples : une roue de charrette autour de son essieu (dans le référentiel de la charrette), une porte autour de ses gonds, une poulie, une hélice.
À un instant donné, tous les points du solide tournent du même angle :
- ils ont la même abscisse angulaire θ ;
- la même vitesse angulaire ω = dotθ ;
- la même accélération angulaire ddotθ.
Mais leur vitesse linéaire dépend de leur distance r à l'axe : v = r ω. Les points de l'axe sont immobiles ; les points les plus éloignés vont le plus vite.
La rotation peut être uniforme (ω constante), uniformément variée (ddotθ constante) ou quelconque, avec les équations vues dans les leçons sur le mouvement circulaire.
2. Le moment d'une force par rapport à un axe
L'efficacité d'une force pour faire tourner un solide dépend de sa valeur, mais aussi de la distance entre l'axe et sa droite d'action. On la mesure par le moment de la force.
Pour une force F située dans un plan perpendiculaire à l'axe (Δ) :
mathcalM_Δ(F) = ± F × d
où d est le bras de levier : la distance de l'axe à la droite d'action de la force (distance perpendiculaire). Unité : le newton-mètre (N·m).
Le signe dépend du sens de rotation choisi comme positif : + si la force tend à faire tourner dans le sens positif, - sinon.
Une force n'a aucun effet de rotation (moment nul) si sa droite d'action rencontre l'axe ou lui est parallèle : c'est pourquoi Mamadou, qui pousse vers l'axe, ne fait rien tourner.
3. Le couple de forces
Un couple est un ensemble de deux forces de même valeur, de même direction, de sens contraires, et de droites d'action différentes. Leur somme vectorielle est nulle, donc le couple ne fait pas avancer le solide, mais il le fait tourner.
Le moment du couple vaut :
mathcalM = ± F × d
où d est la distance entre les deux droites d'action. Il ne dépend pas de la position de l'axe. Exemples : les deux mains sur un volant, la clé en croix du mécanicien, le couple exercé par un moteur électrique sur son arbre. On note souvent mathcalC le moment d'un couple.
4. Travail et puissance dans une rotation
Quand le solide tourne d'un angle Δθ (en radians), une force de moment constant mathcalM_Δ effectue le travail :
W = mathcalM_Δ(F) × Δθ.
Même formule pour un couple de moment constant mathcalC : W = mathcalC × Δθ.
Justification pour une force toujours perpendiculaire au rayon (manivelle) : son point d'application parcourt l'arc s = d Δθ, dans le sens de la force, donc W = F × s = F × d × Δθ = mathcalM × Δθ.
La puissance s'en déduit :
P = mathcalM_Δ × ω (en watts, avec ω en rad/s).
C'est ainsi que l'on caractérise un moteur : son couple et sa vitesse de rotation.
Exemple
Hawa exerce sur la manivelle, longue de 40 cm, une force de 30 N toujours perpendiculaire à celle-ci. Elle fait 10 tours en 20 s. Calculer le moment de la force, son travail et sa puissance moyenne.
Moment : M = F × d = 30 × 0,40 = 12 N·m.
Angle : Δθ = 10 × 2π = 20π ≈ 62,8 rad.
Travail : W = M × Δθ = 12 × 62,8 ≈ 754 J.
Puissance moyenne : P = W / Δt = 754 / 20 ≈ 37,7 W.
Autre calcul : ω = 62,8 / 20 ≈ 3,14 rad/s et P = M ω = 12 × 3,14 ≈ 37,7 W.
5. Moment d'inertie et énergie cinétique de rotation
Chaque petit élément de masse mi du solide, situé à la distance ri de l'axe, a la vitesse vi = ri ω. L'énergie cinétique totale est la somme :
Ec = Σ 12mi vi2 = 12(Σ mi ri2)ω2.
La quantité J_Δ = Σ mi ri2 est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe (Δ), en kg·m2. D'où :
Ec = 12J_Δ ω2.
