Karamö, le prof virtuelLeçon 40 sur 44
Les nombres décimaux relatifs
Je sais lire et écrire des nombres positifs et négatifs, trouver l'opposé et la distance à zéro d'un nombre, et comparer puis ranger des nombres décimaux relatifs.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comprendre à quoi servent les nombres négatifs
- Reconnaître le signe et la distance à zéro d'un nombre relatif
- Trouver l'opposé d'un nombre relatif
- Comparer deux nombres décimaux relatifs
- Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant ou décroissant
Avant de commencer : Comparer des nombres décimaux ; la demi-droite graduée.
1Je découvre
Kadiatou tient une boutique de boissons fraîches à Kamsar. Son congélateur affiche « −18 °C » : il fait 18 degrés en dessous de zéro, la température où l'eau gèle. Dehors, le thermomètre affiche 32 °C.
Le soir, elle note ses comptes. Son fournisseur lui a avancé des marchandises : elle lui doit 150 000 GNF. Elle écrit « −150 000 » dans son cahier. Son fils Ousmane, qui habite dans un immeuble, lui raconte que le parking est au niveau « −1 », sous le rez-de-chaussée.
Ousmane a appris que 0 est le plus petit nombre entier naturel. Pourtant, les températures, les dettes et les étages montrent qu'on a besoin de nombres « plus petits que zéro ».
Que sont ces nombres précédés d'un signe « − », comment les lire, et comment les comparer ?
2Je comprends
1. Des nombres pour aller au-delà de zéro
Dans de nombreuses situations, il faut se repérer de part et d'autre d'une référence (le zéro) :
- les températures : au-dessus ou au-dessous de 0 °C ;
- les altitudes : au-dessus ou au-dessous du niveau de la mer (altitude 0 m) ; le fond d'une fosse de mine, sous le niveau de la mer, a une altitude négative ;
- l'argent : un gain ou une dette ;
- les étages : au-dessus ou au-dessous du rez-de-chaussée ;
- les dates : après ou avant l'an 1 de notre calendrier.
Pour cela, on utilise les nombres relatifs.
2. Nombres positifs, nombres négatifs
- Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à 0. On peut l'écrire avec le signe + ou sans signe : +4,5 = 4,5.
- Un nombre négatif est un nombre inférieur ou égal à 0. On l'écrit toujours avec le signe - : -18 ; -2,75.
- 0 est à la fois positif et négatif ; il n'a pas besoin de signe.
Un nombre relatif est formé d'un signe (+ ou -) et d'une distance à zéro (le nombre sans son signe).
| Nombre relatif | Signe | Distance à zéro |
|---|---|---|
| -18 | - | 18 |
| +7,3 | + | 7,3 |
| -0,5 | - | 0,5 |
| 12 | + | 12 |
Vocabulaire.
- Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs ou négatifs : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- Les décimaux relatifs sont les nombres décimaux positifs ou négatifs : -4,25 ; 0,8 ; -17 ; +3,06… Tout entier relatif est aussi un décimal relatif.
3. La droite graduée
On place les nombres relatifs sur une droite graduée : les positifs à droite de 0, les négatifs à gauche, à la même distance de 0 que leur « partie sans signe ».
La distance à zéro d'un nombre est exactement la distance entre 0 et le point qui représente ce nombre.
4. Les nombres opposés
Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. Sur la droite graduée, ils sont symétriques par rapport à 0.
L'opposé de 5 est -5 ; l'opposé de -2,4 est 2,4 ; l'opposé de 0 est 0.
5. Comparer deux nombres relatifs
Sur une droite graduée orientée de gauche à droite, le plus petit nombre est toujours à gauche. On en déduit trois règles.
Règle 1 : signes différents. Un nombre négatif est plus petit qu'un nombre positif. Exemple : -15 < 2 ; -0,1 < 0.
Règle 2 : deux nombres positifs. Le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro (comme pour les décimaux habituels). Exemple : 4,7 > 4,25.
Règle 3 : deux nombres négatifs. Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro, car il est plus proche de 0, donc plus à droite. Exemple : -3 > -8 ; -1,2 > -1,5.
Pense aux températures : il fait plus froid à -8 °C qu'à -3 °C, donc -8 < -3.
Méthode
Pour comparer deux nombres relatifs :
- Je regarde les signes.
- S'ils sont différents : le négatif est le plus petit.
- S'ils sont tous deux positifs : je compare les distances à zéro ; la plus grande distance donne le plus grand nombre.
- S'ils sont tous deux négatifs : je compare les distances à zéro ; la plus grande distance donne le plus PETIT nombre.
- En cas de doute, je place les deux nombres sur une droite graduée : le plus à gauche est le plus petit.
Exemple
Comparer −6,3 et −6,25.
Les deux nombres sont négatifs. Distances à zéro : 6,3 et 6,25. Comme 6,3 > 6,25, −6,3 est plus loin de zéro, donc plus à gauche.
Conclusion : −6,3 < −6,25.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : 2,5 ; −4 ; 0 ; −1,5 ; 3 ; −4,2.
