Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 33
Les fractions
Je sais ce que représente une fraction, je sais la placer sur une droite graduée, reconnaître des fractions égales et simplifier une fraction jusqu'à la rendre irréductible.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser une fraction pour exprimer un partage et un quotient
- Placer une fraction sur une droite graduée
- Écrire des fractions égales en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur
- Rendre une fraction irréductible
Avant de commencer : La division, les critères de divisibilité et la décomposition en facteurs premiers (leçon 2), les premières fractions vues en 7e.
1Je découvre
Pour le baptême de son petit frère, à Boké, Aïssatou a préparé un grand gâteau rond. Sa mère le coupe en 8 parts égales. Les voisines en mangent 3 parts.
« Quelle part du gâteau a été mangée ? » demande sa mère. Aïssatou répond : « Trois huitièmes, 38. »
Plus tard, sa tante coupe un gâteau identique en 4 parts égales seulement, et les invités en mangent 2. Aïssatou remarque : « Ils ont mangé la moitié du gâteau. Et chez nous, s'ils avaient mangé 4 parts sur 8, c'était aussi la moitié ! » Donc 24, 48 et 12 semblent représenter la même quantité.
Qu'est-ce qu'une fraction exactement, et comment savoir si deux fractions écrites différemment représentent le même nombre ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une fraction ?
Une fraction s'écrit ab, où a et b sont des nombres entiers et b n'est pas nul.
- a est le numérateur (il est au-dessus du trait) : il indique combien de parts on prend ;
- b est le dénominateur (il est en dessous) : il indique en combien de parts égales on partage l'unité.
On lit 38 « trois huitièmes », 12 « un demi », 13 « un tiers », 34 « trois quarts », 710 « sept dixièmes ».
Le dénominateur ne peut jamais être zéro : on ne peut pas partager une unité en zéro part.
2. Une fraction est un quotient
La fraction ab est aussi le quotient de a par b : c'est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
ab = a ÷ b et b × ab = a.
Exemples : 34 = 3 ÷ 4 = 0,75 ; 75 = 7 ÷ 5 = 1,4 ; 123 = 4.
Certaines fractions n'ont pas d'écriture décimale exacte : 13 = 0,333… (les 3 se répètent sans fin). La fraction est alors l'écriture la plus précise de ce nombre.
3. Fractions plus petites ou plus grandes que 1
- Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1 : 38 < 1.
- Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : 88 = 1.
- Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1 : 74 > 1.
Une fraction supérieure à 1 peut s'écrire comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 : 74 = 44 + 34 = 1 + 34 (en effet, 7 = 1 × 4 + 3).
4. Placer une fraction sur une droite graduée
Pour placer ab, on partage chaque unité en b parts égales, puis on compte a parts à partir de zéro.
5. Fractions égales
Propriété. On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k (avec k ≠ 0).
Exemples : 12 = 1 × 42 × 4 = 48 ; 23 = 1015 ; 35 = 60100 = 0,6.
C'est ce qu'avait remarqué Aïssatou : 48 = 24 = 12.
Exemple
Compléter : 3/7 = …/28 et 45/60 = 9/….
Pour passer de 7 à 28, on multiplie par 4 : 3/7 = (3 × 4)/(7 × 4) = 12/28.
Pour passer de 45 à 9, on divise par 5 : 45/60 = (45 ÷ 5)/(60 ÷ 5) = 9/12.
6. Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits, en les divisant par un diviseur commun.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : le seul diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1. Par exemple 34, 57, 29 sont irréductibles.
Les critères de divisibilité de la leçon 2 sont très utiles pour trouver des diviseurs communs.
Exemple
Rendre irréductible la fraction 36/48.
36 et 48 sont pairs : 36/48 = 18/24.
18 et 24 sont pairs : 18/24 = 9/12.
9 et 12 sont divisibles par 3 (sommes des chiffres 9 et 3) : 9/12 = 3/4.
3 et 4 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 : 3/4 est irréductible.
On pouvait aller plus vite en divisant directement par 12 : 36 ÷ 12 = 3 et 48 ÷ 12 = 4.
Exemple
Rendre irréductible 126/210 grâce aux facteurs premiers.
126 = 2 × 3 × 3 × 7 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
Facteurs communs : 2, 3 et 7, soit 2 × 3 × 7 = 42.
