Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 41
Limite d'une suite
Je sais déterminer si une suite converge ou diverge, calculer sa limite (opérations, comparaison, suites géométriques) et trouver la limite d'une suite récurrente monotone et bornée.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une suite convergente ou divergente et calculer une limite avec les règles d'opérations
- Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Connaître la limite de qⁿ selon la valeur de q et la limite d'une somme géométrique
- Utiliser le théorème de convergence monotone et trouver la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n))
Avant de commencer : Les limites de fonctions ; les suites, le raisonnement par récurrence, les suites arithmétiques et géométriques (leçons précédentes).
1Je découvre
Hawa verse un seau d'eau dans un fût vide au bord du champ familial à Siguiri. Le premier seau remplit la moitié du fût. Pour ne pas le faire déborder, elle décide de verser chaque fois la moitié de ce qu'elle a versé la fois précédente : 12 du fût, puis 14, puis 18…
Après n versements, la quantité d'eau dans le fût est Sn = 12 + 14 + … + 12n. Elle augmente toujours, mais le fût ne déborde jamais : il manque toujours un tout petit peu d'eau, exactement 12n du fût. Quand n devient très grand, ce manque devient minuscule : la quantité d'eau se rapproche du fût plein, c'est-à-dire de 1.
On dit que la suite (Sn) converge vers 1. D'autres suites, comme le capital placé à intérêts composés, grandissent sans limite : elles divergent.
Comment savoir si une suite se rapproche d'un nombre, et comment calculer ce nombre ?
2Je comprends
1. Suite convergente, suite divergente
On dit que la suite (un) converge vers le réel ell si tout intervalle ouvert contenant ell contient tous les termes un à partir d'un certain rang. On note limn → +∞ un = ell. Cette limite, si elle existe, est unique.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Elle peut :
- tendre vers +∞ ou -∞ (exemple : un = n2) ;
- n'avoir aucune limite (exemple : un = (-1)n, qui vaut alternativement 1 et -1).
2. Limites de référence et opérations
limn → +∞ n = +∞ ; lim n2 = +∞ ; lim √n = +∞ ; lim 1n = 0 ; lim 1n2 = 0 ; lim 1√n = 0.
Les règles d'opérations (somme, produit, quotient) et les formes indéterminées sont exactement les mêmes que pour les fonctions. En particulier, pour une fraction rationnelle en n, on garde le quotient des termes de plus haut degré.
Suite du type un = f(n). Si limx → +∞ f(x) = ell, alors limn → +∞ un = ell.
Exemple
Calculer la limite de u(n) = (3n² + 1)/(n² + 2) et de v(n) = √(n + 1) − √n.
u(n) : on garde les termes de plus haut degré, 3n²/n² = 3. Donc lim u(n) = 3.
v(n) : forme ∞ − ∞. Avec la quantité conjuguée : v(n) = [(n + 1) − n]/[√(n + 1) + √n] = 1/[√(n + 1) + √n].
Le dénominateur tend vers +∞, donc lim v(n) = 0.
3. Théorèmes de comparaison
- Théorème des gendarmes. Si vn ≤ un ≤ wn à partir d'un certain rang et si (vn) et (wn) convergent vers la même limite ell, alors (un) converge vers ell.
- Comparaison. Si un ≥ vn à partir d'un certain rang et lim vn = +∞, alors lim un = +∞. Si un ≤ wn et lim wn = -∞, alors lim un = -∞.
Exemple
Calculer la limite de u(n) = (−1)ⁿ/n pour n ≥ 1.
Pour tout n ≥ 1 : −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, donc −1/n ≤ u(n) ≤ 1/n.
Les suites −1/n et 1/n tendent vers 0. D'après le théorème des gendarmes, lim u(n) = 0.
4. Limite d'une suite géométrique
Théorème. Soit q un réel.
| Valeur de q | Limite de qn |
|---|---|
| q > 1 | +∞ |
| q = 1 | 1 |
| -1 < q < 1 | 0 |
| q ≤ -1 | pas de limite |
Pour q > 1, on le démontre avec l'inégalité de Bernoulli : en posant q = 1 + a avec a > 0, on montre par récurrence que (1 + a)n ≥ 1 + na ; comme 1 + na tend vers +∞, qn aussi (théorème de comparaison).
Conséquence pour les sommes. Si -1 < q < 1 :
limn → +∞ (1 + q + q2 + … + qn) = lim 1 - qn+11 - q = 11 - q.
Exemple
Retour au fût de Hawa, puis limite de w(n) = 2ⁿ − 3ⁿ.
S(n) = 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ = (1/2) × [1 − (1/2)ⁿ]/(1 − 1/2) = 1 − (1/2)ⁿ.
Comme −1 < 1/2 < 1, (1/2)ⁿ tend vers 0, donc lim S(n) = 1.
w(n) : forme ∞ − ∞. On factorise par le terme dominant 3ⁿ : w(n) = 3ⁿ[(2/3)ⁿ − 1].
