Karamö, le prof virtuelLeçon 27 sur 28
Distance d'un point à une droite et tangente à un cercle
Je sais trouver la distance d'un point à une droite, prévoir la position d'une droite par rapport à un cercle et construire la tangente à un cercle en un point.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la distance d'un point à une droite et justifier que c'est la plus courte distance
- Déterminer la position relative d'une droite et d'un cercle en comparant la distance au rayon
- Définir et construire la tangente à un cercle en un point
- Utiliser la tangente et le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs
Avant de commencer : La projection orthogonale (9e-maths-26), le cercle (centre, rayon, diamètre), le théorème de Pythagore (9e-maths-23).
1Je découvre
Ousmane habite une concession à l'écart de la route nationale, près de Kouroussa. Chaque matin, il marche jusqu'à la route pour attendre le car. Il se demande quel est le chemin le plus court : aller tout droit vers le grand manguier au bord de la route ? Ou vers la borne kilométrique un peu plus loin ? Sa sœur Hawa lui dit : « Le plus court, c'est d'arriver sur la route en faisant un angle droit avec elle. »
Plus tard, Ousmane regarde la roue de son vélo posée sur le goudron. La roue est un cercle, la route est une droite, et elles ne se touchent qu'en un seul point. Il remarque que le rayon qui va du moyeu jusqu'à ce point de contact est vertical, donc perpendiculaire à la route.
Ces deux observations sont liées.
Qu'appelle-t-on la distance d'un point à une droite, et comment savoir si une droite coupe un cercle, le touche en un seul point ou passe à côté ?
2Je comprends
1. La distance d'un point à une droite
Soit une droite (d), un point A, et H le projeté orthogonal de A sur (d).
Définition. La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH.
Propriété. H est le point de (d) le plus proche de A : pour tout autre point M de (d), on a AM > AH.
Pourquoi ? Si M est un point de (d) différent de H, le triangle AHM est rectangle en H, d'hypoténuse [AM]. D'après le théorème de Pythagore, AM2 = AH2 + HM2. Comme HM2 > 0, on a AM2 > AH2, donc AM > AH.
Hawa avait raison : le chemin le plus court vers la route est celui qui la rejoint perpendiculairement. Si A est sur (d), la distance de A à (d) est nulle.
Exemple
Le point A est à 3 cm de la droite (d) ; H est son projeté. M est un point de (d) tel que AM = 5 cm. Calculer HM.
Le triangle AHM est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AH² + HM², donc HM² = 25 − 9 = 16 et HM = 4 cm.
On vérifie bien que AM = 5 cm > AH = 3 cm.
2. Position d'une droite et d'un cercle
Soit un cercle mathcalC de centre O et de rayon r, une droite (d), et d la distance de O à (d). En comparant d et r, on connaît la position de la droite :
| Comparaison | Position | Nombre de points communs |
|---|---|---|
| d < r | la droite est sécante au cercle | 2 |
| d = r | la droite est tangente au cercle | 1 |
| d > r | la droite est extérieure au cercle | 0 |
Exemple
Un cercle a pour rayon 5 cm. Préciser la position d'une droite située à 4 cm, puis à 5 cm, puis à 6,5 cm du centre.
4 cm < 5 cm : la droite est sécante, elle coupe le cercle en deux points.
5 cm = 5 cm : la droite est tangente, elle touche le cercle en un seul point.
6,5 cm > 5 cm : la droite est extérieure, elle ne rencontre pas le cercle.
3. La tangente à un cercle en un point
Définition. Soit T un point d'un cercle de centre O. La tangente au cercle en T est la droite qui passe par T et qui est perpendiculaire au rayon [OT].
Elle ne touche le cercle qu'en T : en effet, la distance de O à cette droite est OT = r, c'est donc le cas d = r. Le point T s'appelle le point de contact.
Inversement, si une droite est tangente à un cercle en T, alors elle est perpendiculaire au rayon [OT]. C'est ce qu'avait vu Ousmane : la route, tangente à la roue, est perpendiculaire au rayon qui arrive au point de contact.
- 1Tracer le cercle de centre O et placer le point T sur le cercle.
- 2Tracer la droite (OT), qui porte le rayon [OT].
- 3Avec l'équerre, tracer la perpendiculaire à (OT) passant par T.
- 4Coder l'angle droit en T : cette droite est la tangente au cercle en T.
Exemple
Un triangle ABC est rectangle en A. On trace le cercle de centre C passant par A. Démontrer que la droite (AB) est tangente à ce cercle.
Le cercle a pour centre C et passe par A : [CA] est un rayon.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AB) ⊥ (CA) en A.
La droite (AB) passe par le point A du cercle et elle est perpendiculaire au rayon [CA] en A.
Donc (AB) est la tangente au cercle en A.
4. Tangente et théorème de Pythagore
Quand une tangente en T passe par un point A extérieur au cercle, le triangle OTA est rectangle en T. On peut alors utiliser le théorème de Pythagore.
Exemple
Un cercle de centre O a pour rayon 5 cm. Un point A est tel que OA = 13 cm. Une tangente issue de A touche le cercle en T. Calculer AT.
