Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 33
Critères de divisibilité et nombres premiers
Je sais reconnaître rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, reconnaître un nombre premier et décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
- Définir un nombre premier et reconnaître les nombres premiers inférieurs à 50
- Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers
Avant de commencer : Multiples et diviseurs d'un nombre entier, division euclidienne (7e).
1Je découvre
Ousmane aide son oncle, cultivateur près de Kindia, à préparer la vente des mangues. Ils ont cueilli 126 belles mangues et veulent les ranger dans des sachets contenant tous le même nombre de mangues, sans qu'il en reste une seule.
« Faisons des sachets de 5 », propose l'oncle. Ousmane réfléchit : « Impossible, il restera une mangue. » « Alors des sachets de 9 ? » Ousmane ne pose même pas la division : « Oui, ça marche, on aura 14 sachets. »
L'oncle est surpris : comment Ousmane peut-il savoir si vite qu'on peut partager 126 par 9, mais pas par 5 ? Ousmane sourit : il connaît des critères de divisibilité, de petites règles qui permettent de répondre en regardant seulement les chiffres du nombre.
Comment savoir, sans poser la division, si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 ? Et quels sont les nombres qu'on ne peut partager qu'en « un seul paquet » ou en paquets d'une seule unité ?
2Je comprends
1. Rappel : divisible, diviseur, multiple
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b (non nul) lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est zéro. On dit alors que :
- b est un diviseur de a ;
- a est un multiple de b.
Par exemple, 126 = 9 × 14 : 126 est divisible par 9, 9 est un diviseur de 126, et 126 est un multiple de 9.
2. Les critères de divisibilité
| Divisible par | Critère | Exemples |
|---|---|---|
| 2 | le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) | 126 ; 3 458 |
| 5 | le chiffre des unités est 0 ou 5 | 135 ; 2 020 |
| 10 | le chiffre des unités est 0 | 470 ; 3 000 |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 | 1 316 (car 16 = 4 × 4) |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 | 126 (1 + 2 + 6 = 9) |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 | 126 (1 + 2 + 6 = 9) |
Remarques utiles :
- Un nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3 (car 9 = 3 × 3). La réciproque est fausse : 12 est divisible par 3 (1 + 2 = 3) mais pas par 9.
- Un nombre divisible par 10 est divisible par 2 et par 5.
- Un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est divisible par 6.
Si la somme des chiffres est encore grande, on peut recommencer : pour 98 766, la somme vaut 9 + 8 + 7 + 6 + 6 = 36, puis 3 + 6 = 9 ; le nombre est donc divisible par 9.
Exemple
Le nombre 3 450 est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10 ?
Chiffre des unités : 0. Donc divisible par 2, par 5 et par 10.
Somme des chiffres : 3 + 4 + 5 + 0 = 12. 12 est divisible par 3 mais pas par 9.
Donc 3 450 est divisible par 3 mais pas par 9.
Deux derniers chiffres : 50. 50 n'est pas divisible par 4 (4 × 12 = 48, reste 2).
Donc 3 450 n'est pas divisible par 4.
Exemple
Le nombre 7 128 est-il divisible par 4 et par 9 ?
Deux derniers chiffres : 28 = 4 × 7. Donc 7 128 est divisible par 4 (7 128 = 4 × 1 782).
Somme des chiffres : 7 + 1 + 2 + 8 = 18, qui est divisible par 9.
Donc 7 128 est divisible par 9 (7 128 = 9 × 792).
Retour aux mangues : 126 se termine par 6, donc il n'est pas divisible par 5 (on obtient 25 sachets et il reste 1 mangue). La somme de ses chiffres vaut 9, donc il est divisible par 9 : 126 = 9 × 14.
3. Les nombres premiers
Tout nombre entier supérieur à 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Certains nombres n'en ont pas d'autres.
Définition. Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
- 15 n'est pas premier : il est divisible par 3 et par 5.
- 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur.
- 2 est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair est divisible par 2.
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
4. Reconnaître un nombre premier
Pour savoir si un nombre est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier essayé dépasse le nombre étudié.
Exemple
97 est-il premier ?
97 n'est pas divisible par 2 (il est impair), ni par 3 (9 + 7 = 16), ni par 5 (il se termine par 7).
Par 7 : 7 × 13 = 91 et 7 × 14 = 98, donc 97 n'est pas divisible par 7.
Nombre premier suivant : 11, et 11 × 11 = 121, qui dépasse 97 : on peut s'arrêter.
97 est un nombre premier.
Attention aux « faux premiers » : 91 = 7 × 13 et 51 = 3 × 17 ne sont pas premiers.
5. Décomposer en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur à 1 qui n'est pas premier peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).
- 1J'essaie de diviser le nombre par 2, autant de fois que possible.
- 2Je passe ensuite à 3, puis à 5, puis à 7, et ainsi de suite avec les nombres premiers.
- 3J'écris chaque division sur une ligne : le quotient devient le nouveau nombre à diviser.
- 4Je m'arrête quand le quotient vaut 1.
- 5J'écris le nombre comme le produit de tous les diviseurs premiers utilisés.
Exemple
Décomposer 180 en produit de facteurs premiers.
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 n'est pas pair ; 4 + 5 = 9, donc on divise par 3 : 45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Donc 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
Vérification : 4 × 9 × 5 = 36 × 5 = 180.
Méthode
Pour étudier la divisibilité d'un nombre :
- Je regarde le chiffre des unités (critères de 2, 5 et 10).
- Je regarde les deux derniers chiffres (critère de 4).
