Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 33
Énergie potentielle et énergie mécanique
Je sais calculer l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie potentielle élastique, définir l'énergie mécanique et utiliser sa conservation ou sa variation pour résoudre un problème.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer l'énergie potentielle de pesanteur en précisant l'état de référence
- Calculer l'énergie potentielle élastique d'un ressort (et de torsion en SM)
- Définir l'énergie mécanique et énoncer les conditions de sa conservation
- Utiliser la variation de l'énergie mécanique pour calculer le travail des frottements
Avant de commencer : Les leçons « Solide en translation » (travail du poids) et « Théorème de l'énergie cinétique » ; la loi de Hooke T = k x pour un ressort.
1Je découvre
Sur le fleuve Konkouré, le barrage de Kaléta retient une grande quantité d'eau. Cette eau, immobile derrière le barrage, n'a pas d'énergie cinétique. Pourtant, quand on ouvre les vannes, elle dévale les conduites, fait tourner les turbines et produit l'électricité qui éclaire des maisons de Guinée.
Aïssatou se pose la question : « Si l'eau immobile n'a pas d'énergie cinétique, d'où vient l'énergie ? » Son professeur lui répond que l'eau en hauteur possède une énergie « en réserve », liée à sa position : une énergie potentielle. En tombant, cette énergie se transforme en énergie cinétique.
C'est la même chose pour un lance-pierre tendu, pour une mangue suspendue à sa branche ou pour un ressort comprimé : ils n'ont pas de vitesse, mais ils ont « de quoi » en produire.
Qu'est-ce que l'énergie potentielle, comment la calcule-t-on, et comment l'énergie mécanique se conserve-t-elle ou se dissipe-t-elle au cours d'un mouvement ?
2Je comprends
1. L'énergie potentielle de pesanteur
Tu sais que le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée : WAB(P) = m g (zA - zB). On peut donc l'écrire comme une différence :
WAB(P) = m g zA - m g zB.
On définit l'énergie potentielle de pesanteur d'un solide de masse m dont le centre d'inertie est à l'altitude z (axe Oz vertical vers le haut) :
Epp = m g z + C
où C est une constante qui dépend de l'état de référence choisi, c'est-à-dire de la position où l'on décide que Epp = 0. Si l'on choisit Epp = 0 à l'altitude z = 0, alors C = 0 et Epp = m g z.
Propriétés :
- l'énergie potentielle s'exprime en joules ;
- sa valeur dépend de l'état de référence (elle peut être négative, par exemple pour un seau au fond d'un puits si la référence est le sol) ;
- sa variation ne dépend pas de la référence, et elle est liée au travail du poids par :
Δ Epp = Epp(B) - Epp(A) = -WAB(P).
Quand un corps monte, son énergie potentielle augmente (le poids fait un travail résistant) ; quand il descend, elle diminue.
Exemple
Un seau de 10 kg est au fond d'un puits, à 8,0 m sous la margelle. On prend g = 9,8 N/kg. Calculer son Epp avec deux références différentes, puis la variation quand on le remonte à la margelle.
Référence au niveau de la margelle (z = 0), axe vers le haut : z_fond = −8,0 m.
Epp(fond) = 10 × 9,8 × (−8,0) = −784 J ; Epp(margelle) = 0.
Référence au fond du puits : Epp(fond) = 0 ; Epp(margelle) = 10 × 9,8 × 8,0 = +784 J.
Variation dans les deux cas : ΔEpp = +784 J. Les valeurs changent, la variation ne change pas.
Et on vérifie : W(P) = −ΔEpp = −784 J (le seau monte, travail résistant).
2. L'énergie potentielle élastique
Un ressort de raideur k (en N/m), allongé ou comprimé de x par rapport à sa longueur à vide, exerce une force de valeur T = k |x|. En se détendant, il peut mettre un objet en mouvement : il stocke de l'énergie. On admet que son énergie potentielle élastique vaut :
Epe = 12k x2
(avec Epe = 0 quand le ressort a sa longueur à vide). Elle est la même pour un allongement ou une compression de même valeur.
En plus pour SM : un fil de torsion de constante C (en N·m/rad), tordu d'un angle θ, possède l'énergie potentielle de torsion Ept = 12C θ2.
3. L'énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
Em = Ec + Ep, par exemple Em = 12m v2 + m g z.
Conservation de l'énergie mécanique. Si les seules forces qui travaillent sont des forces conservatives (le poids, la force d'un ressort), c'est-à-dire en l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve :
Em = constante, soit Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B).
