Karamö, le prof virtuelLeçon 32 sur 33
Prisme droit et cylindre : patron, aire latérale et volume
Je sais reconnaître un prisme droit et un cylindre, dessiner leur patron, et calculer leur aire latérale, leur aire totale et leur volume.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire un prisme droit et un cylindre de révolution (bases, faces latérales, hauteur)
- Dessiner le patron d'un prisme droit et d'un cylindre
- Calculer l'aire latérale et l'aire totale
- Calculer le volume avec la formule aire de la base × hauteur
Avant de commencer : Aires du rectangle, du triangle et du disque, périmètre d'un polygone et d'un cercle, pavé droit et cube (7e).
1Je découvre
Ibrahima aide son oncle, commerçant à Siguiri. Dans la boutique, il y a des bidons d'huile en forme de cylindre, des boîtes de sucre en forme de pavé et, sur le toit, un grand réservoir d'eau cylindrique. Dehors, une tente de marché a la forme d'un « toit » posé au sol : deux triangles aux extrémités et des pans de toile rectangulaires.
Son oncle veut repeindre le réservoir (sans le fond ni le couvercle) et se demande quelle surface il faudra couvrir de peinture. Il veut aussi savoir combien de litres d'eau le réservoir peut contenir.
Ibrahima connaît le volume d'un pavé droit : longueur × largeur × hauteur. Mais pour un cylindre, qui n'a pas de coins, ou pour la tente, dont les bases sont des triangles ?
Comment calculer l'aire et le volume d'un prisme droit et d'un cylindre ?
2Je comprends
1. Le prisme droit
Un prisme droit est un solide qui a :
- deux bases : deux polygones superposables, situés dans deux plans parallèles, l'un « au-dessus » de l'autre ;
- des faces latérales qui sont toutes des rectangles, perpendiculaires aux bases.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases ; c'est aussi la longueur de chaque arête latérale.
Le prisme porte le nom de sa base : prisme droit à base triangulaire (comme la tente), à base carrée, à base hexagonale… Le pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles ; le cube est un pavé droit particulier.
Un prisme dont la base a n côtés possède n faces latérales, donc n + 2 faces en tout.
2. Le cylindre de révolution
Un cylindre de révolution (ou cylindre droit) est un solide qui a :
- deux bases : deux disques de même rayon, dans des plans parallèles ;
- une surface latérale courbe, qui, une fois déroulée, est un rectangle.
On l'obtient en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés. Sa hauteur est la distance entre les deux bases.
3. Les patrons
Un patron est une figure plane qui, pliée (ou enroulée), permet de fabriquer le solide.
- Patron d'un prisme droit : les deux bases, et les faces latérales rectangulaires placées côte à côte. Ces rectangles forment ensemble un grand rectangle dont la longueur est le périmètre de la base et la largeur est la hauteur.
- Patron d'un cylindre : un rectangle dont une dimension est la hauteur h et l'autre est le périmètre du disque de base, 2π r ; et deux disques de rayon r.
4. Aire latérale et aire totale
L'aire latérale est l'aire des faces latérales (sans les bases). C'est l'aire du grand rectangle du patron :
mathcalAlatérale = périmètre de la base × h.
- Prisme droit : mathcalA_ell = Pbase × h.
- Cylindre : mathcalA_ell = 2π r × h.
L'aire totale ajoute les deux bases :
mathcalAtotale = mathcalAlatérale + 2 × mathcalAbase.
Pour le cylindre : mathcalAt = 2π r h + 2π r2.
5. Volume
Pour le pavé droit, V = L × ell × h, c'est-à-dire (aire de la base) × hauteur. Cette règle reste vraie pour tous les prismes droits et pour le cylindre :
V = mathcalAbase × h.
- Prisme droit : V = mathcalB × h (où mathcalB est l'aire de la base).
- Cylindre : V = π r2 × h.
Rappel utile : 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L.
- Bases : deux polygones superposables
- Faces latérales : des rectangles
- Aire latérale = périmètre de la base × h
- Volume = aire de la base × h
- Bases : deux disques de rayon r
- Surface latérale : un rectangle enroulé
- Aire latérale = 2πr × h
- Volume = πr² × h
Méthode
Pour calculer l'aire ou le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre :
- J'identifie la base (triangle, rectangle, disque…) et la hauteur du solide.
- Je calcule le périmètre de la base (pour l'aire latérale) ou l'aire de la base (pour le volume).
- Aire latérale = périmètre de la base × hauteur ; aire totale = aire latérale + 2 × aire de la base.
- Volume = aire de la base × hauteur.
- Je vérifie les unités : cm² pour une aire, cm³ pour un volume ; je convertis en litres si on me le demande.
Exemple
La tente du marché est un prisme droit à base triangulaire. Chaque triangle a une base de 1,6 m, une hauteur de 0,6 m et deux autres côtés de 1 m. La longueur de la tente (hauteur du prisme) est 2,5 m. Calculer le volume, l'aire latérale et l'aire totale.
Aire de la base : (1,6 × 0,6) ÷ 2 = 0,96 ÷ 2 = 0,48 m².
Volume : 0,48 × 2,5 = 1,2 m³.
