Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 33
Les aberrations des systèmes optiques
Je sais expliquer pourquoi une lentille réelle donne des images imparfaites (aberrations géométriques et chromatiques) et comment on les réduit.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer stigmatisme rigoureux et stigmatisme approché, et rappeler les conditions de Gauss
- Décrire l'aberration de sphéricité et les déformations de l'image (distorsion)
- Expliquer l'aberration chromatique par la dispersion et la calculer dans un cas simple
- Citer les moyens de corriger les aberrations (diaphragme, doublet achromatique, miroirs)
Avant de commencer : Les leçons « La dispersion de la lumière » (l'indice dépend de la couleur) et les leçons sur les lentilles minces (foyers, vergence, conditions de Gauss, lentilles accolées).
1Je découvre
Mamadou a acheté au marché une grosse loupe bon marché pour lire les petites notices des médicaments de sa grand-mère. Au centre de la loupe, les lettres sont nettes. Mais sur les bords, elles deviennent floues, et les lignes droites du tableau semblent courbées. En regardant l'ampoule du salon à travers le bord de la loupe, il aperçoit même un liseré bleu d'un côté et rouge de l'autre.
Son amie Kadiatou, qui aime la photographie, lui explique que les objectifs des appareils photo contiennent plusieurs lentilles collées ou alignées, et non une seule, justement pour éviter ces défauts. Mamadou est surpris : dans les leçons précédentes, une lentille donnait une image parfaite d'un point, sans flou ni couleur parasite.
Pourquoi une lentille réelle ne donne-t-elle pas une image parfaite, et comment corriger ces défauts, appelés aberrations ?
2Je comprends
1. Stigmatisme rigoureux et stigmatisme approché
Un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A' si tous les rayons issus de A passent, après le système, par A' (ou leurs prolongements). L'image d'un point est alors exactement un point.
- Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points.
- Une lentille sphérique ne l'est pas : les rayons issus d'un point ne convergent pas tous exactement au même point. L'image d'un point est une petite tache.
On parle de stigmatisme approché quand cette tache est assez petite pour que l'œil ou le capteur ne la distingue pas d'un point.
Rappel : une lentille mince est approximativement stigmatique et aplanétique (l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe est plane et perpendiculaire à l'axe) dans les conditions de Gauss :
- les rayons sont peu inclinés sur l'axe principal ;
- ils traversent la lentille près de son centre optique.
Les rayons qui vérifient ces conditions sont dits paraxiaux. Toutes les formules des leçons précédentes (1OA' - 1OA = 1f', γ = OA'OA) ne sont valables que pour eux.
On appelle aberrations tous les défauts d'une image dus au fait que les conditions idéales ne sont pas respectées. On en distingue deux grandes familles.
- Existent même en lumière d'une seule couleur
- Dues à la forme sphérique des faces et aux rayons non paraxiaux
- Sphéricité, coma, astigmatisme, courbure de champ, distorsion
- Image floue ou déformée
- Correction : diaphragme, surfaces asphériques, combinaisons de lentilles
- N'existent qu'en lumière polychromatique (blanche)
- Dues à la dispersion : l'indice du verre dépend de la couleur
- Foyers différents pour le rouge et pour le violet
- Image bordée d'irisations colorées
- Correction : doublet achromatique, ou miroirs à la place des lentilles
2. L'aberration de sphéricité
Éclairons une lentille convergente de grand diamètre avec un faisceau de lumière d'une seule couleur, parallèle à l'axe. On constate que :
- les rayons passant près du centre (paraxiaux) convergent au foyer F' ;
- les rayons passant près des bords convergent plus près de la lentille.
Il n'y a donc pas un point de convergence unique : sur un écran, on n'obtient jamais un point parfait, mais une petite tache. C'est l'aberration de sphéricité (ou aberration sphérique). Les rayons marginaux forment une surface lumineuse courbe appelée caustique : c'est la courbe brillante que tu peux voir au fond d'un verre ou d'une tasse éclairée par le soleil.
Correction :
- placer un diaphragme (un écran percé d'un trou) qui ne laisse passer que les rayons proches de l'axe. Inconvénient : l'image est moins lumineuse, car la quantité de lumière reçue est proportionnelle à la surface du trou (π D24) ;
- utiliser des lentilles de faible ouverture (diamètre petit devant la distance focale) ;
- tailler des surfaces asphériques ou combiner plusieurs lentilles.
Exemple
Pour réduire l'aberration de sphéricité, Kadiatou fait passer le diamètre utile d'une lentille de 4,0 cm à 2,0 cm avec un diaphragme. Comment varie la quantité de lumière reçue ?
La lumière reçue est proportionnelle à la surface du trou : S = π D² / 4.
S1 / S2 = (D1 / D2)² = (4,0 / 2,0)² = 4.
L'image est plus nette, mais quatre fois moins lumineuse. En photographie, il faudra un temps de pose quatre fois plus long.