Démonstration : d'après le TEC, Δ Ec = W(P) (les autres forces ne travaillent pas) ; or W(P) = -Δ Epp. Donc Δ Ec + Δ Epp = 0, c'est-à-dire Δ Em = 0.
Pendant le mouvement, l'énergie se transforme : ce que l'énergie potentielle perd, l'énergie cinétique le gagne, et inversement.
Exemple
Un lance-pierre est assimilé à un ressort de raideur k = 200 N/m. On le tend de 5,0 cm, puis on lâche un caillou de 50 g, horizontalement. Quelle est la vitesse du caillou au moment où il quitte l'élastique (sans frottement) ?
Énergie potentielle élastique stockée : Epe = ½ × 200 × 0,050² = ½ × 200 × 0,002 5 = 0,25 J.
Au départ, v = 0 : Em = 0,25 J. À la sortie, l'élastique est au repos : Em = ½ m v².
Conservation : ½ × 0,050 × v² = 0,25, donc v² = 10 et v ≈ 3,2 m/s.
Exemple
Une bille de 100 g est lancée vers le haut à 6,0 m/s depuis 1,5 m au-dessus du sol. Sans frottement, à quelle vitesse touche-t-elle le sol ? (g = 10 N/kg, référence Epp = 0 au sol)
Em au départ = ½ × 0,100 × 36 + 0,100 × 10 × 1,5 = 1,8 + 1,5 = 3,3 J.
Au sol : Em = ½ × 0,100 × v² + 0.
Conservation : 0,050 v² = 3,3, donc v² = 66 et v ≈ 8,1 m/s.
Inutile de connaître la hauteur maximale ou la durée du vol.
4. Non-conservation : le rôle des frottements
S'il existe des frottements (ou d'autres forces non conservatives qui travaillent), l'énergie mécanique n'est plus conservée. En reprenant la démonstration :
Δ Em = Em(B) - Em(A) = W(f)
où W(f) est le travail des forces non conservatives (frottements). Comme ce travail est négatif, l'énergie mécanique diminue. L'énergie « perdue » n'a pas disparu : elle est transformée en chaleur (les freins d'un camion chauffent dans la descente) et parfois en son. C'est le principe général de conservation de l'énergie : l'énergie totale se conserve toujours, seule sa forme change.
À l'inverse, un moteur qui travaille (force motrice) peut augmenter l'énergie mécanique d'un système, en consommant une autre forme d'énergie (carburant, électricité).
Méthode
Pour utiliser l'énergie mécanique :
- Je précise le système, le référentiel et l'état de référence de l'énergie potentielle (Epp = 0 à z = 0, axe vers le haut).
- J'écris Em = Ec + Ep dans l'état A et dans l'état B.
- Sans frottement (seules des forces conservatives travaillent) : Em(A) = Em(B).
- Avec frottements : Em(B) − Em(A) = W(frottements), qui est négatif.
- Je résous pour l'inconnue et je vérifie que le résultat a un sens (Ec ne peut pas être négative).
Exemple
Sur la route qui descend des hauteurs du Fouta-Djallon, un cycliste et son vélo (80 kg) descendent une pente de 20 m de dénivellation sans pédaler. Il part à 2,0 m/s et arrive en bas à 15 m/s. Calculer l'énergie dissipée par les frottements (g = 10 N/kg, Epp = 0 en bas).
Em(A) = ½ × 80 × 2,0² + 80 × 10 × 20 = 160 + 16 000 = 16 160 J.
Em(B) = ½ × 80 × 15² + 0 = 9 000 J.
W(frottements) = Em(B) − Em(A) = 9 000 − 16 160 = −7 160 J.
Environ 7,2 kJ ont été transformés en chaleur (freins, air, pneus).
Sans frottement, il serait arrivé à v = √(2² + 2 × 10 × 20) = √404 ≈ 20 m/s.
3Je retiens
Je retiens
Énergie potentielle de pesanteur (axe vers le haut) : Epp = m g z + C ; C dépend de l'état de référence. ΔEpp = −W(P).
Énergie potentielle élastique d'un ressort : Epe = ½ k x² ; de torsion (SM) : Ept = ½ C θ².
Énergie mécanique : Em = Ec + Ep.
Sans frottement (seules des forces conservatives travaillent) : Em se conserve, Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B).
Avec frottements : ΔEm = W(frottements) < 0 ; l'énergie perdue devient de la chaleur.
