Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 33
L'énergie potentielle électrostatique
Je sais définir l'énergie potentielle électrostatique d'une charge, utiliser la conservation de l'énergie totale et calculer la vitesse d'une particule accélérée ou freinée par une tension.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'énergie potentielle électrostatique Ep = qV et relier sa variation au travail de la force électrique
- Énoncer la conservation de l'énergie totale d'une particule chargée
- Calculer la vitesse acquise par une particule accélérée par une tension
- Utiliser l'électronvolt et étudier le freinage d'une particule
Avant de commencer : Les leçons « La différence de potentiel » (W = qU_AB, E = U/d), « Théorème de l'énergie cinétique » et « Énergie potentielle et énergie mécanique ».
1Je découvre
Mariama a visité avec sa classe le service de radiologie d'un hôpital de Conakry, où on lui a présenté un appareil de radiographie. Le technicien a expliqué qu'à l'intérieur du tube, des électrons sont accélérés par une tension de plusieurs dizaines de milliers de volts. Ils frappent une cible métallique à une très grande vitesse, et c'est l'énergie de ce choc qui produit les rayons X.
De retour en classe, Mariama fait le lien avec la leçon sur l'énergie mécanique : une mangue qui tombe transforme son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique. Pour l'électron, le poids est négligeable. Alors d'où vient son énergie cinétique ? Existe-t-il une énergie potentielle « électrique » qui se transforme de la même façon ?
Comment définir l'énergie potentielle d'une charge dans un champ électrostatique, et comment l'utiliser pour calculer la vitesse d'une particule accélérée ?
2Je comprends
1. Une analogie avec la pesanteur
Tu as vu que le poids est une force conservative : son travail s'écrit WAB(P) = m g zA - m g zB, ce qui a permis de définir Epp = m g z.
La force électrostatique est aussi conservative : WAB(F) = q VA - q VB. On définit donc de la même manière une énergie potentielle.
| Pesanteur | Électrostatique |
|---|---|
| Force : P = mg | Force : F = qE |
| Travail : W = m g (zA - zB) | Travail : W = q (VA - VB) |
| Énergie potentielle : Epp = m g z | Énergie potentielle : Ep = q V |
| Le corps « descend » vers les z faibles | Une charge q > 0 va vers les V faibles |
2. Définition de l'énergie potentielle électrostatique
Une charge ponctuelle q placée en un point M où le potentiel vaut VM possède l'énergie potentielle électrostatique :
Ep = q VM + constante
On choisit en général la constante nulle, avec une référence de potentiel précisée (V = 0 sur une plaque, par exemple) : Ep = q V. Elle s'exprime en joules (si q est en coulombs et V en volts).
Comme pour la pesanteur :
- la valeur de Ep dépend de la référence choisie pour le potentiel ;
- sa variation n'en dépend pas, et elle est l'opposée du travail de la force électrique :
Δ Ep = Ep(B) - Ep(A) = q (VB - VA) = -WAB(F).
Attention au signe de la charge. Pour une charge positive, Ep est grande là où le potentiel est élevé. Pour une charge négative (un électron), c'est l'inverse : Ep est grande là où le potentiel est faible. Dans les deux cas, une particule laissée libre se dirige spontanément vers les régions où son énergie potentielle diminue.
En plus pour SM : deux charges ponctuelles q1 et q2 distantes de r possèdent l'énergie potentielle d'interaction Ep = k q1 q2r (nulle quand elles sont infiniment éloignées). Elle est positive pour deux charges de même signe (qui se repoussent) et négative pour deux charges de signes contraires.
3. Conservation de l'énergie totale
Considérons une particule de masse m et de charge q qui se déplace dans un champ électrostatique, dans le vide. Son poids est en général négligeable devant la force électrique (tu l'as vérifié pour l'électron : rapport de l'ordre de 1014). La seule force qui travaille est donc la force électrique.
Le théorème de l'énergie cinétique donne : Δ Ec = WAB(F) = -Δ Ep, donc Δ Ec + Δ Ep = 0.
L'énergie totale E = Ec + Ep = 12m v2 + q V se conserve :
12m vA2 + q VA = 12m vB2 + q VB
ou, sous une forme très pratique :
12m vB2 - 12m vA2 = q (VA - VB) = q UAB.
- 1Système : la particule (masse m, charge q) dans le vide ; son poids est négligeable.
- 2Seule la force électrique F = qE travaille : W = q UAB.
- 3Théorème de l'énergie cinétique : Ec(B) − Ec(A) = q UAB.
- 4Si la particule part du repos : ½ m vB² = q UAB, donc vB = √(2 q UAB / m).
