Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 33
Le champ électrostatique
Je sais définir et représenter le champ électrostatique, calculer le champ créé par une ou plusieurs charges ponctuelles et en déduire la force subie par une charge.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Rappeler la loi de Coulomb et l'utiliser
- Définir le vecteur champ électrostatique par la relation F = qE
- Calculer le champ créé par une charge ponctuelle et appliquer le principe de superposition
- Décrire les lignes de champ et le champ uniforme entre deux plaques parallèles
Avant de commencer : L'électrisation et les deux sortes de charges (collège et 11e) ; les vecteurs (somme, norme, théorème de Pythagore) ; la notion de force et l'équilibre d'un solide soumis à trois forces.
1Je découvre
Pendant l'harmattan, l'air de Guinée devient très sec. Kadiatou peigne ses cheveux avec un peigne en plastique, puis approche le peigne de petits morceaux de papier posés sur la table : les papiers se soulèvent et se collent au peigne, alors que rien ne les touche. Le soir, en retirant son pull, elle entend de petits crépitements.
Son frère Ibrahima, élève de 12e, lui explique que le peigne s'est électrisé en frottant les cheveux : il porte une charge électrique. Cette charge agit à distance sur les objets voisins. Tout se passe comme si l'espace autour du peigne était « modifié » : n'importe quelle charge placée à cet endroit subit une force.
Kadiatou demande : « Mais comment savoir, en chaque point autour du peigne, avec quelle force et dans quelle direction une charge sera tirée ou poussée ? »
Comment décrire, en chaque point de l'espace, l'action électrique exercée par des charges, et comment calculer la force qu'elle produit ?
2Je comprends
1. Rappel : la loi de Coulomb
Il existe deux sortes de charges électriques : positives et négatives. Deux charges de même signe se repoussent ; deux charges de signes contraires s'attirent. La charge s'exprime en coulombs (C). La plus petite charge libre est la charge élémentaire e = 1,6 × 10-19 C : un électron porte -e, un proton +e.
Loi de Coulomb. Deux charges ponctuelles qA et qB, placées en A et B à la distance r = AB dans le vide (ou l'air), exercent l'une sur l'autre des forces opposées, portées par la droite (AB), de même valeur :
F = k |qA| |qB|r2 avec k = 14πε0 = 9,0 × 109 SI.
ε0 = 8,85 × 10-12 F/m est la permittivité du vide. Retiens que la force diminue très vite avec la distance : si r double, F est divisée par 4.
2. La notion de champ électrostatique
Une charge Q (ou un ensemble de charges) modifie les propriétés de l'espace qui l'entoure : on dit qu'elle crée un champ électrostatique. Pour le détecter, on place en un point M une petite charge d'essai q : elle subit une force F.
L'expérience montre que F est proportionnelle à q. Le quotient Fq ne dépend donc que du point M et des charges qui créent le champ : c'est le vecteur champ électrostatique en M.
F = q E
- E s'exprime en newtons par coulomb (N/C), unité égale au volt par mètre (V/m), que l'on utilise le plus souvent.
- Si q > 0 : F a le même sens que E.
- Si q < 0 : F est de sens contraire à E (c'est le cas de l'électron).
3. Le champ créé par une charge ponctuelle
En un point M situé à la distance r d'une charge ponctuelle Q placée en O, le champ E a pour caractéristiques :
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Point d'application | le point M |
| Direction | la droite (OM) (champ radial) |
| Sens | vers l'extérieur (on s'éloigne de O) si Q > 0 ; vers O si Q < 0 |
| Valeur | E = k lvert Q rvertr2 |
On l'obtient en appliquant la loi de Coulomb à la charge d'essai q puis en divisant par q.
- Le champ est dirigé vers l'extérieur
- Les lignes de champ partent de Q
- Une charge q > 0 est repoussée
- Un électron est attiré
- Le champ est dirigé vers la charge
- Les lignes de champ arrivent sur Q
- Une charge q > 0 est attirée
- Un électron est repoussé
Exemple
Une petite sphère porte la charge Q = +2,0 × 10⁻⁸ C. Calculer le champ en un point M situé à 10 cm, puis la force subie par une charge q = −1,0 × 10⁻⁹ C placée en M.
r = 10 cm = 0,10 m, donc r² = 1,0 × 10⁻² m².
E = k|Q|/r² = 9,0 × 10⁹ × 2,0 × 10⁻⁸ / 1,0 × 10⁻² = 180 / 0,010 = 1,8 × 10⁴ V/m.
Q > 0 : le champ en M est dirigé de O vers M (il s'éloigne de la sphère).
F = |q| × E = 1,0 × 10⁻⁹ × 1,8 × 10⁴ = 1,8 × 10⁻⁵ N.
q < 0 : la force est de sens contraire au champ, donc dirigée vers la sphère. Les deux charges s'attirent, ce qui est cohérent.