126/210 = (126 ÷ 42)/(210 ÷ 42) = 3/5.
Méthode
Pour rendre une fraction irréductible :
- Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (critères de 2, 3, 5, 9, 10…).
- Je divise le numérateur ET le dénominateur par ce nombre.
- Je recommence tant que c'est possible.
- Plus rapide : je décompose les deux nombres en facteurs premiers et je divise par le produit des facteurs communs.
- Je vérifie qu'il ne reste plus aucun diviseur commun autre que 1.
3Je retiens
Je retiens
Dans a/b (b ≠ 0) : a est le numérateur (parts prises), b le dénominateur (parts de l'unité).
a/b est le quotient de a par b : a/b = a ÷ b, et b × a/b = a.
a/b < 1 si a < b ; a/b = 1 si a = b ; a/b > 1 si a > b.
On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur n'ont que 1 comme diviseur commun.
4Erreurs fréquentes
- Ajouter le même nombre en haut et en bas : 2/3 n'est pas égal à (2 + 1)/(3 + 1) = 3/4. On multiplie ou on divise, on n'ajoute jamais.
- Ne diviser que le numérateur : 12/18 n'est pas égal à 6/18. Il faut diviser les deux : 12/18 = 6/9 = 2/3.
- S'arrêter trop tôt : 18/24 = 9/12 n'est pas irréductible, car 9 et 12 sont encore divisibles par 3 ; la forme irréductible est 3/4.
- Croire qu'un dénominateur plus grand donne toujours une fraction plus grande : 1/8 est plus petit que 1/2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un champ est partagé en 12 parcelles égales. Mamadou en a planté 5 en arachide et 4 en maïs ; le reste n'est pas encore planté.
a) Quelle fraction du champ est plantée en arachide ? en maïs ?
b) Quelle fraction du champ n'est pas plantée ?
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a) Arachide : 512 du champ. Maïs : 412, soit 13 après simplification par 4.
b) Parcelles plantées : 5 + 4 = 9 ; non plantées : 12 - 9 = 3. Fraction : 312 = 14.
2Exercice 2
Donne l'écriture décimale de chaque fraction.
34 ; 75 ; 920 ; 186.
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34 = 0,75 ; 75 = 1,4 ; 920 = 0,45 ; 186 = 3.
3Exercice 3
Complète les égalités.
a) 25 = …35
b) 56 = 20…
c) 2440 = …5
d) 79 = …45
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a) 5 × 7 = 35, donc 25 = 2 × 75 × 7 = 1435.
b) 5 × 4 = 20, donc 56 = 2024.
c) 40 ÷ 8 = 5, donc 2440 = 24 ÷ 840 ÷ 8 = 35.
d) 9 × 5 = 45, donc 79 = 3545.
4Exercice 4
Rends irréductibles les fractions suivantes.
1824 ; 3549 ; 6084 ; 150225.
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- 1824 : on divise par 6 : 34.
- 3549 : 35 = 5 × 7 et 49 = 7 × 7 ; on divise par 7 : 57.
- 6084 : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 et 84 = 2 × 2 × 3 × 7 ; on divise par 2 × 2 × 3 = 12 : 57.
- 150225 : 150 = 2 × 3 × 5 × 5 et 225 = 3 × 3 × 5 × 5 ; on divise par 3 × 5 × 5 = 75 : 23.
5Exercice 5
Trace une droite graduée de 0 à 2 où l'unité est partagée en 6 parts égales, et places-y les nombres 16, 23, 76 et 32.
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Chaque unité est partagée en 6 graduations.
16 : 1re graduation. 23 = 46 : 4e graduation. 76 : 7e graduation, juste après 1. 32 = 96 : 9e graduation, au milieu entre 1 et 2.
6Exercice 6
(Problème) Dans une classe de 8e d'un collège de Siguiri, il y a 40 élèves dont 24 filles.
a) Quelle fraction de la classe représentent les filles ? Rends-la irréductible.
b) Quelle fraction représentent les garçons ? Rends-la irréductible.
c) Vérifie que la somme de ces deux parts fait bien l'unité, en utilisant le dénominateur 40.
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a) Filles : 2440. On divise par 8 : 2440 = 35.
b) Garçons : 40 - 24 = 16, soit 1640. On divise par 8 : 25.
c) 2440 + 1640 = 4040 = 1 : les filles et les garçons forment bien toute la classe.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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