Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 33
Lentilles minces : relations de grandissement et de conjugaison
Je sais calculer la position, la taille et la nature de l'image donnée par une lentille mince grâce aux relations de conjugaison et de grandissement.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire et utiliser la relation de conjugaison de Descartes
- Écrire et utiliser la formule du grandissement
- Interpréter les signes des résultats (image réelle ou virtuelle, droite ou renversée)
- Résoudre un problème de projection ou de loupe par le calcul
Avant de commencer : Les leçons « Les lentilles minces » et « Points particuliers et grandeurs caractéristiques » (mesures algébriques, f', vergence) ; le théorème de Thalès ; le calcul avec les fractions.
1Je découvre
Pour la fête de fin d'année du lycée de Kindia, Aïssatou et Sékou veulent projeter des images sur un drap blanc tendu au fond de la classe. Ils disposent d'une lentille convergente de 10 cm de distance focale et d'une petite image lumineuse de 2 cm de haut. Par tâtonnements, ils déplacent la lentille et le drap… sans jamais obtenir une image à la fois nette et assez grande.
Sékou s'impatiente : « Il doit bien exister un moyen de savoir à l'avance où placer la lentille ! » Aïssatou se souvient de la construction géométrique vue en classe, mais la faire à l'échelle pour un drap situé à plusieurs mètres serait long et peu précis.
Il leur faut une formule qui relie la position de l'objet, la position de l'image et la distance focale, et une autre qui donne la taille de l'image.
Comment calculer la position et la taille de l'image donnée par une lentille mince ?
2Je comprends
1. Les conventions
On travaille dans les conditions de Gauss. L'axe principal est orienté dans le sens de propagation de la lumière ; l'axe vertical est orienté vers le haut. On note :
- OA : position de l'objet (OA < 0 pour un objet réel, placé avant la lentille) ;
- OA' : position de l'image (OA' > 0 : image réelle après la lentille ; OA' < 0 : image virtuelle, avant la lentille) ;
- f' = OF' : distance focale image ;
- AB et A'B' : tailles algébriques de l'objet et de l'image (positives vers le haut).
2. La formule du grandissement
On appelle grandissement le rapport :
γ = A'B'AB.
Le rayon BB' passe par O sans être dévié. Les triangles OAB et OA'B' sont en situation de Thalès (les droites (AB) et (A'B') sont parallèles), d'où :
γ = A'B'AB = OA'OA.
Interprétation :
- γ < 0 : image renversée ; γ > 0 : image droite ;
- |γ| > 1 : image agrandie ; |γ| < 1 : image réduite.
3. La relation de conjugaison de Descartes
Considérons le rayon issu de B parallèle à l'axe : il frappe la lentille en I, avec OI = AB, puis passe par F'. Les triangles F'OI et F'A'B' sont en situation de Thalès :
A'B'OI = F'A'F'O, soit γ = OA' - f'-f'.
En égalant avec γ = OA'OA et en divisant par OA', on obtient la relation de conjugaison :
1OA' - 1OA = 1f' = C.
Elle est valable pour toutes les lentilles minces, convergentes (f' > 0) ou divergentes (f' < 0), et pour tous les cas d'objet.
Méthode
Pour calculer la position et la taille d'une image :
- J'oriente l'axe dans le sens de la lumière et j'écris les données en mesures algébriques, dans la même unité (objet réel : OA négatif ; divergente : f' négatif).
- J'écris la relation de conjugaison et j'isole 1/OA' = 1/f' + 1/OA.
- Je calcule OA' et j'interprète son signe : positif, image réelle ; négatif, image virtuelle.
- Je calcule γ = OA'/OA puis A'B' = γ × AB.
- Je conclus : position, nature (réelle ou virtuelle), sens (droite ou renversée), taille.
Exemple
Une lentille convergente a une distance focale de 10 cm. Un objet AB de 2 cm est placé à 30 cm avant la lentille. Caractériser l'image.
Données : f' = +10 cm ; OA = −30 cm ; AB = +2 cm.