4. Plusieurs charges : le principe de superposition
Si plusieurs charges Q1, Q2, … créent chacune un champ E1, E2, … au point M, le champ total est la somme vectorielle :
E = E1 + E2 + …
Attention : on additionne des vecteurs, pas des nombres. Deux cas simples reviennent sans cesse : champs de même direction (on ajoute ou on retranche les valeurs) et champs perpendiculaires (on utilise Pythagore).
Méthode
Pour calculer un champ créé par plusieurs charges ponctuelles :
- Je fais un schéma avec les charges, le point M et les distances en mètres.
- Pour chaque charge, je calcule E_i = k|Q_i|/r_i².
- Je dessine chaque vecteur E_i en M : il s'éloigne de Q_i si Q_i > 0, il pointe vers Q_i si Q_i < 0.
- J'additionne les vecteurs : même sens (somme), sens contraires (différence), perpendiculaires (Pythagore).
- Je donne la valeur, la direction et le sens du champ total, puis la force F = qE si on la demande.
Exemple
Deux charges qA = +4,0 × 10⁻⁹ C et qB = −4,0 × 10⁻⁹ C sont placées en A et B, avec AB = 20 cm. Calculer le champ au milieu M de [AB].
MA = MB = 0,10 m, donc r² = 1,0 × 10⁻² m².
EA = 9,0 × 10⁹ × 4,0 × 10⁻⁹ / 1,0 × 10⁻² = 36 / 0,010 = 3,6 × 10³ V/m ; qA > 0, donc EA s'éloigne de A : il va de M vers B.
EB = 3,6 × 10³ V/m ; qB < 0, donc EB pointe vers B : il va aussi de M vers B.
Les deux vecteurs ont même direction et même sens : E = EA + EB = 7,2 × 10³ V/m, dirigé de A vers B.
Exemple
Deux charges positives qA = 3,0 × 10⁻⁹ C et qB = 4,0 × 10⁻⁹ C sont placées en A et B. Le point M est à 3,0 cm de A et à 3,0 cm de B, et l'angle AMB est droit. Calculer le champ en M.
r² = (0,030)² = 9,0 × 10⁻⁴ m².
EA = 9,0 × 10⁹ × 3,0 × 10⁻⁹ / 9,0 × 10⁻⁴ = 27 / 9,0 × 10⁻⁴ = 3,0 × 10⁴ V/m (direction AM, s'éloigne de A).
EB = 9,0 × 10⁹ × 4,0 × 10⁻⁹ / 9,0 × 10⁻⁴ = 36 / 9,0 × 10⁻⁴ = 4,0 × 10⁴ V/m (direction BM, s'éloigne de B).
Les deux vecteurs sont perpendiculaires : E = √(EA² + EB²) = √(9 + 16) × 10⁴ = 5,0 × 10⁴ V/m.
L'angle α entre E et EB vérifie tan α = EA / EB = 0,75, soit α ≈ 37°.
5. Lignes de champ et spectre électrostatique
Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ, orientée dans le sens du champ. L'ensemble des lignes de champ forme le spectre électrostatique. On peut le visualiser avec des grains de semoule flottant dans de l'huile, entre deux électrodes reliées à une haute tension : les grains s'alignent le long des lignes.
- Les lignes partent des charges positives et arrivent sur les charges négatives.
- Deux lignes de champ ne se coupent jamais (en chaque point, le champ n'a qu'une direction).
- Là où les lignes sont serrées, le champ est intense.
6. Le champ uniforme
Un champ est uniforme dans une région s'il a en tout point de cette région la même direction, le même sens et la même valeur. Ses lignes de champ sont des droites parallèles.
On l'obtient entre deux plaques métalliques planes et parallèles, chargées l'une positivement et l'autre négativement (reliées aux bornes d'un générateur de tension continue) :
- le champ est perpendiculaire aux plaques ;
- il est dirigé de la plaque positive vers la plaque négative ;
- sa valeur est E = Ud, où U est la tension entre les plaques et d leur distance (tu l'établiras dans la leçon suivante).
7. Application : le pendule électrostatique dans un champ uniforme
Une petite boule de masse m, de charge q, suspendue à un fil isolant, est placée entre deux plaques verticales. Elle est soumise à son poids P, à la tension T du fil et à la force électrique F = qE, horizontale. À l'équilibre, le fil s'incline d'un angle α tel que :
tanα = FP = |q| Em g.
C'est un moyen simple de mesurer une charge ou un champ.
3Je retiens
Je retiens
Loi de Coulomb : F = k|qA||qB|/r², avec k = 9,0 × 10⁹ SI ; même signe : répulsion, signes contraires : attraction.
Définition du champ : F = q E (vecteurs) ; E en V/m (ou N/C). Si q < 0, F et E sont de sens contraires.
Charge ponctuelle Q : champ radial, E = k|Q|/r², sortant si Q > 0, entrant si Q < 0.
Plusieurs charges : E = E1 + E2 + … (somme de vecteurs).
Lignes de champ : tangentes au champ, partent des charges +, arrivent sur les charges −.