3. Les autres aberrations géométriques
Pour les points éloignés de l'axe (grand champ) et les faisceaux très inclinés, d'autres défauts apparaissent :
- la coma : l'image d'un point devient une petite tache en forme de comète ;
- l'astigmatisme : l'image d'un point devient deux petits traits perpendiculaires situés à des distances différentes ;
- la courbure de champ : l'image nette d'un objet plan se forme sur une surface courbe, et non sur un plan ; si le centre est net, les bords sont flous ;
- la distorsion : l'image est nette mais déformée. Un quadrillage apparaît « en barillet » (côtés bombés vers l'extérieur) ou « en coussinet » (côtés creusés vers l'intérieur). Pour une lentille convergente, un diaphragme placé devant la lentille (côté objet) donne une distorsion en barillet, un diaphragme placé derrière donne une distorsion en coussinet.
C'est ce qu'a observé Mamadou : les lignes droites du tableau paraissaient courbées sur les bords de sa loupe.
4. L'aberration chromatique
Tu sais depuis la leçon sur la dispersion que l'indice du verre dépend de la couleur : nviolet > nrouge. Or la vergence d'une lentille dépend de l'indice (en plus pour SM : C = (n - 1)(1R1 + 1R2) pour une biconvexe). Donc :
- la vergence est plus grande pour le violet que pour le rouge ;
- le foyer violet F'V est plus proche de la lentille que le foyer rouge F'R.
En lumière blanche, il n'y a pas un foyer unique mais une suite de foyers colorés, du violet (le plus proche) au rouge (le plus loin). Sur un écran, l'image d'un point blanc est entourée d'irisations colorées : c'est l'aberration chromatique. Une lentille agit un peu comme un prisme, surtout sur ses bords.
Exemple
Une lentille biconvexe a deux faces de rayon 20 cm. L'indice du verre vaut 1,51 pour le rouge et 1,53 pour le violet. Calculer la distance focale pour chaque couleur et l'écart entre les foyers.
1/R1 + 1/R2 = 1/0,20 + 1/0,20 = 10 m⁻¹.
Rouge : C = (1,51 − 1) × 10 = 5,1 δ, donc f'R = 1/5,1 ≈ 0,196 m = 19,6 cm.
Violet : C = (1,53 − 1) × 10 = 5,3 δ, donc f'V = 1/5,3 ≈ 0,189 m = 18,9 cm.
Écart entre les foyers : environ 0,7 cm. Le foyer violet est plus près de la lentille.
5. Corriger l'aberration chromatique
Le doublet achromatique. On accole une lentille convergente en verre peu dispersif (verre appelé « crown ») et une lentille divergente en verre plus dispersif (verre appelé « flint »). On choisit les formes pour que les variations de vergence avec la couleur se compensent exactement, tout en gardant une vergence totale positive :
Δ C1 + Δ C2 = 0 et C = C1 + C2 > 0
(où Δ C est la différence de vergence entre le violet et le rouge pour chaque lentille). Le système obtenu a presque le même foyer pour toutes les couleurs. Les bons objectifs d'appareils photo, les microscopes et les lunettes astronomiques utilisent de tels doublets.
Les miroirs. La loi de la réflexion (r = i) ne dépend pas de la couleur : un miroir ne présente aucune aberration chromatique. C'est une des raisons pour lesquelles les grands télescopes utilisent des miroirs courbes plutôt que des lentilles.
6. Bilan : pourquoi plusieurs lentilles ?
Un objectif de qualité est une association de plusieurs lentilles (et parfois de surfaces asphériques) calculée pour que les aberrations de chaque élément se compensent. Il se comporte alors, avec une bonne précision, comme la lentille mince idéale des leçons précédentes. C'est ce que Kadiatou expliquait à Mamadou.
Méthode
Pour analyser un défaut d'image :
- Je regarde si le défaut existe en lumière d'une seule couleur (aberration géométrique) ou seulement en lumière blanche avec des liserés colorés (aberration chromatique).
- Je regarde si le défaut concerne tout le champ (sphéricité) ou surtout les bords (coma, astigmatisme, courbure de champ, distorsion).
- Je propose la correction adaptée : diaphragme ou combinaison de lentilles (géométrique) ; doublet achromatique ou miroir (chromatique).
3Je retiens
Je retiens
Stigmatisme rigoureux : tous les rayons issus de A passent par A' (miroir plan). Une lentille sphérique n'a qu'un stigmatisme approché, dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux).
Aberrations géométriques (même en lumière monochromatique) : sphéricité (les rayons du bord convergent plus près de la lentille), coma, astigmatisme, courbure de champ, distorsion (barillet ou coussinet).
Correction géométrique : diaphragme (image moins lumineuse), faible ouverture, surfaces asphériques, combinaisons de lentilles.
Aberration chromatique : n dépend de la couleur, donc f' aussi ; le foyer violet est plus proche que le foyer rouge.
