Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 38
Suites arithmétiques
Je sais reconnaître une suite arithmétique, exprimer son terme général, étudier son sens de variation et calculer la somme de termes consécutifs.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et démontrer qu'une suite est arithmétique et trouver sa raison
- Exprimer le terme général u(n) en fonction de n ou d'un autre terme u(p)
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique
- Utiliser une suite arithmétique auxiliaire pour étudier une suite récurrente
Avant de commencer : Généralités sur les suites (leçon « Les suites ») ; raisonnement par récurrence ; résolution d'équations du premier degré.
1Je découvre
Aïssatou vient de commencer un petit commerce de pagnes à Labé. Pour se constituer une épargne, elle décide de mettre de côté 50 000 GNF le premier mois, puis 10 000 GNF de plus chaque mois que le mois précédent : 60 000 GNF le deuxième mois, 70 000 GNF le troisième, et ainsi de suite.
Elle se demande combien elle mettra de côté le douzième mois, et surtout quel sera le total de son épargne au bout d'un an. Elle pourrait additionner les douze montants un par un, mais si elle voulait prévoir sur cinq ans, cela ferait soixante additions.
On raconte qu'un jeune écolier, le futur grand mathématicien Carl Friedrich Gauss, aurait trouvé très vite la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 en remarquant que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98… donnent toujours 101. Cette astuce marche pour toutes les suites où l'on ajoute toujours le même nombre.
Comment reconnaître une suite où l'on ajoute toujours le même nombre, calculer n'importe lequel de ses termes et la somme de ses termes ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n :
un+1 = un + r.
Le réel r s'appelle la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours r.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule un+1 - un et on montre que le résultat est une constante (qui ne dépend pas de n). Cette constante est la raison.
Exemple
La suite définie par u(n) = 4 − 2n est-elle arithmétique ?
u(n+1) − u(n) = [4 − 2(n + 1)] − (4 − 2n) = 4 − 2n − 2 − 4 + 2n = −2.
La différence est constante : la suite est arithmétique de raison −2 et de premier terme u(0) = 4.
À l'inverse, la suite un = n2 n'est pas arithmétique : u1 - u0 = 1 mais u2 - u1 = 3.
2. Terme général
Si (un) est arithmétique de raison r, alors pour tous entiers n et p :
un = u0 + nr et plus généralement un = up + (n - p)r.
Si la suite commence au rang 1 : un = u1 + (n - 1)r.
On le démontre par récurrence : u0 = u0 + 0 × r ; et si un = u0 + nr, alors un+1 = un + r = u0 + (n + 1)r.
Les termes d'une suite arithmétique sont les valeurs d'une fonction affine x mapsto u0 + rx aux entiers : ses points sont alignés.
Exemple
Une suite arithmétique vérifie u(4) = 17 et u(9) = 32. Trouver r, u(0) et u(n).
u(9) = u(4) + (9 − 4)r, donc 32 = 17 + 5r, d'où 5r = 15 et r = 3.
u(0) = u(4) − 4r = 17 − 12 = 5.
Donc u(n) = 5 + 3n. Vérification : u(9) = 5 + 27 = 32.
3. Sens de variation
Une suite arithmétique de raison r est :
- strictement croissante si r > 0 ;
- strictement décroissante si r < 0 ;
- constante si r = 0.
En effet, un+1 - un = r a toujours le signe de r.
Il en découle que si r > 0, un tend vers +∞ ; si r < 0, un tend vers -∞ (tu le justifieras dans la leçon « Limite d'une suite »).
4. Trois termes consécutifs
Trois nombres a, b, c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si :
2b = a + c soit b = a + c2.
Le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres. Dans un problème, on note souvent ces trois termes b - r, b, b + r : les calculs sont plus simples.
5. Somme de termes consécutifs
Somme des premiers entiers. Pour tout entier n ≥ 1 :
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2.
Idée de la preuve : on écrit la somme S dans les deux sens et on additionne terme à terme. Chaque paire donne n + 1, et il y a n paires : 2S = n(n + 1).
Somme de termes d'une suite arithmétique. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2.
Par exemple, u0 + u1 + … + un = (n + 1) × u0 + un2.
Le nombre de termes de up à un est n - p + 1 (et non n - p).
Méthode
Pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :
- Je vérifie que la suite est arithmétique et je note sa raison r.
- J'identifie le premier et le dernier terme de la somme.
- Je compte les termes : de u(p) à u(n), il y en a n − p + 1 ; pour des nombres en progression, (dernier − premier)/r + 1.
- J'applique S = nombre de termes × (premier + dernier)/2 et je vérifie l'ordre de grandeur.
Exemple
Calculer S = 1 + 2 + … + 100, puis T = u(0) + u(1) + … + u(10) pour u(n) = 5 + 3n.
S = 100 × 101/2 = 5 050.
