Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 28
La multiplication des nombres relatifs
Je sais trouver le signe puis la valeur d'un produit de plusieurs nombres relatifs, et calculer astucieusement.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer la règle des signes pour un produit de deux nombres relatifs
- Trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs en comptant les facteurs négatifs
- Utiliser les propriétés de la multiplication (ordre, regroupement, distributivité) pour calculer vite
- Respecter les priorités opératoires dans un calcul avec des relatifs
Avant de commencer : La somme algébrique (leçon précédente) et les tables de multiplication.
1Je découvre
Ibrahima surveille le niveau d'un puits dans son village près de Kankan pendant la saison sèche. Chaque semaine, le niveau de l'eau baisse de 3 cm. Il note une baisse par un nombre négatif : -3 cm par semaine.
Sa sœur Kadiatou lui demande : « Dans 4 semaines, de combien le niveau aura-t-il changé ? » Ibrahima répond : 4 × (-3) = -12, donc une baisse de 12 cm. Cela paraît logique, car c'est (-3) + (-3) + (-3) + (-3).
Puis Kadiatou pose une question plus difficile : « Et il y a 4 semaines, le niveau était-il plus haut ou plus bas qu'aujourd'hui ? » Remonter dans le temps, c'est compter -4 semaines. Il faut donc calculer (-4) × (-3). Le niveau était plus haut, de 12 cm : le résultat doit être +12.
Pourquoi le produit de deux nombres négatifs est-il positif, et comment calculer n'importe quel produit de nombres relatifs ?
2Je comprends
1. Produit de deux nombres relatifs
Multiplier un nombre par un entier positif, c'est l'additionner plusieurs fois :
3 × (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15.
Observe cette suite de produits : chaque fois que le premier facteur baisse de 1, le résultat augmente de 5.
| Produit | 2 × (-5) | 1 × (-5) | 0 × (-5) | (-1) × (-5) | (-2) × (-5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Résultat | -10 | -5 | 0 | +5 | +10 |
Pour que la régularité continue, (-1) × (-5) doit valoir +5. C'est ce qui justifie la règle.
Règle des signes. Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro, et :
- si les deux nombres ont le même signe, le produit est positif ;
- si les deux nombres ont des signes contraires, le produit est négatif.
| × | + | - |
|---|---|---|
| + | + | - |
| - | - | + |
Exemples : (-6) × (-7) = 42 ; (-8) × 5 = -40 ; 9 × (-0,5) = -4,5 ; (-2,5) × (-4) = 10.
Cas particuliers.
- Un produit dont un facteur est nul est nul : (-13) × 0 = 0.
- Multiplier par 1 ne change rien ; multiplier par -1 donne l'opposé : (-1) × 7 = -7 et (-1) × (-7) = 7.
2. Produit de plusieurs nombres relatifs
On peut multiplier deux par deux, mais il existe une méthode plus rapide.
Règle. Un produit de facteurs non nuls est :
- positif s'il contient un nombre pair de facteurs négatifs (0, 2, 4…) ;
- négatif s'il contient un nombre impair de facteurs négatifs (1, 3, 5…).
En effet, les facteurs négatifs « se neutralisent » deux par deux : (-) × (-) = (+).
Méthode
Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs :
- Je vérifie s'il y a un facteur nul : si oui, le produit vaut 0.
- Je compte les facteurs négatifs : nombre pair → signe +, nombre impair → signe −.
- Je multiplie les distances à zéro, en les regroupant de façon astucieuse.
- J'écris le résultat avec le signe trouvé à l'étape 2.
- 1Y a-t-il un facteur nul ? Si oui, le produit vaut 0
- 2Compter les facteurs négatifs
- 3Nombre pair : produit positif. Nombre impair : produit négatif
- 4Multiplier les distances à zéro et écrire le signe devant
Exemple
Calculer P = (−2) × 5 × (−3) × (−1) × 4.
Pas de facteur nul.
Facteurs négatifs : −2, −3, −1, soit 3 facteurs. 3 est impair, donc P est négatif.
Distances à zéro : 2 × 5 × 3 × 1 × 4 = 10 × 12 = 120.
P = −120.
Exemple
Calculer Q = (−0,25) × (−7) × (−4) × (−2).
Facteurs négatifs : 4, nombre pair, donc Q est positif.
On regroupe astucieusement : 0,25 × 4 = 1, puis 1 × 7 × 2 = 14.
Q = 14.
3. Propriétés de la multiplication
Pour tous nombres relatifs a, b et k :
- Commutativité : a × b = b × a (on peut changer l'ordre).
- Associativité : (a × b) × c = a × (b × c) (on peut regrouper comme on veut).
- Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a - b) = k × a - k × b.
La distributivité permet des calculs mentaux rapides :
Exemple
Calculer R = (−8) × 102 sans calculatrice.
(−8) × 102 = (−8) × (100 + 2) = (−8) × 100 + (−8) × 2 = −800 − 16 = −816.