Le moment d'inertie joue en rotation le rôle de la masse en translation : plus la masse est loin de l'axe, plus J_Δ est grand et plus il est difficile de mettre le solide en rotation ou de l'arrêter.
Moments d'inertie à connaître (solides homogènes de masse m) :
| Solide | Axe | J_Δ |
|---|---|---|
| Point matériel à la distance r | axe quelconque | m r2 |
| Anneau ou cylindre creux (mince) de rayon R | axe de révolution | m R2 |
| Disque ou cylindre plein de rayon R | axe de révolution | 12m R2 |
| Sphère pleine de rayon R | un diamètre | 25m R2 |
| Tige mince de longueur ell | perpendiculaire, passant par le milieu | 112m ell2 |
En plus pour SM : le théorème de Huygens donne le moment d'inertie par rapport à un axe (Δ) parallèle à l'axe (ΔG) passant par le centre d'inertie, à la distance a : J_Δ = JΔG + m a2. Par exemple, pour une tige tournant autour d'une de ses extrémités : J = 112mell2 + m(ell2)2 = 13mell2.
Exemple
Une meule de moulin est un cylindre plein de masse 20 kg et de rayon 25 cm. Elle tourne à 300 tr/min. Calculer son moment d'inertie et son énergie cinétique.
J = ½ m R² = ½ × 20 × 0,25² = 10 × 0,0625 = 0,625 kg·m².
ω = 2π × 300 / 60 = 10π ≈ 31,4 rad/s.
Ec = ½ J ω² = ½ × 0,625 × (10π)² = 0,3125 × 100π² ≈ 308 J.
Méthode
Pour étudier un solide en rotation autour d'un axe fixe :
- Je choisis un sens positif de rotation.
- Pour chaque force, je trouve le bras de levier d (distance de l'axe à la droite d'action) et j'écris M = ±F d ; si la droite d'action coupe l'axe, M = 0.
- Je convertis les angles en radians et les vitesses de rotation en rad/s.
- Travail : W = M × Δθ ; puissance : P = M × ω.
- Énergie cinétique : je choisis la formule de J adaptée au solide, puis Ec = ½ J ω².
6. Comparaison translation / rotation
- Déplacement x (m)
- Vitesse v (m/s)
- Masse m (kg)
- Force F (N)
- W = F × AB × cos α
- P = F × v
- Ec = ½ m v²
- Angle θ (rad)
- Vitesse angulaire ω (rad/s)
- Moment d'inertie J (kg·m²)
- Moment M (N·m)
- W = M × Δθ
- P = M × ω
- Ec = ½ J ω²
3Je retiens
Je retiens
Rotation autour d'un axe fixe : tous les points ont les mêmes θ, ω et θ̈ ; v = r ω dépend de la distance à l'axe.
Moment d'une force : M = ± F × d (d : distance de l'axe à la droite d'action), en N·m ; nul si la droite d'action coupe l'axe ou lui est parallèle.
Couple : deux forces opposées de droites d'action différentes ; moment M = F × d.
Travail : W = M × Δθ (Δθ en rad) ; puissance : P = M × ω.
Moment d'inertie : J = Σ m r², en kg·m². Anneau : mR² ; disque ou cylindre plein : ½ mR² ; sphère pleine : 2/5 mR² ; tige par le milieu : mℓ²/12.
Énergie cinétique de rotation : Ec = ½ J ω².
4Erreurs fréquentes
- Prendre pour bras de levier la distance de l'axe au point d'application : c'est la distance de l'axe à la droite d'action (perpendiculaire).
- Laisser Δθ en tours ou en degrés dans W = M × Δθ : il faut des radians.
- Écrire Ec = ½ m v² pour un solide qui tourne : chaque point a une vitesse différente ; on utilise ½ J ω².
