Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 44
Diviser un nombre décimal par un nombre entier
Je sais diviser un nombre décimal par un nombre entier, obtenir un quotient exact ou un quotient approché, et diviser rapidement par 10, 100 ou 1 000.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Diviser un décimal par 10, 100, 1 000
- Poser la division d'un décimal par un entier et placer la virgule au quotient
- Continuer une division d'un entier en ajoutant des zéros
- Donner un quotient approché à l'unité, au dixième ou au centième
- Résoudre des problèmes de partage
Avant de commencer : La division euclidienne des nombres entiers ; multiplication des nombres décimaux.
1Je découvre
Kadiatou, couturière à Nzérékoré, a acheté une pièce de pagne de 22,5 m. Elle veut la découper en 6 morceaux de même longueur pour confectionner les tenues de six sœurs qui vont à un mariage.
Elle sait diviser 24 par 6 (cela fait 4), mais 22,5 n'est pas un nombre entier. Son fils Sékou propose : « Divise 22 par 6 : 3 fois, reste 4. Chaque morceau fait 3 m, et on jette le reste ! » Kadiatou refuse : les restes de tissu coûtent cher, elle veut utiliser toute la pièce.
Avec la division des décimaux, on peut continuer le partage au-delà des mètres entiers : on partage aussi les dixièmes, puis les centièmes.
Comment diviser un nombre décimal par un nombre entier, et que faire quand la division « ne s'arrête pas » ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Dans la division de a par b, a s'appelle le dividende, b le diviseur et le résultat le quotient. On écrit a ÷ b, ou ab.
Vérifier une division. Si a ÷ b = q, alors b × q = a.
2. Diviser par 10, 100, 1 000
Diviser par 10, c'est rendre chaque chiffre 10 fois plus petit : on décale la virgule vers la gauche.
| Diviser par | on décale la virgule de | Exemple |
|---|---|---|
| 10 | 1 rang vers la gauche | 347,5 ÷ 10 = 34,75 |
| 100 | 2 rangs vers la gauche | 347,5 ÷ 100 = 3,475 |
| 1 000 | 3 rangs vers la gauche | 347,5 ÷ 1 000 = 0,3475 |
Diviser par 10 revient donc à multiplier par 0,1 ; diviser par 100 revient à multiplier par 0,01.
3. Poser la division d'un décimal par un entier
Règle. On effectue la division comme avec des entiers. Au moment où l'on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient.
Méthode
Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier :
- Je fais une estimation de l'ordre de grandeur du quotient.
- Je divise la partie entière du dividende, comme d'habitude.
- Avant d'abaisser le chiffre des dixièmes, j'écris la virgule au quotient.
- Je continue la division en abaissant les chiffres suivants ; si besoin, j'ajoute des zéros au dividende.
- Je m'arrête quand le reste est nul (quotient exact) ou quand j'ai la précision demandée (quotient approché).
- Je vérifie : diviseur × quotient = dividende.
Exemple
Calculer 22,5 ÷ 6 (le pagne de Kadiatou).
Partie entière : 22 ÷ 6 = 3, reste 4 (car 6 × 3 = 18).
J'écris la virgule au quotient : 3,
J'abaisse le 5 des dixièmes : 45 ÷ 6 = 7, reste 3 (6 × 7 = 42). Quotient : 3,7
Il n'y a plus de chiffre : j'ajoute un zéro (22,50) et j'abaisse le 0 : 30 ÷ 6 = 5, reste 0. Quotient : 3,75
Le reste est nul : 22,5 ÷ 6 = 3,75.
Chaque morceau mesure 3,75 m. Vérification : 6 × 3,75 = 22,5.
Exemple
Calculer 45,6 ÷ 8.
Ordre de grandeur : 48 ÷ 8 = 6, donc le quotient est un peu moins que 6.
45 ÷ 8 = 5, reste 5 (8 × 5 = 40). Virgule : 5,
J'abaisse 6 : 56 ÷ 8 = 7, reste 0. Quotient : 5,7.
45,6 ÷ 8 = 5,7. Vérification : 8 × 5,7 = 45,6.
4. Quand la partie entière est trop petite
Si la partie entière du dividende est plus petite que le diviseur, le quotient commence par 0,.
Exemple
Calculer 2,94 ÷ 7.
2 ÷ 7 = 0, reste 2. Quotient : 0,
J'abaisse le 9 : 29 ÷ 7 = 4, reste 1 (7 × 4 = 28). Quotient : 0,4
J'abaisse le 4 : 14 ÷ 7 = 2, reste 0. Quotient : 0,42.
2,94 ÷ 7 = 0,42. Vérification : 7 × 0,42 = 2,94.
5. Diviser un entier et obtenir un quotient décimal
On peut aussi continuer la division de deux nombres entiers au-delà de la virgule, en écrivant le dividende avec des zéros : 17 = 17,00.
Exemple
Calculer 17 ÷ 4.
17 ÷ 4 = 4, reste 1. On écrit 17,00 et la virgule au quotient : 4,
10 ÷ 4 = 2, reste 2. Quotient : 4,2
20 ÷ 4 = 5, reste 0. Quotient : 4,25.
17 ÷ 4 = 4,25.
6. Quotient approché
Parfois, la division ne s'arrête jamais : le reste n'est jamais nul. On donne alors un quotient approché.
Exemple
Calculer 10 ÷ 3.
10 ÷ 3 = 3, reste 1 ; 10 ÷ 3 = 3, reste 1 ; 10 ÷ 3 = 3, reste 1… Le chiffre 3 se répète sans fin : 3,333…
Quotient approché à l'unité près : 3 (par défaut) ou 4 (par excès).
Au dixième près : 3,3 par défaut ou 3,4 par excès.
