Karamö, le prof virtuelLeçon 30 sur 33
Symétries centrale et axiale : conservation des longueurs, des angles et des aires
Je sais construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou centrale et j'utilise le fait que ces symétries conservent les longueurs, les angles et les aires.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'un cercle par une symétrie axiale ou centrale
- Savoir que les symétries conservent les longueurs, l'alignement, les angles, les périmètres et les aires
- Savoir que la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle
- Utiliser ces propriétés pour calculer ou justifier
Avant de commencer : Médiatrice d'un segment, milieu d'un segment, repérage dans le plan, symétries vues en 7e.
1Je découvre
Hawa brode un pagne pour la fête de fin d'année à Faranah. Le motif est tracé sur la moitié gauche du tissu ; elle doit le reproduire à l'identique sur la moitié droite, « comme dans un miroir », par rapport au pli du milieu.
Sa tante lui montre un autre tissu où chaque motif a été reproduit « à l'envers », en faisant un demi-tour autour d'un point central : ce qui était en haut à gauche se retrouve en bas à droite.
Hawa se pose deux questions : quand on reproduit un motif ainsi, garde-t-il exactement les mêmes dimensions, les mêmes angles, la même surface ? Et comment placer chaque point avec précision, sans se tromper ?
Comment construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou centrale, et qu'est-ce qui est conservé ?
2Je comprends
1. La symétrie axiale (par rapport à une droite)
Définition. Soit (d) une droite. Le symétrique d'un point M par rapport à (d) est le point M' tel que (d) est la médiatrice du segment [MM']. Si M est sur (d), il est son propre symétrique.
Autrement dit : (MM') est perpendiculaire à (d), et M et M' sont à la même distance de (d), de part et d'autre.
C'est l'effet d'un pliage le long de (d), ou d'un miroir.
2. La symétrie centrale (par rapport à un point)
Définition. Soit O un point. Le symétrique d'un point M par rapport à O est le point M' tel que O est le milieu du segment [MM']. Le symétrique de O est O lui-même.
C'est l'effet d'un demi-tour (rotation de 180°) autour de O.
Dans un repère, avec O l'origine : le symétrique de M(x ; y) par rapport à O est M'(-x ; -y). Le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est (-x ; y) ; par rapport à l'axe des abscisses, (x ; -y).
3. Ce que les symétries conservent
Une symétrie (axiale ou centrale) ne déforme pas les figures : la figure image est superposable à la figure de départ. Plus précisément, une symétrie conserve :
- les longueurs : si A' et B' sont les symétriques de A et B, alors A'B' = AB ;
- l'alignement : trois points alignés ont des symétriques alignés ;
- les milieux : le symétrique du milieu de [AB] est le milieu de [A'B'] ;
- les angles : l'image d'un angle est un angle de même mesure ;
- les périmètres et les aires : une figure et son image ont le même périmètre et la même aire.
Conséquences sur les figures usuelles :
| Figure | Image par une symétrie |
|---|---|
| segment [AB] | segment [A'B'] de même longueur |
| droite (AB) | droite (A'B') |
| cercle de centre I et de rayon r | cercle de centre I' et de même rayon r |
| angle de 40° | angle de 40° |
| triangle rectangle | triangle rectangle superposable |
4. Une différence importante
- Par une symétrie centrale, l'image d'une droite est une droite parallèle : (A'B') // (AB).
- Par une symétrie axiale, ce n'est pas vrai en général : l'image d'une droite n'est parallèle à celle-ci que si la droite est parallèle ou perpendiculaire à l'axe.
Méthode
Construire le symétrique d'un polygone :
- Je construis le symétrique de chaque sommet, un par un.
Symétrie axiale : je trace la perpendiculaire à l'axe passant par le point, et je reporte la même distance de l'autre côté (au compas).
Symétrie centrale : je trace la demi-droite [MO) et je reporte OM' = OM au-delà de O.
- Je nomme les images avec un « prime » : A', B', C'.
- Je relie les images dans le même ordre que les points de départ.
- Je contrôle : les longueurs doivent être égales (A'B' = AB).
Exemple
ABC est un triangle avec AB = 5 cm, BC = 4 cm, AC = 3 cm et B̂ = 37° (mesure arrondie). A'B'C' est son symétrique par rapport à un point O. Donner les mesures de A'B'C'.
La symétrie centrale conserve les longueurs : A'B' = 5 cm, B'C' = 4 cm, A'C' = 3 cm.
Elle conserve les angles : B̂' = 37°.
Elle conserve les périmètres : 5 + 4 + 3 = 12 cm pour les deux triangles.
Exemple
Dans un repère d'origine O, on donne A(3 ; −2). Donner les coordonnées de ses symétriques par rapport à O, à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées.
Par rapport à O : on change les deux signes, A₁(−3 ; 2).
Par rapport à l'axe des abscisses : on change le signe de l'ordonnée, A₂(3 ; 2).
Par rapport à l'axe des ordonnées : on change le signe de l'abscisse, A₃(−3 ; −2).