1/OA' = 1/f' + 1/OA = 1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15, donc OA' = +15 cm.
γ = OA'/OA = 15 / (−30) = −0,5 ; A'B' = −0,5 × 2 = −1 cm.
L'image est réelle (15 cm après la lentille), renversée, deux fois plus petite (1 cm).
On retrouve le résultat de la construction de la leçon précédente, à l'échelle.
Exemple
Une loupe a une distance focale de 5 cm. On observe un objet placé à 3 cm de la loupe. Caractériser l'image.
f' = +5 cm ; OA = −3 cm.
1/OA' = 1/5 − 1/3 = 3/15 − 5/15 = −2/15, donc OA' = −7,5 cm.
γ = (−7,5) / (−3) = +2,5.
L'image est virtuelle (7,5 cm avant la loupe, du côté de l'objet), droite et 2,5 fois plus grande.
Exemple
Une lentille divergente a une distance focale de 20 cm. Un objet est placé à 30 cm avant elle. Caractériser l'image.
f' = −20 cm ; OA = −30 cm.
1/OA' = −1/20 − 1/30 = −3/60 − 2/60 = −5/60 = −1/12, donc OA' = −12 cm.
γ = (−12) / (−30) = +0,4.
L'image est virtuelle, droite, réduite (0,4 fois l'objet), 12 cm avant la lentille.
4. Le problème inverse : choisir une lentille
La relation de conjugaison sert aussi à concevoir un montage. Revenons au projet d'Aïssatou et Sékou, avec un autre matériel : ils veulent qu'une diapositive de 24 mm donne une image de 1,20 m sur un écran placé à 3,0 m de la lentille.
Exemple
Quelle distance focale doit avoir la lentille, et où placer la diapositive ?
Image réelle sur l'écran : OA' = +3,0 m. L'image doit être renversée : A'B' = −1,20 m pour AB = +0,024 m.
γ = −1,20 / 0,024 = −50.
OA = OA' / γ = 3,0 / (−50) = −0,060 m : la diapositive est à 6,0 cm avant la lentille.
1/f' = 1/OA' − 1/OA = 1/3,0 + 1/0,060 = 0,333 + 16,667 = 17,0 δ, donc f' ≈ 0,0588 m ≈ 5,9 cm.
Dans un projecteur, la diapositive est placée à l'envers pour que l'image soit à l'endroit sur l'écran.
5. La relation de Newton (en plus pour SM)
En prenant les foyers comme origines, on obtient une autre forme de la conjugaison, utile quand l'objet est repéré par rapport à F :
FA × F'A' = -f'2 et γ = -f'FA = -F'A'f'.
Exemple : f' = 10 cm, objet à 30 cm avant la lentille, donc 20 cm avant F : FA = -20 cm. Alors F'A' = -100-20 = +5 cm : l'image est 5 cm après F', soit à 15 cm de O. On retrouve le premier exemple.
6. Ce que disent les formules
La relation de conjugaison permet de retrouver par le calcul les grands résultats des constructions :
- objet à l'infini (1OA → 0) : OA' = f', l'image est au foyer image ;
- objet au foyer objet (OA = -f') : 1OA' = 0, l'image est à l'infini ;
- objet à 2f' avant une lentille convergente (OA = -2f') : OA' = 2f' et γ = -1 : image réelle, renversée, de même taille.
3Je retiens
Je retiens
Axe orienté dans le sens de la lumière ; objet réel : OA < 0 ; image réelle : OA' > 0, image virtuelle : OA' < 0.
Relation de conjugaison : 1/OA' − 1/OA = 1/f' = C.
Grandissement : γ = A'B'/AB = OA'/OA.
γ < 0 : image renversée ; γ > 0 : image droite ; |γ| > 1 : agrandie ; |γ| < 1 : réduite.
Toutes les longueurs dans la même unité ; pour une lentille divergente, f' est négatif.
SM : relation de Newton FA × F'A' = −f'².
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins de OA pour un objet réel : un objet à 30 cm avant la lentille donne OA = −30 cm, pas +30 cm.