La tangente en T est perpendiculaire au rayon [OT] : le triangle OTA est rectangle en T, d'hypoténuse [OA].
D'après le théorème de Pythagore : OA² = OT² + AT², donc AT² = 169 − 25 = 144 et AT = 12 cm.
Méthode
Pour étudier une droite et un cercle :
- Je cherche la distance du centre O à la droite : je construis ou j'utilise le projeté orthogonal H de O sur la droite.
- Je compare OH au rayon r : plus petit (sécante), égal (tangente), plus grand (extérieure).
- Pour démontrer qu'une droite est tangente en T : je montre que T est sur le cercle ET que la droite est perpendiculaire à [OT] en T.
- Si une tangente est donnée, je code l'angle droit en T et j'utilise le triangle rectangle OTA.
3Je retiens
Je retiens
La distance d'un point A à une droite (d) est AH, où H est le projeté orthogonal de A sur (d) ; c'est la plus courte distance de A à un point de (d).
Cercle de centre O et de rayon r, droite à la distance d de O : d < r sécante (2 points), d = r tangente (1 point), d > r extérieure (0 point).
La tangente au cercle en T est la droite passant par T et perpendiculaire au rayon [OT].
Une tangente en T est toujours perpendiculaire au rayon [OT].
Si une tangente en T passe par A, le triangle OTA est rectangle en T : OA² = OT² + AT².
4Erreurs fréquentes
- Mesurer la distance d'un point à une droite en prenant un point quelconque de la droite : il faut prendre le pied de la perpendiculaire.
- Tracer une tangente « qui frôle » le cercle sans construire l'angle droit : la tangente se construit avec l'équerre, perpendiculairement au rayon.
- Comparer la distance au diamètre au lieu du rayon : un cercle de diamètre 10 cm a pour rayon 5 cm.
- Placer l'angle droit au mauvais sommet dans le triangle OTA : il est au point de contact T.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Le point A est à 6 cm de la droite (d) et H est son projeté orthogonal sur (d). M est un point de (d) tel que HM = 8 cm. Calcule AM et compare-la à la distance de A à (d).
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Le triangle AHM est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : AM2 = AH2 + HM2 = 36 + 64 = 100, donc AM = 10 cm.
La distance de A à (d) est AH = 6 cm, et AM = 10 cm > 6 cm : AM est bien plus longue que la distance du point à la droite.
2Exercice 2
Un cercle a pour centre O et pour rayon 6 cm. Trois droites (d1), (d2), (d3) sont respectivement à 4 cm, 6 cm et 7,5 cm de O. Donne la position de chaque droite par rapport au cercle et le nombre de points communs.
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(d1) : 4 cm < 6 cm, la droite est sécante ; 2 points communs.
(d2) : 6 cm = 6 cm, la droite est tangente ; 1 point commun.
(d3) : 7,5 cm > 6 cm, la droite est extérieure ; aucun point commun.
3Exercice 3
Trace un cercle de centre O et de rayon 2,5 cm, puis place un point T sur ce cercle.
a) Construis la tangente (Δ) au cercle en T et explique ta construction.
b) Place sur (Δ) un point P tel que TP = 6 cm. Calcule OP.
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a) On trace la droite (OT), puis, avec l'équerre, la perpendiculaire à (OT) passant par T. C'est la tangente (Δ) au cercle en T : elle passe par T et elle est perpendiculaire au rayon [OT]. On code l'angle droit.
b) (Δ) est perpendiculaire à [OT] en T, donc le triangle OTP est rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore : OP2 = OT2 + TP2 = 6,25 + 36 = 42,25, donc OP = √42,25 = 6,5 cm.
4Exercice 4
(Type examen) mathcalC est un cercle de centre O et de rayon 5 cm. A est un point tel que OA = 13 cm. La droite (AT) est tangente à mathcalC en T.
a) Quelle est la nature du triangle OTA ? Justifie.
b) Calcule AT.
c) Calcule l'aire du triangle OTA.
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a) La droite (AT) est tangente au cercle en T, donc elle est perpendiculaire au rayon [OT]. Le triangle OTA est rectangle en T.
b) D'après le théorème de Pythagore dans OTA rectangle en T : OA2 = OT2 + AT2, donc AT2 = 169 - 25 = 144 et AT = 12 cm.
c) Les côtés de l'angle droit sont [OT] et [AT] : aire = 5 × 122 = 30 cm².
5Exercice 5
(Problème) La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm et elle roule sur une route plate et droite.
a) Quelle est la distance du centre de la roue à la route ? Justifie.
b) Explique pourquoi la route est tangente à la roue.
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a) La roue touche la route en un point T, et le rayon [OT] qui arrive à ce point est perpendiculaire à la route (la roue est posée verticalement sur une route plate). T est donc le projeté orthogonal du centre O sur la route : la distance du centre à la route est OT = 35 cm, le rayon.
b) La distance du centre à la route est égale au rayon (d = r) : la route et la roue n'ont qu'un seul point commun. La route est donc tangente à la roue au point de contact.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