Exemple
Calculer S = (−7) × 13 + (−7) × 87.
Le facteur (−7) est commun : S = (−7) × (13 + 87) = (−7) × 100 = −700.
4. Priorités opératoires
Dans un calcul, on effectue dans cet ordre :
- les calculs entre parenthèses (les plus intérieures d'abord) ;
- les multiplications (et divisions) ;
- les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple
Calculer T = −3 + 4 × (−5) − (−2) × (−6).
Multiplications d'abord : 4 × (−5) = −20 et (−2) × (−6) = 12.
T = −3 + (−20) − 12 = −3 − 20 − 12 = −35.
5. Retour au puits d'Ibrahima
Le niveau change de -3 cm par semaine. Il y a 4 semaines correspond à -4 semaines :
(-4) × (-3) = +12. Il y a 4 semaines, l'eau était 12 cm plus haut qu'aujourd'hui. La règle des signes décrit bien la réalité.
3Je retiens
Je retiens
Produit de deux relatifs : on multiplie les distances à zéro ; même signe → +, signes contraires → −.
(+) × (+) = (+) ; (−) × (−) = (+) ; (+) × (−) = (−) ; (−) × (+) = (−).
Un produit est nul dès qu'un facteur est nul.
Plusieurs facteurs non nuls : nombre pair de facteurs négatifs → positif ; nombre impair → négatif.
Multiplier par −1 donne l'opposé.
Distributivité : k(a + b) = ka + kb. Priorités : parenthèses, puis multiplications, puis additions.
4Erreurs fréquentes
- Confondre les règles de l'addition et de la multiplication : (−4) + (−5) = −9, mais (−4) × (−5) = +20.
- Compter tous les facteurs au lieu des seuls facteurs négatifs pour trouver le signe.
- Oublier les priorités : dans −2 + 3 × (−4), on calcule d'abord 3 × (−4) = −12, puis −2 − 12 = −14 (et non 1 × (−4) = −4).
- Oublier que (−3)² = (−3) × (−3) = 9 est positif.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (-9) × 6 b) (-11) × (-4) c) 0,5 × (-18) d) (-1) × (-23) e) (-37) × 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Signes contraires : -54. b) Même signe : +44. c) -9. d) +23. e) 0 (un facteur est nul).
2Exercice 2
Donne le signe de chaque produit sans le calculer, puis calcule-le.
a) A = (-1) × (-2) × (-3) × (-4)
b) B = 5 × (-2) × (-10) × (-3)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 facteurs négatifs (pair) : A est positif. 1 × 2 × 3 × 4 = 24, donc A = 24.
b) 3 facteurs négatifs (impair) : B est négatif. 5 × 2 = 10, 10 × 10 = 100, 100 × 3 = 300, donc B = -300.
3Exercice 3
Calcule astucieusement.
a) C = (-25) × 17 × (-4)
b) D = (-6) × 99
c) E = 12 × (-45) + 12 × (-55)
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a) Deux facteurs négatifs : C est positif. 25 × 4 = 100, puis 100 × 17 = 1 700. C = 1 700.
b) D = (-6) × (100 - 1) = -600 + 6 = -594.
c) E = 12 × (-45 - 55) = 12 × (-100) = -1 200.
4Exercice 4
Calcule en respectant les priorités.
a) F = 7 - 3 × (-2)
b) G = (-4) × (5 - 9) + (-3) × 2
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a) 3 × (-2) = -6, donc F = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13.
b) 5 - 9 = -4 ; (-4) × (-4) = 16 ; (-3) × 2 = -6. G = 16 - 6 = 10.
5Exercice 5
(Problème) Dans une chambre froide de Conakry, la température baisse de 2 °C chaque heure après la mise en marche. On note t le nombre d'heures (négatif pour « avant maintenant »).
a) De combien la température aura-t-elle changé dans 5 heures ?
b) Il y a 3 heures, la température était-elle plus haute ou plus basse qu'à présent ? De combien ?
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La variation est de -2 °C par heure.
a) 5 × (-2) = -10 : la température aura baissé de 10 °C.
b) Il y a 3 heures correspond à t = -3 : (-3) × (-2) = +6. La température était 6 °C plus haute qu'à présent.
6Exercice 6
(Type examen) On donne x = -2 et y = 3.
Calcule x × y, x2, -x2, (x - y) × (x + y) et x2 - y2. Que remarques-tu pour les deux derniers ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
x × y = (-2) × 3 = -6.
x2 = (-2) × (-2) = 4.
-x2 = -(x2) = -4.
x - y = -2 - 3 = -5 et x + y = -2 + 3 = 1, donc (x - y)(x + y) = (-5) × 1 = -5.
x2 - y2 = 4 - 9 = -5.
On remarque que (x - y)(x + y) = x2 - y2 : c'est une identité remarquable que tu étudieras en calcul littéral.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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