Les négatifs d'abord, du plus éloigné de zéro au plus proche : −4,2 < −4 < −1,5.
Puis 0, puis les positifs : 2,5 < 3.
Ordre croissant : −4,2 < −4 < −1,5 < 0 < 2,5 < 3.
Exemple
Dans un entrepôt frigorifique du port, quatre chambres froides affichent : chambre 1 : −7 °C ; chambre 2 : −12 °C ; chambre 3 : 2 °C ; chambre 4 : 4 °C.
Classement de la plus froide à la moins froide : −12 < −7 < 2 < 4, donc chambre 2, chambre 1, chambre 3, chambre 4.
6. Résumé visuel
- À gauche de 0 sur la droite graduée
- Toujours écrits avec le signe −
- Plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit
- Exemples : −18 ; −2,5 ; −0,1
- À droite de 0 sur la droite graduée
- Signe + facultatif
- Plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est grand
- Exemples : 0,1 ; 4 ; +32
3Je retiens
Je retiens
Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro.
Les négatifs s'écrivent toujours avec −. Les positifs peuvent s'écrire avec ou sans +. 0 est positif et négatif.
Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : 3,5 et −3,5.
Tout nombre négatif est plus petit que tout nombre positif.
Entre deux négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro : −9 < −2.
Sur la droite graduée, le plus petit nombre est le plus à gauche.
4Erreurs fréquentes
- Croire que −9 > −2 parce que 9 > 2 : c'est faux. −9 est plus loin à gauche : −9 < −2.
- Oublier le signe − d'un nombre négatif : une dette de 5 000 GNF s'écrit −5 000, pas 5 000.
- Penser que 0 n'est ni positif ni négatif : en 7e année, on retient que 0 est à la fois positif et négatif.
- Confondre l'opposé et la distance à zéro : l'opposé de −4 est 4 ; la distance à zéro de −4 est aussi 4, mais l'opposé de 4 est −4, alors que sa distance à zéro reste 4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris avec un nombre relatif.
a) Une température de 5 degrés au-dessous de zéro.
b) Un gain de 25 000 GNF.
c) Le deuxième sous-sol d'un immeuble.
d) Une altitude de 1 200 m au-dessus du niveau de la mer.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -5 °C. b) +25 000 GNF. c) -2. d) +1 200 m.
2Exercice 2
Complète le tableau.
| Nombre | Signe | Distance à zéro | Opposé |
|---|---|---|---|
| -7,2 | … | … | … |
| 4 | … | … | … |
| -0,35 | … | … | … |
| 0 | … | … | … |
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| Nombre | Signe | Distance à zéro | Opposé |
|---|---|---|---|
| -7,2 | - | 7,2 | 7,2 |
| 4 | + | 4 | -4 |
| -0,35 | - | 0,35 | 0,35 |
| 0 | aucun (+ et −) | 0 | 0 |
3Exercice 3
Compare avec < ou >.
a) -5 … 3
b) -5 … -3
c) -2,8 … -2,08
d) 0 … -0,01
e) -10 … -1
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a) -5 < 3 (un négatif est plus petit qu'un positif).
b) -5 < -3 (5 > 3, donc −5 est plus loin de zéro).
c) -2,8 < -2,08 (2,8 > 2,08).
d) 0 > -0,01.
e) -10 < -1.
4Exercice 4
Range dans l'ordre croissant : -3,5 ; 1,2 ; -0,8 ; -3,05 ; 0 ; -12 ; 4.
Voir le corrigéCacher le corrigé
-12 < -3,5 < -3,05 < -0,8 < 0 < 1,2 < 4.
5Exercice 5
Dans son cahier de comptes, Kadiatou a noté le solde de sa caisse chaque soir de la semaine (en milliers de GNF) : lundi +45 ; mardi -12 ; mercredi -30 ; jeudi +8 ; vendredi -4,5.
a) Quels jours la caisse était-elle en dette ?
b) Quel jour la situation était-elle la plus mauvaise ? la meilleure ?
c) Range ces soldes dans l'ordre décroissant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les soldes négatifs : mardi, mercredi et vendredi.
b) La plus mauvaise : mercredi (-30 est le plus petit). La meilleure : lundi (+45).
c) Ordre décroissant : 45 > 8 > -4,5 > -12 > -30.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Sur une droite graduée, le point A a pour nombre -2,5.
a) Quel est le nombre du point B symétrique de A par rapport à 0 ?
b) Cite trois nombres décimaux relatifs compris entre -2,5 et -2.
c) Cite tous les entiers relatifs strictement compris entre -2,5 et 2,5.
d) Un nombre négatif a une distance à zéro égale à 6,4. Quel est ce nombre ? Est-il plus grand ou plus petit que -6 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) B est le symétrique de A par rapport à 0 : son nombre est l'opposé de -2,5, c'est-à-dire 2,5.
b) Par exemple -2,4 ; -2,25 ; -2,1 (il y en a une infinité).
c) -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2.
d) Le nombre est -6,4. Comme 6,4 > 6, -6,4 est plus loin de zéro : -6,4 < -6. Il est plus petit.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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