4. Accélération d'une particule : le canon à électrons
Dans un canon à électrons, des électrons sortent de la cathode C (chauffée) avec une vitesse pratiquement nulle et sont accélérés vers l'anode A, portée à un potentiel plus élevé : UAC = VA - VC > 0.
Pour l'électron, q = -e, et UCA = -UAC. Donc q UCA = (-e)(-UAC) = e UAC > 0 : le travail est moteur et
12m vA2 = e UAC, soit vA = √2 e UACm.
Exemple
Un électron (m = 9,1 × 10⁻³¹ kg ; e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C) part de la cathode sans vitesse et est accéléré par une tension UAC = 1 000 V. Calculer son énergie cinétique à l'anode, puis sa vitesse.
Ec(A) = e UAC = 1,6 × 10⁻¹⁹ × 1 000 = 1,6 × 10⁻¹⁶ J (soit 1 000 eV = 1 keV).
v² = 2 Ec / m = 3,2 × 10⁻¹⁶ / 9,1 × 10⁻³¹ ≈ 3,5 × 10¹⁴ m²/s².
v ≈ 1,9 × 10⁷ m/s, soit environ 19 000 km/s.
Vérification : cette vitesse reste bien inférieure à celle de la lumière (3,0 × 10⁸ m/s), le calcul classique est acceptable.
Exemple
Un proton (m = 1,67 × 10⁻²⁷ kg ; q = +e) part du repos et est accéléré par une tension de 2 000 V. Quelle vitesse atteint-il ?
Ec = e U = 1,6 × 10⁻¹⁹ × 2 000 = 3,2 × 10⁻¹⁶ J (2 000 eV).
v² = 2 × 3,2 × 10⁻¹⁶ / 1,67 × 10⁻²⁷ ≈ 3,8 × 10¹¹ m²/s², donc v ≈ 6,2 × 10⁵ m/s.
Il a reçu deux fois plus d'énergie que l'électron de l'exemple précédent, mais il est environ 1 800 fois plus lourd : il va beaucoup moins vite.
5. Freinage d'une particule
Si la force électrique est opposée au mouvement, le travail est résistant : la particule ralentit. Son énergie cinétique se transforme en énergie potentielle électrostatique.
Exemple
Un électron entre en O, avec une énergie cinétique de 150 eV, dans une région où il se déplace dans le sens du champ (il « remonte » vers les potentiels faibles). Entre O et la plaque B, UOB = VO − VB = 100 V. Atteint-il la plaque B ? Avec quelle énergie ?
Ec(B) − Ec(O) = q UOB = (−e)(100 V) = −100 eV.
Ec(B) = 150 − 100 = 50 eV > 0 : l'électron atteint la plaque B, ralenti.
Si UOB valait 200 V, on trouverait Ec(B) = 150 − 200 = −50 eV : impossible, car une énergie cinétique n'est jamais négative. L'électron s'arrêterait avant B (là où il aurait franchi 150 V), puis ferait demi-tour.
Méthode
Pour étudier une particule chargée dans un champ électrostatique :
- Je précise le système, le référentiel, et je justifie que le poids est négligeable.
- Je repère le point de départ A et le point d'arrivée B, et le signe de q.
- J'écris le théorème de l'énergie cinétique : ½ m vB² − ½ m vA² = q UAB (en respectant l'ordre des indices).
- Je remplace, en unités SI (ou en eV si les énergies sont en eV et la charge vaut ± e).
- Je contrôle : Ec(B) doit être positive ou nulle, et la vitesse inférieure à 3,0 × 10⁸ m/s.
6. L'électronvolt, unité pratique
Pour une particule de charge ± e, il est commode d'exprimer les énergies en électronvolts : une particule de charge e qui franchit une d.d.p. de U volts gagne (ou perd) U électronvolts.
1 eV = 1,6 × 10-19 J ; 1 keV = 103 eV ; 1 MeV = 106 eV.
Pour convertir : énergie en joules = énergie en eV × 1,6 × 10-19.
3Je retiens
Je retiens
Énergie potentielle électrostatique : Ep = qV (+ constante) ; en joules.
ΔEp = Ep(B) − Ep(A) = −W(F) = q (VB − VA).
Énergie totale conservée (poids négligeable, dans le vide) : ½ m v² + qV = constante.
Forme pratique : ½ m vB² − ½ m vA² = q UAB.
Particule partant du repos accélérée par U : ½ m v² = |q| U, donc v = √(2|q|U / m).
1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J : une charge e qui franchit U volts gagne ou perd U eV.
SM : énergie d'interaction de deux charges : Ep = k q1 q2 / r.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de la charge de l'électron : pour lui, Ep = −eV ; il est accéléré vers les potentiels élevés.
