Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 28
La valeur numérique d'une expression littérale
Je sais calculer la valeur d'une expression littérale en remplaçant les lettres par des nombres, même négatifs ou fractionnaires, et utiliser ce calcul pour tester une égalité.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Remplacer une lettre par sa valeur en rétablissant les signes × et les parenthèses
- Calculer la valeur numérique d'une expression avec des nombres relatifs, décimaux ou fractionnaires
- Utiliser une formule (géométrie, physique, vie courante)
- Remplir un tableau de valeurs
- Tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée
Avant de commencer : Les expressions littérales (leçon précédente), les opérations sur les relatifs et sur les fractions, les puissances et les priorités opératoires.
1Je découvre
Reprenons le moto-taxi d'Alpha à Nzérékoré. Le prix d'une course de d kilomètres est donné par l'expression P = 5 000 + 2 000d (en GNF).
Un client, Lansana, doit parcourir 8 km pour aller au marché. Alpha remplace d par 8 : P = 5 000 + 2 000 × 8 = 5 000 + 16 000 = 21 000 GNF.
Mais son apprenti se trompe : il lit 2 000d comme « 2 000 suivi de 8 », c'est-à-dire 20 008, et annonce un prix de 25 008 GNF ! Lansana éclate de rire.
Cette erreur est courante : quand on remplace une lettre par un nombre, il faut rétablir le signe × qui avait été supprimé. Et si la lettre vaut un nombre négatif ou une fraction, d'autres pièges apparaissent.
Comment calculer sans erreur la valeur d'une expression littérale pour une valeur donnée des lettres ?
2Je comprends
1. Définition
Calculer la valeur numérique d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par le nombre qu'on lui donne, puis effectuer le calcul en respectant les priorités opératoires.
Une même expression prend des valeurs différentes selon la valeur de la lettre. Par exemple, pour A = 3x + 2 :
- si x = 4 : A = 3 × 4 + 2 = 14 ;
- si x = -1 : A = 3 × (-1) + 2 = -1 ;
- si x = 0 : A = 3 × 0 + 2 = 2.
2. Les trois règles de la substitution
Règle 1 : rétablir le signe ×. Quand on remplace une lettre, on remet le signe × qui avait été sous-entendu : 5x pour x = 3 devient 5 × 3, et non 53.
Règle 2 : mettre entre parenthèses les nombres négatifs. Si x = -2, alors 4x devient 4 × (-2) et x2 devient (-2)2 = 4.
Règle 3 : respecter les priorités. Parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Méthode
Pour calculer la valeur numérique d'une expression :
- Je recopie l'expression en remplaçant chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative ou fractionnaire.
- Je rétablis tous les signes × sous-entendus.
- Je calcule les puissances.
- Je calcule les produits et les quotients.
- Je termine par les sommes et les différences, puis je simplifie le résultat.
- 1Remplacer chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative
- 2Rétablir les signes × sous-entendus
- 3Calculer les puissances
- 4Calculer les produits et les quotients
- 5Calculer les sommes et différences, puis simplifier
Exemple
Calculer B = 2x² − 5x + 3 pour x = −3.
B = 2 × (−3)² − 5 × (−3) + 3
Puissance : (−3)² = 9.
B = 2 × 9 − 5 × (−3) + 3
Produits : 2 × 9 = 18 et 5 × (−3) = −15.
B = 18 − (−15) + 3 = 18 + 15 + 3 = 36.
Exemple
Calculer C = 4a − 3b + ab pour a = 1/2 et b = −2/3.
C = 4 × 1/2 − 3 × (−2/3) + 1/2 × (−2/3)
4 × 1/2 = 2 ; 3 × (−2/3) = −2 ; 1/2 × (−2/3) = −2/6 = −1/3.
C = 2 − (−2) + (−1/3) = 2 + 2 − 1/3 = 4 − 1/3 = 12/3 − 1/3 = 11/3.