- Écrire 1/OA' + 1/OA = 1/f' : avec les mesures algébriques, la relation comporte un signe moins.
- Mélanger les unités (f' en mètres, OA en centimètres) : on convertit tout dans la même unité avant de calculer.
- Oublier d'interpréter le résultat : il faut dire si l'image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une lentille convergente de distance focale 20 cm donne l'image d'un objet AB de 4 cm placé à 60 cm avant elle. Calcule la position et la taille de l'image, puis décris-la.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f' = +20 cm ; OA = -60 cm ; AB = +4 cm.
1OA' = 120 - 160 = 360 - 160 = 260 = 130, donc OA' = +30 cm.
γ = 30-60 = -0,5 ; A'B' = -0,5 × 4 = -2 cm.
Image réelle, 30 cm après la lentille, renversée, deux fois plus petite (2 cm).
2Exercice 2
Une loupe de vergence +203 δ (distance focale 15 cm) est placée à 10 cm d'un timbre. Calcule la position de l'image et le grandissement. L'image est-elle réelle ou virtuelle ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
f' = +15 cm ; OA = -10 cm.
1OA' = 115 - 110 = 230 - 330 = -130, donc OA' = -30 cm.
γ = -30-10 = +3. L'image est virtuelle (30 cm avant la loupe), droite, 3 fois plus grande.
3Exercice 3
Une lentille divergente de vergence −10 δ donne l'image d'un objet réel placé à 10 cm avant elle.
a) Calcule la distance focale de la lentille.
b) Calcule la position de l'image et le grandissement. Décris l'image.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f' = 1C = 1-10 = -0,10 m = -10 cm.
b) 1OA' = 1-10 + 1-10 = -210, donc OA' = -5 cm. γ = -5-10 = +0,5. Image virtuelle, 5 cm avant la lentille, droite, deux fois plus petite.
4Exercice 4
Un objet AB de 2 cm est placé à 5 cm avant une lentille convergente. On obtient une image nette sur un écran placé à 20 cm après la lentille.
a) Calcule la distance focale et la vergence de la lentille.
b) Calcule la taille de l'image.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) OA = -5 cm ; OA' = +20 cm (image réelle sur l'écran).
1f' = 120 - 1-5 = 120 + 420 = 520 = 14, donc f' = 4 cm = 0,04 m et C = 10,04 = 25 δ.
b) γ = 20-5 = -4 ; A'B' = -4 × 2 = -8 cm. L'image mesure 8 cm et elle est renversée.
5Exercice 5
(Problème de synthèse, en plus pour SM) Un objet lumineux et un écran sont fixes, séparés par une distance D = 90 cm. Entre les deux, on déplace une lentille convergente de distance focale f' = 20 cm. On note p la distance objet-lentille.
a) Montre que OA = -p et OA' = 90 - p (en cm).
b) Montre, avec la relation de conjugaison, que p vérifie p2 - 90p + 1800 = 0.
c) Résous cette équation : pour quelles positions de la lentille obtient-on une image nette sur l'écran ?
d) Calcule le grandissement dans chaque cas.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'objet est à p cm avant la lentille : OA = -p. L'écran est à 90 - p cm après la lentille : OA' = 90 - p.
b) 190 - p + 1p = 120. En réduisant au même dénominateur : p + 90 - pp(90 - p) = 120, soit p(90 - p) = 1800, c'est-à-dire p2 - 90p + 1800 = 0.
c) Δ = 902 - 4 × 1800 = 8100 - 7200 = 900, √Δ = 30. p = 90 - 302 = 30 cm ou p = 90 + 302 = 60 cm. Deux positions de la lentille donnent une image nette : à 30 cm ou à 60 cm de l'objet.
d) Pour p = 30 : OA' = 60, γ = 60-30 = -2 (image agrandie 2 fois). Pour p = 60 : OA' = 30, γ = 30-60 = -0,5 (image réduite de moitié). Les deux positions sont symétriques : objet et image échangent leurs distances.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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