Pour T : u(0) = 5, u(10) = 5 + 30 = 35 et il y a 10 − 0 + 1 = 11 termes.
T = 11 × (5 + 35)/2 = 11 × 20 = 220.
Exemple
Retour à l'épargne d'Aïssatou.
Le montant du mois n est u(n), avec u(1) = 50 000 et une raison r = 10 000 (en GNF).
Douzième mois : u(12) = u(1) + 11r = 50 000 + 110 000 = 160 000 GNF.
Total sur 12 mois : S = 12 × (50 000 + 160 000)/2 = 12 × 105 000 = 1 260 000 GNF.
6. Utiliser une suite auxiliaire
Dans les sujets de BAC, on étudie souvent une suite récurrente compliquée (un) à l'aide d'une suite auxiliaire (vn) qui, elle, est arithmétique (ou géométrique). On montre que vn+1 - vn est constante, on écrit vn en fonction de n, puis on revient à un. L'exercice 6 en donne un exemple.
3Je retiens
Je retiens
(u(n)) arithmétique de raison r : u(n+1) = u(n) + r pour tout n. Preuve : u(n+1) − u(n) est une constante.
Terme général : u(n) = u(0) + nr ; u(n) = u(p) + (n − p)r ; u(n) = u(1) + (n − 1)r.
Variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
a, b, c consécutifs : 2b = a + c.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier + dernier)/2 ; de u(p) à u(n) : n − p + 1 termes.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper dans le nombre de termes : de u(0) à u(n), il y a n + 1 termes, pas n.
- Utiliser u(n) = u(0) + nr alors que la suite commence au rang 1 : il faut u(n) = u(1) + (n − 1)r.
- Conclure qu'une suite est arithmétique en vérifiant seulement u(1) − u(0) = u(2) − u(1) : il faut montrer que u(n+1) − u(n) est constante pour tout n.
- Appliquer la formule de la somme à une suite qui n'est pas arithmétique (par exemple 1 + 4 + 9 + 16).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit (un) arithmétique de premier terme u0 = -3 et de raison 4.
a) Calcule u1, u2 et u20.
b) Exprime un en fonction de n.
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a) u1 = -3 + 4 = 1 ; u2 = 5 ; u20 = -3 + 20 × 4 = 77.
b) un = u0 + nr = -3 + 4n.
2Exercice 2
Une suite arithmétique vérifie u5 = 12 et u12 = 33.
a) Calcule la raison r et le premier terme u0.
b) Quel est le rang du terme égal à 90 ?
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a) u12 = u5 + 7r, donc 33 = 12 + 7r, 7r = 21, r = 3. Puis u0 = u5 - 5r = 12 - 15 = -3.
b) un = -3 + 3n. un = 90 ⇔ 3n = 93 ⇔ n = 31. C'est le terme de rang 31.
3Exercice 3
Montre que la suite définie par vn = 2n + 53 est arithmétique. Précise sa raison et son premier terme.
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vn+1 - vn = 2(n + 1) + 53 - 2n + 53 = 2n + 7 - 2n - 53 = 23.
La différence est constante : (vn) est arithmétique de raison 23 et de premier terme v0 = 53.
4Exercice 4
Trois nombres sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Leur somme vaut 27 et leur produit vaut 693. Trouve ces trois nombres.
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On note les nombres b - r, b, b + r.
Somme : 3b = 27, donc b = 9.
Produit : (9 - r) × 9 × (9 + r) = 693, donc 81 - r2 = 77, r2 = 4, r = 2 ou r = -2.
Dans les deux cas, les nombres sont 7, 9 et 11. Vérification : 7 + 9 + 11 = 27 et 7 × 9 × 11 = 693.
5Exercice 5
Calcule la somme S = 7 + 11 + 15 + … + 203.
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On passe d'un terme au suivant en ajoutant 4 : ce sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 4.
Nombre de termes : 203 - 74 + 1 = 49 + 1 = 50.
S = 50 × 7 + 2032 = 50 × 105 = 5 250.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit (un) définie par u0 = 1 et un+1 = un1 + un. On admet que un > 0 pour tout n et on pose vn = 1un.
a) Calcule u1 et u2.
b) Montre que (vn) est arithmétique ; précise sa raison et son premier terme.
c) Exprime vn, puis un, en fonction de n.
d) Calcule Sn = v0 + v1 + … + vn en fonction de n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 11 + 1 = 12 ; u2 = 1/21 + 1/2 = 1/23/2 = 13.
b) vn+1 = 1un+1 = 1 + unun = 1un + 1 = vn + 1.
Donc (vn) est arithmétique de raison 1 et de premier terme v0 = 1u0 = 1.
c) vn = 1 + n, donc un = 1vn = 1n + 1. Vérification : u2 = 13.
d) Il y a n + 1 termes, de v0 = 1 à vn = n + 1 :
Sn = (n + 1) × 1 + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)2.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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