Champ uniforme entre deux plaques parallèles : perpendiculaire aux plaques, de + vers −, E = U/d.
Pendule dans un champ uniforme horizontal : tan α = |q|E/(mg).
4Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir les distances en mètres : r = 10 cm s'écrit 0,10 m, et r² = 1,0 × 10⁻² m², pas 100.
- Additionner les valeurs des champs sans regarder les directions : on fait une somme de vecteurs (Pythagore si les champs sont perpendiculaires).
- Donner à la force sur un électron le sens du champ : pour une charge négative, F est de sens contraire à E.
- Mettre le signe de Q dans la formule de la valeur : E = k|Q|/r² est toujours positif ; le signe de Q sert seulement à trouver le sens.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Deux charges qA = +5,0 × 10-8 C et qB = -2,0 × 10-8 C sont à 30 cm l'une de l'autre. Calcule la valeur de la force exercée par l'une sur l'autre et précise s'il s'agit d'une attraction ou d'une répulsion.
Voir le corrigéCacher le corrigé
F = k |qA| |qB|r2 = 9,0 × 109 × 5,0 × 10-8 × 2,0 × 10-8(0,30)2 = 9,0 × 109 × 1,0 × 10-150,090 = 1,0 × 10-4 N. Les charges sont de signes contraires : c'est une attraction.
2Exercice 2
Une charge ponctuelle Q = -6,0 × 10-9 C est placée en O.
a) Calcule la valeur du champ en un point M tel que OM = 3,0 cm et précise son sens.
b) À quelle distance de O le champ vaut-il le quart de cette valeur ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = 9,0 × 109 × 6,0 × 10-9(0,030)2 = 549,0 × 10-4 = 6,0 × 104 V/m. Q < 0 : le champ en M est dirigé vers O.
b) E est inversement proportionnel à r2 : pour diviser E par 4, il faut multiplier r par 2. Donc r = 6,0 cm.
3Exercice 3
Entre deux plaques parallèles, le champ est uniforme et vaut E = 2,0 × 104 V/m. On y place un électron (-e = -1,6 × 10-19 C ; m = 9,1 × 10-31 kg ; g = 9,8 N/kg).
a) Calcule la force électrique qu'il subit et précise son sens par rapport au champ.
b) Compare cette force à son poids. Que peux-tu conclure ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) F = e E = 1,6 × 10-19 × 2,0 × 104 = 3,2 × 10-15 N. La charge est négative : la force est de sens contraire au champ (vers la plaque positive).
b) P = m g = 9,1 × 10-31 × 9,8 ≈ 8,9 × 10-30 N. FP = 3,2 × 10-158,9 × 10-30 ≈ 3,6 × 1014. Le poids de l'électron est tout à fait négligeable devant la force électrique.
4Exercice 4
Deux charges identiques q = +2,0 × 10-9 C sont placées en A et B, avec AB = 8,0 cm.
a) Montre que le champ est nul au milieu I de [AB].
b) Calcule le champ au point M de [AB] situé à 2,0 cm de A.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En I : IA = IB = 4,0 cm, donc EA = EB. EA s'éloigne de A (vers B) et EB s'éloigne de B (vers A) : ils sont opposés, donc E(I) = 0.
b) MA = 0,020 m et MB = 0,060 m.
EA = 9,0 × 109 × 2,0 × 10-94,0 × 10-4 = 184,0 × 10-4 = 4,5 × 104 V/m, dirigé de A vers B.
EB = 183,6 × 10-3 = 5,0 × 103 V/m, dirigé de B vers A.
Sens contraires : E = 4,5 × 104 - 0,50 × 104 = 4,0 × 104 V/m, dirigé de A vers B.
5Exercice 5
(Type examen) Une petite boule de masse m = 1,0 g, portant la charge q = +2,0 × 10-8 C, est suspendue à un fil isolant entre deux plaques verticales parallèles distantes de d = 10 cm. On prend g = 10 N/kg.
a) On applique une tension U = 5,0 × 103 V entre les plaques. Calcule la valeur du champ entre les plaques.
b) Fais l'inventaire des forces qui s'exercent sur la boule et représente-les à l'équilibre.
c) Calcule l'angle α dont le fil s'écarte de la verticale.
d) Vers quelle plaque la boule est-elle déviée ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = Ud = 5,0 × 1030,10 = 5,0 × 104 V/m.
b) Système : la boule, dans le référentiel du laboratoire. Forces : le poids P (vertical, vers le bas), la tension T du fil (le long du fil, vers le point d'attache), la force électrique F = qE (horizontale, dans le sens du champ car q > 0). À l'équilibre, P + T + F = 0.
c) F = qE = 2,0 × 10-8 × 5,0 × 104 = 1,0 × 10-3 N ; P = mg = 1,0 × 10-3 × 10 = 1,0 × 10-2 N.
tanα = FP = 0,10, donc α ≈ 5,7°.
d) q > 0 : la force a le sens du champ, qui va de la plaque positive vers la plaque négative. La boule est déviée vers la plaque négative.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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