- Inverser l'ordre des indices : le TEC s'écrit Ec(B) − Ec(A) = q UAB avec UAB = VA − VB, départ A et arrivée B.
- Mélanger eV et J : on convertit avant de calculer une vitesse (m en kg, énergie en J).
- Trouver une énergie cinétique négative et continuer le calcul : cela signifie que la particule n'atteint pas le point considéré.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une charge q = +5,0 × 10-9 C passe d'un point A (VA = 300 V) à un point B (VB = 100 V).
a) Calcule son énergie potentielle en A et en B.
b) Calcule le travail de la force électrique entre A et B.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ep(A) = q VA = 5,0 × 10-9 × 300 = 1,5 × 10-6 J ; Ep(B) = 5,0 × 10-9 × 100 = 5,0 × 10-7 J.
b) WAB = -Δ Ep = -(5,0 × 10-7 - 1,5 × 10-6) = 1,0 × 10-6 J. On retrouve q UAB = 5,0 × 10-9 × 200 = 1,0 × 10-6 J.
2Exercice 2
Convertis :
a) 5,0 keV en joules ;
b) 4,8 × 10-17 J en électronvolts.
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a) 5,0 keV = 5,0 × 103 × 1,6 × 10-19 = 8,0 × 10-16 J.
b) 4,8 × 10-171,6 × 10-19 = 300 eV.
3Exercice 3
Un électron part sans vitesse de la cathode d'un canon à électrons et arrive sur l'anode avec la vitesse v = 3,0 × 107 m/s (m = 9,1 × 10-31 kg ; e = 1,6 × 10-19 C).
a) Calcule son énergie cinétique finale en J puis en eV.
b) Déduis-en la tension accélératrice UAC.
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a) Ec = 12 × 9,1 × 10-31 × (3,0 × 107)2 = 12 × 9,1 × 10-31 × 9,0 × 1014 ≈ 4,1 × 10-16 J. En eV : 4,1 × 10-161,6 × 10-19 ≈ 2,6 × 103 eV.
b) Ec = e UAC, donc UAC = Ece ≈ 2,6 × 103 V (environ 2 600 V).
4Exercice 4
Une particule alpha (noyau d'hélium, q = 2e = 3,2 × 10-19 C ; m = 6,6 × 10-27 kg) part du repos et traverse une d.d.p. de 5 000 V qui l'accélère.
a) Calcule son énergie cinétique finale en eV et en J.
b) Calcule sa vitesse finale.
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a) Ec = q U = 2e × 5 000 V = 10 000 eV = 1,0 × 104 × 1,6 × 10-19 = 1,6 × 10-15 J.
b) v = √2 Ecm = √3,2 × 10-156,6 × 10-27 = √4,8 × 1011 ≈ 7,0 × 105 m/s.
5Exercice 5
(Type examen) Des électrons émis sans vitesse par une cathode C sont accélérés vers une anode A percée d'un trou, avec UAC = 400 V. Ils traversent le trou et entrent en O dans l'espace entre deux plaques parallèles P1 et P2, où ils se déplacent perpendiculairement aux plaques, de P1 (au potentiel de l'anode) vers P2. On applique UP1P2 = VP1 - VP2 = 300 V ; les plaques sont distantes de 5,0 cm.
a) Calcule l'énergie cinétique des électrons en O, en eV, puis leur vitesse (m = 9,1 × 10-31 kg).
b) Dans quel sens est dirigé le champ entre P1 et P2 ? Les électrons sont-ils accélérés ou freinés ?
c) Calcule leur énergie cinétique en arrivant sur P2.
d) Quelle valeur minimale faut-il donner à UP1P2 pour qu'aucun électron n'atteigne P2 ?
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a) TEC entre C et A (poids négligeable) : Ec(O) = e UAC = 400 eV = 6,4 × 10-17 J. vO = √2 × 6,4 × 10-179,1 × 10-31 = √1,4 × 1014 ≈ 1,2 × 107 m/s.
b) VP1 > VP2 : le champ est dirigé vers les potentiels décroissants, donc de P1 vers P2, dans le sens du mouvement. La force sur l'électron, -eE, est opposée au mouvement : les électrons sont freinés.
c) Ec(P2) - Ec(O) = q UP1P2 = (-e)(300 V) = -300 eV. Ec(P2) = 400 - 300 = 100 eV = 1,6 × 10-17 J.
d) Il faut que l'électron perde toute son énergie avant P2 : e UP1P2 ≥ 400 eV, soit UP1P2 ≥ 400 V. La valeur minimale est 400 V (pour exactement 400 V, l'électron s'arrête juste sur P2).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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