- Oublier le carré du rayon dans J : J = ½ m R², pas ½ m R.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une clé de 25 cm sert à desserrer un écrou. Le mécanicien exerce une force de 80 N.
a) Calcule le moment de la force si elle est perpendiculaire à la clé, appliquée à son extrémité.
b) Même question si la force fait un angle de 30° avec la clé (le bras de levier vaut alors 0,25 × sin 30°).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) mathcalM = F × d = 80 × 0,25 = 20 N·m.
b) d = 0,25 × sin 30° = 0,125 m ; mathcalM = 80 × 0,125 = 10 N·m : il faut deux fois plus d'effort pour le même résultat.
2Exercice 2
Un moteur électrique exerce un couple de moment 15 N·m et tourne à 1 200 tr/min.
a) Calcule sa puissance mécanique.
b) Calcule le travail fourni en 5 minutes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ω = 2π × 1 20060 = 40π ≈ 126 rad/s. P = mathcalC ω = 15 × 40π = 600π ≈ 1,88 × 103 W.
b) W = P × Δ t = 600π × 300 ≈ 5,65 × 105 J.
3Exercice 3
Calcule le moment d'inertie : a) d'un anneau de 2,0 kg et de 30 cm de rayon ; b) d'un disque de même masse et même rayon. Lequel est le plus difficile à mettre en rotation ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) J = mR2 = 2,0 × 0,302 = 0,18 kg·m².
b) J = 12mR2 = 0,09 kg·m².
L'anneau, dont toute la masse est loin de l'axe, a le moment d'inertie le plus grand : il est plus difficile à mettre en rotation (et à arrêter).
4Exercice 4
Une roue de vélo est assimilée à un anneau de masse 1,2 kg et de rayon 0,33 m. Elle tourne à 20 rad/s autour de son axe (vélo retourné).
a) Calcule son énergie cinétique.
b) Calcule la vitesse linéaire d'un point du pneu.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) J = mR2 = 1,2 × 0,332 ≈ 0,131 kg·m². Ec = 12 × 0,131 × 202 ≈ 26 J.
b) v = Rω = 0,33 × 20 = 6,6 m/s.
5Exercice 5
(Type examen) Le treuil d'un puits est un cylindre plein de masse M = 10 kg et de rayon r = 10 cm, tournant autour de son axe horizontal. Une manivelle de longueur L = 40 cm permet de le faire tourner. On néglige la masse de la manivelle et de la corde, et tous les frottements. On soulève un seau de masse m = 12 kg à vitesse constante. g = 10 N/kg.
a) Quelle force T la corde exerce-t-elle sur le cylindre ? Calcule son moment par rapport à l'axe.
b) La rotation étant uniforme, les moments des forces se compensent. Calcule la force F à exercer perpendiculairement à la manivelle.
c) Le seau monte de 12 m. Calcule l'angle de rotation du treuil, puis le travail de F. Compare au travail du poids du seau.
d) Le seau monte à 0,50 m/s. Calcule ω, puis l'énergie cinétique du cylindre et celle du seau.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le seau monte à vitesse constante : la tension de la corde compense son poids, T = mg = 12 × 10 = 120 N. La corde est tangente au cylindre : bras de levier r = 0,10 m. mathcalM(T) = -T r = -12 N·m (en prenant positif le sens où tourne la manivelle).
b) Le poids du cylindre et la réaction de l'axe passent par l'axe : moments nuls. mathcalM(F) + mathcalM(T) = 0, donc F × L = 12 et F = 120,40 = 30 N. La manivelle divise l'effort par 4.
c) La corde s'enroule : 12 = r Δθ, donc Δθ = 120,10 = 120 rad (environ 19 tours). W(F) = mathcalM(F) × Δθ = 12 × 120 = 1 440 J. Travail du poids du seau : -mgh = -12 × 10 × 12 = -1 440 J. Les deux travaux sont opposés : sans frottement, tout le travail d'Hawa sert à monter le seau. On gagne en force, pas en travail.
d) ω = vr = 0,500,10 = 5,0 rad/s. J = 12Mr2 = 12 × 10 × 0,01 = 0,050 kg·m². Ec(cylindre) = 12 × 0,050 × 25 = 0,625 J. Ec(seau) = 12 × 12 × 0,25 = 1,5 J.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