Exemple
Un champ a la forme d'un rectangle de 40 m sur 25 m. On construit son symétrique par rapport à un de ses côtés. Quelle est l'aire totale de la figure formée ?
La symétrie conserve les aires : le rectangle image a aussi une aire de 40 × 25 = 1 000 m².
Les deux rectangles ont seulement un côté en commun : l'aire totale est 2 × 1 000 = 2 000 m².
5. Retour au pagne de Hawa
Le motif reproduit par pliage est l'image par une symétrie axiale ; celui reproduit par demi-tour, l'image par une symétrie centrale. Dans les deux cas, les longueurs, les angles et les aires sont conservés : les motifs ont exactement la même taille et la même forme. Pour les tracer, Hawa construit l'image de chaque point important, puis les relie.
3Je retiens
Je retiens
Symétrie axiale d'axe (d) : M' est le symétrique de M si (d) est la médiatrice de [MM'].
Symétrie centrale de centre O : M' est le symétrique de M si O est le milieu de [MM'].
Les symétries conservent les longueurs, l'alignement, les milieux, les angles, les périmètres et les aires.
L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Par une symétrie centrale, une droite a pour image une droite parallèle.
Dans un repère : symétrique de (x ; y) par rapport à O : (−x ; −y).
4Erreurs fréquentes
- Reporter la distance en biais : en symétrie axiale, on se déplace perpendiculairement à l'axe.
- Confondre les deux symétries : en symétrie centrale, O est le milieu de [MM'] ; il n'y a pas de pliage.
- Relier les images dans le désordre : l'image de ABC est A'B'C', dans le même ordre.
- Croire qu'une symétrie agrandit ou rétrécit une figure : elle conserve toutes les longueurs et toutes les aires.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète.
a) M' est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est … de [MM'].
b) M' est le symétrique de M par rapport à (d) signifie que (d) est … de [MM'].
c) L'image d'un segment de 6 cm par une symétrie est un segment de … .
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a) le milieu ; b) la médiatrice ; c) 6 cm.
2Exercice 2
Dans un repère, place A(2 ; 1), B(5 ; 1) et C(2 ; 4). Donne les coordonnées de A', B', C', symétriques de A, B, C par rapport à l'origine O, puis celles de leurs symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
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Par rapport à O, on change les deux signes : A'(−2 ; −1), B'(−5 ; −1), C'(−2 ; −4).
Par rapport à l'axe des ordonnées, on change le signe de l'abscisse : (−2 ; 1), (−5 ; 1), (−2 ; 4).
3Exercice 3
Un triangle DEF est rectangle en D avec DE = 6 cm et DF = 8 cm. On construit son symétrique D'E'F' par rapport à une droite (d).
a) Donne D'E', D'F' et la mesure de E'D'F'.
b) L'aire de DEF est 6 × 82 cm². Quelle est l'aire de D'E'F' ?
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a) La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles : D'E' = 6 cm, D'F' = 8 cm et E'D'F' = 90°.
b) Aire de DEF = 6 × 82 = 24 cm². La symétrie conserve les aires : l'aire de D'E'F' est aussi 24 cm².
4Exercice 4
Un cercle mathcalC a pour centre I et pour rayon 2,5 cm. Quelle est l'image de mathcalC par la symétrie de centre O ? Précise son centre et son rayon.
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L'image d'un cercle par une symétrie est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre. C'est le cercle de centre I' (symétrique de I par rapport à O) et de rayon 2,5 cm.
5Exercice 5
Vrai ou faux ? Justifie.
a) Par une symétrie centrale, l'image de la droite (AB) est parallèle à (AB).
b) Par une symétrie axiale, l'image d'une droite est toujours parallèle à cette droite.
c) Une symétrie peut changer la mesure d'un angle.
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a) Vrai : c'est une propriété de la symétrie centrale.
b) Faux : si la droite coupe l'axe en biais, son image la coupe aussi au même point, avec une autre direction ; les deux droites ne sont pas parallèles.
c) Faux : les symétries conservent les angles.
6Exercice 6
(Problème) ABCD est un carré de côté 4 cm et de centre O.
a) Quel est le symétrique de A par rapport à O ? Et celui de B ? Justifie.
b) Déduis-en l'image du carré ABCD par la symétrie de centre O.
c) Soit E le symétrique de A par rapport à la droite (BC). Démontre que B est le milieu de [AE], puis calcule AE.
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a) Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu O. O est le milieu de [AC] : le symétrique de A est C. O est le milieu de [BD] : le symétrique de B est D.
b) De même, le symétrique de C est A et celui de D est B. L'image du carré ABCD est le carré CDAB, c'est-à-dire le carré lui-même.
c) Dans le carré, (AB) est perpendiculaire à (BC). Le symétrique E de A par rapport à (BC) est donc sur la droite (AB), de l'autre côté de B, avec BE = BA = 4 cm. Les points A, B, E sont alignés, et BA = BE : B est le milieu de [AE]. Donc AE = 4 + 4 = 8 cm.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