Au centième près : 3,33 par défaut ou 3,34 par excès.
On écrit 10 ÷ 3 ≈ 3,33 (le signe ≈ se lit « environ égal à »).
Par défaut signifie « juste en dessous » du vrai quotient ; par excès signifie « juste au-dessus ». On encadre : 3,33 < 10 ÷ 3 < 3,34.
- 1Je divise la partie entière du dividende.
- 2J'écris la virgule au quotient avant d'abaisser les dixièmes.
- 3J'abaisse les chiffres suivants, en ajoutant des zéros si nécessaire.
- 4Je m'arrête au reste nul ou à la précision demandée.
- 5Je vérifie en multipliant le quotient par le diviseur.
3Je retiens
Je retiens
÷ 10, ÷ 100, ÷ 1 000 : je décale la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la gauche.
Pour diviser un décimal par un entier, j'écris la virgule au quotient au moment d'abaisser le chiffre des dixièmes.
J'ajoute des zéros au dividende pour continuer la division : 17 = 17,00.
Si la partie entière est plus petite que le diviseur, le quotient commence par 0,
Quand la division ne s'arrête pas, je donne un quotient approché, par défaut ou par excès.
Vérification : diviseur × quotient = dividende.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de placer la virgule au quotient : 22,5 ÷ 6 donnerait 375 au lieu de 3,75.
- S'arrêter au reste de la division entière alors qu'on peut continuer avec des zéros : 17 ÷ 4 ne vaut pas « 4 reste 1 » quand on demande un quotient décimal, mais 4,25.
- Oublier le 0 au début du quotient : 2,94 ÷ 7 = 0,42 et non 4,2.
- Confondre ÷ 10 et × 10 : diviser rend le nombre plus petit, la virgule va vers la gauche.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule mentalement.
a) 58,4 ÷ 10 b) 7 ÷ 100 c) 356 ÷ 1 000 d) 0,9 ÷ 10
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5,84 b) 0,07 c) 0,356 d) 0,09
2Exercice 2
Pose et effectue (le quotient est exact).
a) 38,4 ÷ 6 b) 9,15 ÷ 5 c) 5,6 ÷ 8 d) 63 ÷ 8
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 38 ÷ 6 = 6, reste 2 ; virgule ; 24 ÷ 6 = 4, reste 0. Donc 38,4 ÷ 6 = 6,4. Vérification : 6 × 6,4 = 38,4.
b) 9 ÷ 5 = 1, reste 4 ; virgule ; 41 ÷ 5 = 8, reste 1 ; 15 ÷ 5 = 3, reste 0. Donc 9,15 ÷ 5 = 1,83. Vérification : 5 × 1,83 = 9,15.
c) 5 ÷ 8 = 0, reste 5 ; virgule ; 56 ÷ 8 = 7, reste 0. Donc 5,6 ÷ 8 = 0,7.
d) 63 ÷ 8 = 7, reste 7 ; on écrit 63,000 ; 70 ÷ 8 = 8, reste 6 ; 60 ÷ 8 = 7, reste 4 ; 40 ÷ 8 = 5, reste 0. Donc 63 ÷ 8 = 7,875. Vérification : 8 × 7,875 = 63.
3Exercice 3
Donne le quotient approché au centième près par défaut.
a) 20 ÷ 3 b) 15,4 ÷ 7 c) 5 ÷ 6
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a) 20 ÷ 3 = 6,666… donc 20 ÷ 3 ≈ 6,66 (au centième par défaut).
b) 15 ÷ 7 = 2, reste 1 ; 14 ÷ 7 = 2, reste 0. Donc 15,4 ÷ 7 = 2,2 exactement, soit 2,20 au centième.
c) 5 ÷ 6 = 0,8333… donc 5 ÷ 6 ≈ 0,83 (au centième par défaut).
4Exercice 4
Vérifie par une multiplication si les résultats sont justes. Corrige ceux qui sont faux.
a) 31,5 ÷ 9 = 3,5 b) 12,6 ÷ 4 = 3,5 c) 0,48 ÷ 6 = 0,8
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 9 × 3,5 = 31,5 : juste.
b) 4 × 3,5 = 14, et non 12,6 : faux. Calcul : 12 ÷ 4 = 3, reste 0 ; 6 ÷ 4 = 1, reste 2 ; 20 ÷ 4 = 5. Donc 12,6 ÷ 4 = 3,15.
c) 6 × 0,8 = 4,8, et non 0,48 : faux. Calcul : 0,48 ÷ 6 = 0,08. Vérification : 6 × 0,08 = 0,48.
5Exercice 5
(Problème) Six amis de Kouroussa organisent une sortie au fleuve Niger. Ils achètent 4,5 kg de poisson pour 157 500 GNF, et 3 bidons d'eau de 1,5 L chacun.
a) Quel est le prix d'un kilogramme de poisson ?
b) Ils partagent la dépense du poisson à égalité. Combien chacun paie-t-il ?
c) Ils partagent aussi toute l'eau à égalité. Quelle quantité d'eau chacun reçoit-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 157 500 ÷ 4,5 est une division par un décimal (leçon suivante). On peut raisonner autrement : 4,5 kg = 9 demi-kilogrammes. 157 500 ÷ 9 = 17 500 GNF pour un demi-kilogramme, donc 17 500 × 2 = 35 000 GNF le kilogramme. Vérification : 4,5 × 35 000 = 157 500.
b) 157 500 ÷ 6 = 26 250. Chacun paie 26 250 GNF. Vérification : 6 × 26 250 = 157 500.
c) Eau totale : 3 × 1,5 = 4,5 L. Partage : 4,5 ÷ 6 = 0,75. Chacun reçoit 0,75 L (soit 75 cL).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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