3. Le piège du signe « moins » et du carré
Fais très attention à la différence entre -x2 et (-x)2. Pour x = 5 :
- -x2 = -(52) = -25 ;
- (-x)2 = (-5)2 = 25.
Et pour x = -5 :
- x2 = (-5)2 = 25 ;
- -x2 = -((-5)2) = -25.
| Expression | x = 2 | x = -2 |
|---|---|---|
| x2 | 4 | 4 |
| -x2 | -4 | -4 |
| x3 | 8 | -8 |
| -x | -2 | 2 |
| 2x - 1 | 3 | -5 |
4. Utiliser une formule
Les formules sont des expressions littérales dont on calcule très souvent la valeur.
Exemple
L'aire d'un disque de rayon r est A = πr². Calculer l'aire d'un puits circulaire de 1,5 m de rayon, arrondie au dixième de m² (on prend π ≈ 3,14).
A = π × 1,5² ≈ 3,14 × 2,25 = 7,065.
L'aire est d'environ 7,1 m².
Exemple
Un objet lâché sans vitesse tombe d'une hauteur h = 5t² (h en mètres, t en secondes, valeur approchée). Quelle hauteur a-t-il parcourue après 2 s ? après 0,5 s ?
Pour t = 2 : h = 5 × 2² = 5 × 4 = 20 m.
Pour t = 0,5 : h = 5 × 0,5² = 5 × 0,25 = 1,25 m.
5. Tableau de valeurs
Pour étudier comment une expression varie, on calcule ses valeurs pour plusieurs valeurs de la lettre et on les range dans un tableau de valeurs.
Pour E = x2 - 2x :
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| E | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Détail pour x = -2 : (-2)2 - 2 × (-2) = 4 + 4 = 8.
6. Tester une égalité
Pour savoir si une égalité entre deux expressions est vraie pour une valeur donnée, on calcule séparément la valeur de chaque membre, puis on compare.
Exemple
L'égalité 3x − 4 = x + 6 est-elle vraie pour x = 5 ? pour x = 2 ?
Pour x = 5 : membre de gauche 3 × 5 − 4 = 11 ; membre de droite 5 + 6 = 11. Égalité vraie : 5 est une solution.
Pour x = 2 : gauche 3 × 2 − 4 = 2 ; droite 2 + 6 = 8. 2 ≠ 8 : égalité fausse.
Attention : une égalité peut être vraie pour une valeur sans l'être pour toutes. Pour montrer qu'une égalité est fausse en général, un seul contre-exemple suffit. Par exemple, (a + b)2 = a2 + b2 est fausse : pour a = 1 et b = 2, on a (1 + 2)2 = 9 mais 12 + 22 = 5.
3Je retiens
Je retiens
Valeur numérique : on remplace chaque lettre par sa valeur, puis on calcule en respectant les priorités.
On rétablit les signes × : 5x pour x = 3 donne 5 × 3 = 15.
On met les valeurs négatives entre parenthèses : pour x = −2, x² = (−2)² = 4.
−x² = −(x²) : pour x = 3, −x² = −9.
Pour tester une égalité, on calcule chaque membre séparément puis on compare.
Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une égalité n'est pas toujours vraie.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe × : pour x = 4, 3x vaut 3 × 4 = 12, pas 34.
- Oublier les parenthèses : pour x = −3, x² vaut (−3)² = 9, alors que −3² = −9.
- Calculer de gauche à droite sans respecter les priorités : pour x = 2, 1 + 3x² = 1 + 3 × 4 = 13, pas 4² = 16.
- Conclure qu'une égalité est toujours vraie parce qu'elle est vraie pour une seule valeur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule A = 7x - 4 pour x = 2, puis pour x = -3, puis pour x = 17.
Voir le corrigéCacher le corrigé
x = 2 : A = 7 × 2 - 4 = 14 - 4 = 10.
x = -3 : A = 7 × (-3) - 4 = -21 - 4 = -25.
x = 17 : A = 7 × 17 - 4 = 1 - 4 = -3.