L'énergie totale se conserve toujours : elle change seulement de forme.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de préciser l'état de référence : une valeur de Epp n'a de sens qu'avec sa référence.
- Écrire Epe = ½ k x avec x en centimètres : x doit être en mètres et élevé au carré.
- Appliquer la conservation de Em alors qu'il y a des frottements : dans ce cas, Em diminue.
- Compter deux fois le poids : dans le TEC on écrit le travail du poids ; avec Em, le poids est déjà pris en compte dans Epp, on ne rajoute pas son travail.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un élève de 50 kg monte au deuxième étage de son lycée, 7,0 m plus haut (g = 9,8 N/kg). Calcule la variation de son énergie potentielle de pesanteur. Dépend-elle de l'escalier emprunté ?
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Δ Epp = m g Δ z = 50 × 9,8 × 7,0 = 3,43 × 103 J. Non : la variation d'énergie potentielle ne dépend que de la différence d'altitude, pas du chemin.
2Exercice 2
Un ressort de raideur k = 400 N/m est comprimé de 3,0 cm.
a) Calcule son énergie potentielle élastique.
b) De combien faudrait-il le comprimer pour stocker quatre fois plus d'énergie ?
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a) Epe = 12 × 400 × 0,0302 = 200 × 9,0 × 10-4 = 0,18 J.
b) Epe est proportionnelle à x2 : pour multiplier l'énergie par 4, il faut multiplier x par 2, soit une compression de 6,0 cm.
3Exercice 3
Une pierre de 2,0 kg est lâchée sans vitesse du haut d'une falaise de 45 m. On néglige l'air (g = 10 N/kg), Epp = 0 au pied de la falaise.
a) Calcule son énergie mécanique.
b) Calcule son énergie cinétique et sa vitesse à mi-hauteur.
c) Calcule sa vitesse en arrivant au sol.
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a) Au départ : Ec = 0, Epp = 2,0 × 10 × 45 = 900 J, donc Em = 900 J.
b) À mi-hauteur (z = 22,5 m) : Epp = 450 J, donc Ec = 900 - 450 = 450 J et v = √2 × 4502,0 = √450 ≈ 21 m/s.
c) Au sol : Ec = 900 J, v = √2 × 9002,0 = √900 = 30 m/s.
4Exercice 4
Un chariot de 20 kg est lâché sans vitesse en haut d'une rampe de 2,0 m de dénivellation. Il arrive en bas à 5,0 m/s (g = 10 N/kg).
a) Calcule la variation de son énergie mécanique.
b) Interprète le résultat.
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a) Référence en bas. Em(haut) = 0 + 20 × 10 × 2,0 = 400 J. Em(bas) = 12 × 20 × 25 + 0 = 250 J. Δ Em = 250 - 400 = -150 J.
b) L'énergie mécanique a diminué de 150 J : il y a des frottements, dont le travail vaut -150 J. Cette énergie a été transformée en chaleur.
5Exercice 5
(Type examen) Un solide de masse m = 200 g glisse sur une piste ABC. AB est un plan incliné de longueur 1,6 m, faisant un angle de 30° avec l'horizontale ; BC est horizontal. En C, un ressort horizontal de raideur k = 80 N/m peut être comprimé. Le solide part de A sans vitesse. On prend g = 10 N/kg et Epp = 0 sur la partie horizontale.
a) On néglige tous les frottements. Calcule l'énergie mécanique en A, puis la vitesse en B.
b) Le solide comprime le ressort. Calcule la compression maximale xm.
c) En réalité, sur AB seulement, des frottements de valeur constante f s'exercent ; la vitesse mesurée en B est 3,0 m/s. Calcule f.
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a) Hauteur de A : h = AB sin 30° = 1,6 × 0,5 = 0,80 m. Em(A) = 0 + 0,200 × 10 × 0,80 = 1,6 J. En B : Em(B) = 12m vB2 = 1,6 J, donc vB2 = 2 × 1,60,200 = 16 et vB = 4,0 m/s.
b) Sans frottement sur BC, l'énergie mécanique reste 1,6 J. À la compression maximale, la vitesse est nulle : 12k xm2 = 1,6, donc xm2 = 3,280 = 0,04 et xm = 0,20 m = 20 cm.
c) Em(B) = 12 × 0,200 × 9,0 = 0,90 J. Δ Em = 0,90 - 1,6 = -0,70 J = W(f) = -f × AB. Donc f = 0,701,6 ≈ 0,44 N.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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