Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 19
Pourcentages, taux d'évolution et indices
Je sais calculer une proportion, un taux d'évolution, enchaîner des évolutions successives, trouver un taux moyen et utiliser des indices base 100.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer une proportion et un pourcentage de pourcentage
- Calculer un taux d'évolution et utiliser le coefficient multiplicateur
- Enchaîner des évolutions successives, trouver une évolution réciproque et un taux moyen
- Calculer et interpréter des indices base 100
Avant de commencer : Les calculs de pourcentages vus au collège et les suites géométriques.
1Je découvre
Au marché de Madina, Kadiatou suit le prix du sac de riz qu'elle revend dans sa boutique (prix imaginés pour l'exemple). En janvier, le sac coûtait 250 000 GNF. En juin, pendant la période de soudure, il est monté à 300 000 GNF. En novembre, après la récolte, il est redescendu à 270 000 GNF.
Son voisin Ibrahima fait un calcul rapide : « Il a augmenté de 20 %, puis baissé de 10 %. Donc au total, il a augmenté de 10 %. » Kadiatou vérifie : une hausse de 10 % sur 250 000 GNF donnerait 275 000 GNF, pas 270 000 GNF. Ibrahima s'est trompé !
Les pourcentages sont partout dans la vie économique : hausses de prix, soldes, croissance de la production, inflation, taux de réussite aux examens. Mais ils se manipulent avec des règles précises, sinon on se trompe facilement.
Comment calculer une évolution en pourcentage, et comment enchaîner correctement plusieurs évolutions ?
2Je comprends
1. Proportion et pourcentage
La proportion (ou fréquence) d'une partie A dans un ensemble E est p = nAnE, où nA et nE sont les effectifs. C'est un nombre entre 0 et 1, que l'on écrit souvent en pourcentage : p = 0,35 = 35 \%.
Prendre t % d'une quantité V, c'est calculer t100 × V.
Pourcentage de pourcentage. Si A représente une proportion p de B et que B représente une proportion p' de E, alors A représente la proportion p × p' de E. Exemple : dans un lycée, 40 % des élèves sont en série sociale et 25 % d'entre eux sont en 12e. Les élèves de 12e SS représentent 0,40 × 0,25 = 0,10, soit 10 % des élèves du lycée.
2. Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
Quand une grandeur passe d'une valeur de départ VD à une valeur d'arrivée VA :
- le taux d'évolution est t = VA - VDVD (positif pour une hausse, négatif pour une baisse) ;
- le coefficient multiplicateur est CM = VAVD = 1 + t.
Donc VA = VD × (1 + t). Une hausse de 20 % correspond à CM = 1,2 ; une baisse de 10 % correspond à CM = 0,9.
Exemple
Calculer les taux d'évolution du prix du sac de riz.
De janvier à juin : t = (300 000 − 250 000)/250 000 = 50 000/250 000 = 0,2, soit +20 %.
De juin à novembre : t = (270 000 − 300 000)/300 000 = −30 000/300 000 = −0,1, soit −10 %.
De janvier à novembre : t = (270 000 − 250 000)/250 000 = 20 000/250 000 = 0,08, soit +8 %.
3. Évolutions successives
Règle. Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients multiplicateurs (on n'additionne jamais les pourcentages) :
CMglobal = CM1 × CM2 × … × CMn et tglobal = CMglobal - 1.
Pour le riz : CM = 1,2 × 0,9 = 1,08, donc une hausse globale de 8 %, et non de 10 %.
Évolution réciproque. Pour revenir à la valeur de départ après une évolution de coefficient CM, il faut une évolution de coefficient 1CM.
Exemple
Un prix augmente de 25 %. Quelle baisse le ramène à sa valeur initiale ?
CM = 1,25. Coefficient réciproque : 1/1,25 = 0,8.
t = 0,8 − 1 = −0,2 : il faut une baisse de 20 % (et non de 25 %).
Vérification : 100 × 1,25 = 125 et 125 × 0,8 = 100.
4. Taux moyen
Si une grandeur subit n évolutions successives de coefficient global CM, le taux moyen tm est le taux qui, appliqué n fois, donne la même évolution globale :
(1 + tm)n = CM, donc 1 + tm = CM1n et tm = CM1n - 1.
Avec la calculatrice, CM1n se calcule avec la touche puissance (exposant 1/n) ou racine n-ième.
Exemple
Une production augmente de 10 %, puis de 20 %, puis baisse de 5 % en trois ans. Quel est le taux moyen annuel ?
CM global = 1,1 × 1,2 × 0,95 = 1,254 : hausse globale de 25,4 %.
Taux moyen : 1,254^(1/3) − 1 ≈ 1,0784 − 1 = 0,0784, soit environ 7,84 % par an.
Attention : ce n'est pas (10 + 20 − 5)/3 ≈ 8,33 %.
5. Les indices base 100
Pour suivre l'évolution d'une grandeur au fil du temps, on choisit une date de référence (l'année de base) à laquelle on attribue l'indice 100. L'indice à une autre date est :
I = 100 × VV0, où V0 est la valeur à la date de base.
L'indice se lit directement comme une évolution depuis la base : un indice de 125 signifie une hausse de 25 % par rapport à l'année de base ; un indice de 90, une baisse de 10 %.
Exemple
Prix moyen d'un kilo d'oignons dans une boutique (valeurs imaginées) : 8 000 GNF en 2020, 8 800 en 2021, 10 000 en 2022, 9 600 en 2023. Calculer les indices base 100 en 2020.
2021 : 100 × 8 800/8 000 = 110. 2022 : 100 × 10 000/8 000 = 125. 2023 : 100 × 9 600/8 000 = 120.