Périmètre de la base : 1,6 + 1 + 1 = 3,6 m.
Aire latérale : 3,6 × 2,5 = 9 m².
Aire totale : 9 + 2 × 0,48 = 9 + 0,96 = 9,96 m².
Exemple
Le réservoir de l'oncle est un cylindre de rayon 0,5 m et de hauteur 1,2 m. Calculer l'aire à peindre (surface latérale seulement) et sa contenance en litres (π ≈ 3,14).
Aire latérale : 2 × 3,14 × 0,5 × 1,2 = 3,14 × 1,2 = 3,768 m², soit environ 3,77 m².
Volume : 3,14 × 0,5 × 0,5 × 1,2 = 3,14 × 0,25 × 1,2 = 3,14 × 0,3 = 0,942 m³.
0,942 m³ = 942 dm³ = 942 L.
Exemple
Une boîte de sucre est un pavé droit de 20 cm × 10 cm × 6 cm (hauteur 6 cm). Calculer son volume et son aire totale.
Volume : 20 × 10 × 6 = 1 200 cm³.
Aire de la base : 20 × 10 = 200 cm². Périmètre de la base : 2 × (20 + 10) = 60 cm.
Aire latérale : 60 × 6 = 360 cm². Aire totale : 360 + 2 × 200 = 760 cm².
3Je retiens
Je retiens
Prisme droit : deux bases polygonales superposables et parallèles, faces latérales rectangulaires.
Cylindre : deux bases qui sont des disques de rayon r, surface latérale qui se déroule en rectangle.
Patron du cylindre : un rectangle de dimensions 2πr et h, et deux disques de rayon r.
Aire latérale = périmètre de la base × hauteur (cylindre : 2πr × h).
Aire totale = aire latérale + 2 × aire de la base.
Volume = aire de la base × hauteur (cylindre : πr² × h).
1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L.
4Erreurs fréquentes
- Confondre la hauteur du triangle de base et la hauteur du prisme : ce sont deux longueurs différentes.
- Oublier les deux bases dans l'aire totale, ou n'en compter qu'une.
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans πr²h.
- Écrire un volume en m² ou une aire en m³ : aire en unités carrées, volume en unités cubes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un prisme droit a pour base un hexagone (6 côtés).
a) Combien a-t-il de faces latérales ? de faces en tout ?
b) Quelle est la forme de ses faces latérales ?
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a) Il a 6 faces latérales (une par côté de la base) et 6 + 2 = 8 faces en tout.
b) Ce sont des rectangles.
2Exercice 2
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, et l'hypoténuse 5 cm. Sa hauteur est 10 cm.
a) Calcule l'aire de la base.
b) Calcule le volume.
c) Calcule l'aire latérale et l'aire totale.
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a) mathcalB = 3 × 42 = 6 cm².
b) V = 6 × 10 = 60 cm³.
c) Périmètre de la base = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Aire latérale = 12 × 10 = 120 cm². Aire totale = 120 + 2 × 6 = 132 cm².
3Exercice 3
Un cylindre a un rayon de 2 cm et une hauteur de 5 cm (π ≈ 3,14).
a) Quelles sont les dimensions du rectangle de son patron ?
b) Calcule son aire latérale.
c) Calcule son volume.
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a) Le rectangle mesure h = 5 cm sur 2π r ≈ 2 × 3,14 × 2 = 12,56 cm.
b) Aire latérale ≈ 12,56 × 5 = 62,8 cm².
c) V ≈ 3,14 × 2 × 2 × 5 = 3,14 × 20 = 62,8 cm³.
4Exercice 4
Un bidon d'huile cylindrique a un diamètre de 20 cm et une hauteur de 30 cm. Calcule sa contenance en litres (π ≈ 3,14).
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Rayon = 20 ÷ 2 = 10 cm. V ≈ 3,14 × 10 × 10 × 30 = 3,14 × 3 000 = 9 420 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³, la contenance est d'environ 9,42 L.
5Exercice 5
Un prisme droit a un volume de 180 cm³ et une hauteur de 12 cm. Calcule l'aire de sa base.
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V = mathcalB × h, donc mathcalB = 18012 = 15 cm².
6Exercice 6
(Problème) Mariama fabrique des boîtes cylindriques en carton pour ranger des épices : rayon 3 cm, hauteur 8 cm (π ≈ 3,14).
a) Calcule l'aire de carton nécessaire pour une boîte fermée (aire totale).
b) Le carton coûte 2 GNF le cm². Quel est le prix du carton pour une boîte ? Arrondis au franc près.
c) Calcule le volume d'une boîte en cm³, puis en litres.
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a) Aire latérale ≈ 2 × 3,14 × 3 × 8 = 150,72 cm². Aire d'une base ≈ 3,14 × 3 × 3 = 28,26 cm². Aire totale ≈ 150,72 + 2 × 28,26 = 150,72 + 56,52 = 207,24 cm².
b) 207,24 × 2 = 414,48, soit environ 414 GNF.
c) V ≈ 28,26 × 8 = 226,08 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³, V ≈ 0,226 L (environ 0,23 L).
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6Je vérifie
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