Correction chromatique : doublet achromatique (convergente peu dispersive + divergente plus dispersive accolées) ; les miroirs n'ont pas d'aberration chromatique.
4Erreurs fréquentes
- Croire que le foyer rouge est le plus proche de la lentille : c'est le violet, plus dévié car l'indice est plus grand.
- Penser qu'un diaphragme est sans inconvénient : il améliore la netteté mais diminue la lumière reçue (proportionnelle au carré du diamètre).
- Confondre aberration chromatique et aberration de sphéricité : la sphéricité existe même avec un laser d'une seule couleur.
- Appliquer la relation de conjugaison à des rayons très inclinés ou passant par les bords : elle n'est valable que dans les conditions de Gauss.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Définis : stigmatisme rigoureux, stigmatisme approché, conditions de Gauss. Cite un système rigoureusement stigmatique.
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Un système est rigoureusement stigmatique pour les points A et A' si tous les rayons issus de A passent par A' après le système. Il est approximativement stigmatique si ces rayons passent très près de A', formant une tache assez petite pour être confondue avec un point. Conditions de Gauss : rayons peu inclinés sur l'axe et passant près du centre optique. Le miroir plan est rigoureusement stigmatique.
2Exercice 2
Une lentille biconvexe a deux faces de rayon 25 cm. L'indice du verre vaut 1,50 pour le rouge et 1,52 pour le violet.
a) Calcule la distance focale pour le rouge et pour le violet.
b) Quelle est l'aberration mise en évidence ? Quel foyer est le plus proche de la lentille ?
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a) 1R1 + 1R2 = 10,25 + 10,25 = 8 m⁻¹.
Rouge : CR = 0,50 × 8 = 4,0 δ, f'R = 14,0 = 0,250 m = 25,0 cm.
Violet : CV = 0,52 × 8 = 4,16 δ, f'V = 14,16 ≈ 0,240 m = 24,0 cm.
b) C'est l'aberration chromatique : les foyers sont différents selon la couleur (écart d'environ 1 cm). Le foyer violet est le plus proche de la lentille.
3Exercice 3
On photographie un mur carrelé avec un objectif simple. Sur la photo, les lignes droites du bord de l'image sont bombées vers l'extérieur.
a) Comment s'appelle ce défaut ? Est-ce une aberration géométrique ou chromatique ?
b) L'image est-elle floue ?
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a) C'est la distorsion en barillet, une aberration géométrique (elle ne dépend pas de la couleur).
b) Non : la distorsion déforme l'image sans la rendre floue ; chaque point reste net, mais il n'est pas à la bonne place.
4Exercice 4
Un diaphragme réduit le diamètre utile d'une lentille de 30 mm à 10 mm.
a) Quelle aberration cherche-t-on à réduire ?
b) Par combien la quantité de lumière reçue est-elle divisée ?
c) Quelle conséquence pour un photographe ?
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a) On réduit l'aberration de sphéricité (et les autres aberrations géométriques) en ne gardant que les rayons proches de l'axe.
b) La lumière est proportionnelle à la surface, donc au carré du diamètre : (3010)2 = 9. Elle est divisée par 9.
c) L'image est plus nette mais 9 fois moins lumineuse : il faut un temps de pose 9 fois plus long (ou un éclairage plus fort).
5Exercice 5
(Problème de synthèse, en plus pour SM) On veut réaliser un doublet achromatique en accolant une lentille convergente L₁ (crown) et une lentille divergente L₂ (flint). Pour une lentille, on écrit C = (n - 1)K, où K dépend seulement de la forme (K > 0 pour une convergente, K < 0 pour une divergente). Données (valeurs d'exercice) : crown, nR = 1,515, nV = 1,525, n moyen = 1,52 ; flint, nR = 1,62, nV = 1,64, n moyen = 1,63. On choisit K1 = 20 m⁻¹.
a) Montre que la différence de vergence violet-rouge d'une lentille vaut Δ C = (nV - nR)K. Calcule Δ C1.
b) Quelle valeur de K2 faut-il choisir pour que le doublet soit achromatique ?
c) Calcule la vergence moyenne de chaque lentille, puis celle du doublet et sa distance focale. Le doublet est-il convergent ?
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a) CV - CR = (nV - 1)K - (nR - 1)K = (nV - nR)K. Δ C1 = (1,525 - 1,515) × 20 = 0,010 × 20 = 0,2 δ.
b) Il faut Δ C1 + Δ C2 = 0, soit (1,64 - 1,62)K2 = -0,2, donc K2 = -0,20,02 = -10 m⁻¹.
c) C1 = (1,52 - 1) × 20 = 10,4 δ ; C2 = (1,63 - 1) × (-10) = -6,3 δ. Doublet : C = 10,4 - 6,3 = 4,1 δ, f' = 14,1 ≈ 0,244 m ≈ 24,4 cm. Le doublet est convergent et presque sans aberration chromatique.
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6Je vérifie
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