De 2020 à 2023, le prix a augmenté de 20 %.
De 2022 à 2023 : t = (120 − 125)/125 = −0,04, soit −4 %.
L'indice a perdu 5 points, mais le prix a baissé de 4 % : un point d'indice n'est pas un pourcentage.
Méthode
Pour traiter une question d'évolution :
- Je repère clairement la valeur de départ et la valeur d'arrivée.
- Je calcule le coefficient multiplicateur CM = arrivée/départ, puis t = CM − 1.
- Pour des évolutions successives, je MULTIPLIE les CM.
- Pour une évolution réciproque, je calcule 1/CM.
- Pour un taux moyen sur n périodes, je calcule CM^(1/n) − 1.
- Je donne le résultat en pourcentage, avec le signe (+ pour une hausse, − pour une baisse).
3Je retiens
Je retiens
Proportion : p = partie/total. Pourcentage de pourcentage : on multiplie les proportions.
Taux d'évolution : t = (VA − VD)/VD ; coefficient multiplicateur : CM = VA/VD = 1 + t.
Hausse de t % : CM = 1 + t/100 ; baisse de t % : CM = 1 − t/100.
Évolutions successives : on multiplie les CM, on n'additionne jamais les pourcentages.
Évolution réciproque : CM' = 1/CM.
Taux moyen sur n périodes : tm = CM^(1/n) − 1.
Indice base 100 : I = 100 × V/V₀ ; I − 100 donne l'évolution en % depuis la base.
4Erreurs fréquentes
- Additionner des pourcentages successifs : +20 % puis −10 % ne donne pas +10 % mais +8 %.
- Diviser par la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de départ dans le calcul du taux.
- Croire qu'une baisse de t % annule une hausse de t % : +25 % puis −25 % donne 1,25 × 0,75 = 0,9375, soit −6,25 %.
- Confondre points d'indice et pourcentage : passer de 125 à 120, c'est −5 points mais −4 %.
5Je m’exerce
1Exercice 1
a) Calcule 15 % de 240 000 GNF.
b) Dans une classe de 48 élèves, il y a 18 filles. Quel est le pourcentage de filles ?
c) Un article coûte 50 000 GNF. Quel est son prix après une hausse de 12 % ? après une baisse de 12 % ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 0,15 × 240 000 = 36 000 GNF.
b) 1848 = 0,375, soit 37,5 % de filles.
c) Hausse : 50 000 × 1,12 = 56 000 GNF. Baisse : 50 000 × 0,88 = 44 000 GNF.
2Exercice 2
a) La récolte d'un champ passe de 3,2 tonnes à 4 tonnes. Calcule le taux d'évolution.
b) Un prix passe de 45 000 GNF à 36 000 GNF. Calcule le taux d'évolution.
c) Après une hausse de 8 %, un article coûte 54 000 GNF. Quel était son prix avant la hausse ?
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a) t = 4 - 3,23,2 = 0,83,2 = 0,25, soit +25 %.
b) t = 36 000 - 45 00045 000 = -9 00045 000 = -0,2, soit −20 %.
c) VD × 1,08 = 54 000, donc VD = 54 0001,08 = 50 000 GNF.
3Exercice 3
a) Un prix augmente de 30 %, puis baisse de 30 %. Quelle est l'évolution globale ?
b) Un prix baisse de 20 %. Quelle hausse faut-il appliquer pour retrouver le prix initial ?
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a) CM = 1,3 × 0,7 = 0,91 ; t = -0,09 : baisse globale de 9 %.
b) CM = 0,8, coefficient réciproque 10,8 = 1,25 : il faut une hausse de 25 %.
4Exercice 4
a) Une production a augmenté de 44 % en deux ans. Quel est le taux moyen annuel ?
b) Un prix augmente successivement de 5 %, de 8 % puis de 2 %. Calcule le taux global, puis le taux moyen (au centième de pourcentage près).
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a) CM = 1,44 sur 2 ans. (1 + tm)2 = 1,44, donc 1 + tm = √1,44 = 1,2 : taux moyen de 20 % par an.
b) CM = 1,05 × 1,08 × 1,02 = 1,15668 : hausse globale d'environ 15,67 %. Taux moyen : 1,156681/3 - 1 ≈ 0,0497, soit environ 4,97 % par an.
5Exercice 5
(Type BAC) Le chiffre d'affaires d'une boutique de Labé, en millions de GNF, a évolué ainsi (valeurs imaginées) : 40 en 2021 ; 46 en 2022 ; 52 en 2023 ; 50 en 2024.
a) Calcule les indices base 100 en 2021.
b) Quel est le taux d'évolution de 2021 à 2024 ?
c) Calcule le taux d'évolution de 2023 à 2024 de deux manières : avec les valeurs, puis avec les indices.
d) Calcule le taux moyen annuel d'évolution de 2021 à 2024.
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a) 2021 : 100 ; 2022 : 100 × 4640 = 115 ; 2023 : 100 × 5240 = 130 ; 2024 : 100 × 5040 = 125.
b) L'indice 125 indique une hausse de 25 % de 2021 à 2024.
c) Avec les valeurs : t = 50 - 5252 ≈ -0,0385. Avec les indices : t = 125 - 130130 ≈ -0,0385. Le chiffre d'affaires a baissé d'environ 3,85 %.
d) Trois évolutions annuelles (2021 → 2022 → 2023 → 2024), CM = 1,25. tm = 1,251/3 - 1 ≈ 0,0772, soit environ 7,72 % par an.
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6Je vérifie
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