2Exercice 2
Calcule B = x2 + 3x - 10 pour x = 0, x = 2 et x = -5. Que remarques-tu pour deux de ces valeurs ?
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x = 0 : B = 0 + 0 - 10 = -10.
x = 2 : B = 22 + 3 × 2 - 10 = 4 + 6 - 10 = 0.
x = -5 : B = (-5)2 + 3 × (-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0.
Pour x = 2 et x = -5, l'expression vaut 0 : ces deux nombres sont des solutions de l'équation x2 + 3x - 10 = 0.
3Exercice 3
On donne a = -2 et b = 3. Calcule :
C = a2 + b2 ; D = (a + b)2 ; E = -a2 + 2ab ; F = a - ba + b.
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C = (-2)2 + 32 = 4 + 9 = 13.
D = (-2 + 3)2 = 12 = 1.
E = -(-2)2 + 2 × (-2) × 3 = -4 - 12 = -16.
F = -2 - 3-2 + 3 = -51 = -5.
On remarque que C ≠ D : a2 + b2 et (a + b)2 ne sont pas égaux en général.
4Exercice 4
Complète le tableau de valeurs de G = 2x2 - x.
| x | -2 | -1 | 0 | 12 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| G |
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x = -2 : 2 × 4 - (-2) = 8 + 2 = 10.
x = -1 : 2 × 1 - (-1) = 2 + 1 = 3.
x = 0 : 0.
x = 12 : 2 × 14 - 12 = 12 - 12 = 0.
x = 1 : 2 - 1 = 1.
x = 2 : 2 × 4 - 2 = 6.
| x | -2 | -1 | 0 | 12 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| G | 10 | 3 | 0 | 0 | 1 | 6 |
5Exercice 5
(Type examen) On donne H = (2x - 1)2 - 9.
a) Calcule H pour x = 0, x = 2 et x = -1.
b) L'égalité (2x - 1)2 - 9 = 4x2 - 4x - 8 est-elle vraie pour x = 2 ? pour x = -1 ?
c) L'égalité (2x - 1)2 = 4x2 + 1 est-elle vraie pour toutes les valeurs de x ? Justifie.
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a) x = 0 : H = (0 - 1)2 - 9 = 1 - 9 = -8.
x = 2 : H = (4 - 1)2 - 9 = 9 - 9 = 0.
x = -1 : H = (-2 - 1)2 - 9 = (-3)2 - 9 = 9 - 9 = 0.
b) Pour x = 2 : membre de gauche 0 (calculé en a) ; membre de droite 4 × 4 - 4 × 2 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0. Égalité vraie.
Pour x = -1 : gauche 0 ; droite 4 × 1 - 4 × (-1) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0. Égalité vraie.
c) Essayons x = 1 : (2 × 1 - 1)2 = 1 et 4 × 1 + 1 = 5. 1 ≠ 5 : ce contre-exemple montre que l'égalité n'est pas vraie pour toutes les valeurs de x.
6Exercice 6
(Problème) Un grossiste de Kamsar livre du ciment. Le prix d'une livraison, en GNF, est donné par P = 90 000n + 150 000, où n est le nombre de sacs.
a) Calcule le prix d'une livraison de 20 sacs, puis de 45 sacs.
b) Mamadou a payé 1 500 000 GNF. Vérifie qu'il a acheté 15 sacs.
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a) n = 20 : P = 90 000 × 20 + 150 000 = 1 800 000 + 150 000 = 1 950 000 GNF.
n = 45 : P = 90 000 × 45 + 150 000 = 4 050 000 + 150 000 = 4 200 000 GNF.
b) n = 15 : P = 90 000 × 15 + 150 000 = 1 350 000 + 150 000 = 1 500 000 GNF. C'est bien le prix payé : Mamadou a acheté 15 sacs.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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