- Je calcule la somme des chiffres (critères de 3 et de 9).
- Pour savoir si un nombre est premier, je teste les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… jusqu'à ce que leur carré dépasse le nombre.
- Je justifie toujours ma réponse par une phrase qui cite le critère utilisé.
Cette décomposition te servira beaucoup en 9e pour trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres, et dès la leçon sur les fractions pour les simplifier.
3Je retiens
Je retiens
Divisible par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8. Par 5 : 0 ou 5. Par 10 : 0.
Divisible par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
Divisible par 3 (ou par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (ou par 9).
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est pas premier ; 2 est le seul premier pair.
Premiers inférieurs à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser le chiffre des unités pour le critère de 3 : 23 se termine par 3 mais n'est pas divisible par 3 (2 + 3 = 5). Pour 3 et 9, c'est la somme des chiffres qui compte.
- Croire que tous les nombres impairs sont premiers : 9, 15, 21, 51, 91 sont impairs mais pas premiers.
- Dire que 1 est premier : il n'a qu'un seul diviseur, il n'est donc pas premier.
- Pour le critère de 4, regarder seulement le dernier chiffre : 14 se termine par 4 mais n'est pas divisible par 4 ; il faut regarder les deux derniers chiffres.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète le tableau par « oui » ou « non ».
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 45 | |||||
| 72 | |||||
| 110 | |||||
| 135 | |||||
| 204 | |||||
| 1 002 |
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| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 45 | non | oui | oui | oui | non |
| 72 | oui | oui | non | oui | non |
| 110 | oui | non | oui | non | oui |
| 135 | non | oui | oui | oui | non |
| 204 | oui | oui | non | non | non |
| 1 002 | oui | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres : 45 → 9 ; 72 → 9 ; 110 → 2 ; 135 → 9 ; 204 → 6 ; 1 002 → 3.
2Exercice 2
On considère le nombre à trois chiffres 4 square 7, où square est un chiffre manquant.
a) Quelles valeurs peut prendre square pour que le nombre soit divisible par 3 ?
b) Quelle valeur faut-il pour qu'il soit divisible par 9 ?
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a) La somme des chiffres vaut 4 + square + 7 = 11 + square. Elle doit être un multiple de 3 : 12, 15 ou 18. Donc square vaut 1, 4 ou 7 (nombres 417, 447, 477).
b) La somme doit être un multiple de 9 : 11 + square = 18, donc square = 7. Le nombre est 477, et 477 = 9 × 53.
3Exercice 3
Dis si chacun de ces nombres est premier. Justifie.
51 ; 53 ; 87 ; 89 ; 119.
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- 51 : 5 + 1 = 6, divisible par 3 ; 51 = 3 × 17. Pas premier.
- 53 : pas divisible par 2, ni par 3 (5 + 3 = 8), ni par 5, ni par 7 (7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56). Et 11 × 11 = 121 > 53. Premier.
- 87 : 8 + 7 = 15, divisible par 3 ; 87 = 3 × 29. Pas premier.
- 89 : pas divisible par 2, ni par 3 (8 + 9 = 17), ni par 5, ni par 7 (7 × 12 = 84, 7 × 13 = 91). Et 11 × 11 = 121 > 89. Premier.
- 119 : pas divisible par 2, 3 (1 + 1 + 9 = 11) ou 5, mais 119 = 7 × 17. Pas premier.
4Exercice 4
Décompose en produit de facteurs premiers : 48 ; 150 ; 252.
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- 48 ÷ 2 = 24 ; 24 ÷ 2 = 12 ; 12 ÷ 2 = 6 ; 6 ÷ 2 = 3 ; 3 ÷ 3 = 1. Donc 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3.
- 150 ÷ 2 = 75 ; 75 ÷ 3 = 25 ; 25 ÷ 5 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1. Donc 150 = 2 × 3 × 5 × 5.
- 252 ÷ 2 = 126 ; 126 ÷ 2 = 63 ; 63 ÷ 3 = 21 ; 21 ÷ 3 = 7 ; 7 ÷ 7 = 1. Donc 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7.
5Exercice 5
(Problème) Fanta, responsable d'un groupement de femmes maraîchères à Labé, veut planter 312 pieds de tomates en rangées qui contiennent toutes le même nombre de pieds.
a) Peut-elle faire des rangées de 2, 3, 4, 5, 6 ou 9 pieds ? Justifie chaque réponse avec un critère.
b) Pour chaque cas possible, donne le nombre de rangées.
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a) et b)
- par 2 : oui, 312 se termine par 2 ; 312 ÷ 2 = 156 rangées.
- par 3 : oui, 3 + 1 + 2 = 6 ; 312 ÷ 3 = 104 rangées.
- par 4 : oui, 12 est divisible par 4 ; 312 ÷ 4 = 78 rangées.
- par 5 : non, 312 ne se termine ni par 0 ni par 5.
- par 6 : oui, 312 est divisible par 2 et par 3 ; 312 ÷ 6 = 52 rangées.
- par 9 : non, la somme des chiffres (6) n'est pas divisible par 9.
6Exercice 6
(Recherche) Trouve tous les nombres compris entre 100 et 130 qui sont divisibles à la fois par 2 et par 9. Explique ta démarche.
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Le nombre doit être pair et la somme de ses chiffres doit être un multiple de 9. Entre 100 et 130, les nombres dont la somme des chiffres est 9 sont 108, 117 et 126 (aucun n'atteint une somme de 18). Parmi eux, les pairs sont 108 et 126. Vérification : 108 = 18 × 6 et 126 = 18 × 7.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