(2/3)ⁿ tend vers 0, donc le crochet tend vers −1, et 3ⁿ tend vers +∞. Donc lim w(n) = −∞.
5. Suites monotones et bornées
Théorème de convergence monotone.
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Une suite croissante non majorée tend vers +∞ ; une suite décroissante non minorée tend vers -∞.
Attention : ce théorème dit que la limite existe, mais ne donne pas sa valeur. Si (un) est croissante et majorée par M, sa limite ell vérifie seulement ell ≤ M.
6. Limite d'une suite récurrente un+1 = f(un)
Théorème du point fixe. Si (un) converge vers ell et si f est continue en ell, alors ell vérifie f(ell) = ell.
Méthode
Pour trouver la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n)) :
- Je montre par récurrence que la suite est bornée (par exemple a ≤ u(n) ≤ b).
- Je montre qu'elle est monotone (signe de u(n+1) − u(n), souvent par récurrence).
- Je conclus avec le théorème de convergence monotone : elle converge vers un réel ℓ.
- Comme f est continue, ℓ est solution de f(ℓ) = ℓ. Je résous cette équation.
- Je choisis la bonne solution grâce à l'encadrement (ℓ est entre a et b).
Exemple
Soit u(0) = 0 et u(n+1) = √(u(n) + 2). Dans la leçon « Les suites », on a montré que 0 ≤ u(n) ≤ u(n+1) ≤ 2.
La suite est croissante et majorée par 2 : elle converge vers un réel ℓ avec 0 ≤ ℓ ≤ 2.
f(x) = √(x + 2) est continue sur [0 ; 2], donc ℓ = √(ℓ + 2).
En élevant au carré : ℓ² = ℓ + 2, soit ℓ² − ℓ − 2 = 0, soit (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0.
ℓ = 2 ou ℓ = −1. Comme ℓ ≥ 0, on retient ℓ = 2 : lim u(n) = 2.
- 1Borner la suite par récurrence : a ≤ u(n) ≤ b.
- 2Étudier la monotonie : signe de u(n+1) − u(n).
- 3Conclure à la convergence (croissante majorée ou décroissante minorée).
- 4Résoudre f(ℓ) = ℓ, avec f continue.
- 5Garder la solution qui respecte l'encadrement.
3Je retiens
Je retiens
Convergente : u(n) tend vers un réel ℓ (unique). Divergente : tend vers ±∞ ou n'a pas de limite.
Mêmes règles d'opérations et mêmes formes indéterminées que pour les fonctions ; si u(n) = f(n), lim u(n) = lim f(x) en +∞.
Gendarmes : v(n) ≤ u(n) ≤ w(n) et lim v(n) = lim w(n) = ℓ donnent lim u(n) = ℓ.
qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si −1 < q < 1, vaut 1 si q = 1, n'a pas de limite si q ≤ −1.
Si −1 < q < 1 : 1 + q + … + qⁿ tend vers 1/(1 − q).
Croissante et majorée, ou décroissante et minorée : convergente.
u(n+1) = f(u(n)) convergente vers ℓ et f continue en ℓ : f(ℓ) = ℓ.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'une suite croissante tend forcément vers +∞ : u(n) = 1 − 1/n est croissante mais converge vers 1.
- Croire qu'une suite majorée par 2 converge vers 2 : le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.
- Résoudre f(ℓ) = ℓ sans avoir prouvé la convergence : l'équation peut avoir des solutions alors que la suite diverge.
- Dire que (−2)ⁿ tend vers +∞ ou −∞ : pour q ≤ −1, les termes changent de signe et il n'y a pas de limite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la limite de chaque suite.
a) un = 2n - 5n + 3
b) vn = n2 - 5n
c) wn = 1 - 4n22n + 1
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a) Termes de plus haut degré : 2nn = 2. lim un = 2.
b) Forme ∞ - ∞ ; on factorise : vn = n(n - 5), produit de deux termes qui tendent vers +∞. lim vn = +∞.
c) 1 - 4n2 = (1 - 2n)(1 + 2n), donc wn = 1 - 2n et lim wn = -∞.
2Exercice 2
Soit un = n + sin n2n pour n ≥ 1. Encadre un, puis détermine sa limite.
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-1 ≤ sin n ≤ 1, donc n - 12n ≤ un ≤ n + 12n.
Les deux suites qui encadrent tendent vers 12 (termes de plus haut degré). Par le théorème des gendarmes, lim un = 12.
3Exercice 3
Détermine la limite de chaque suite.
a) an = 0,7n
b) bn = 5n4n
c) cn = 3n + 2n3n
d) dn = (-0,5)n
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a) -1 < 0,7 < 1 : lim an = 0.
b) bn = (54)n = 1,25n avec 1,25 > 1 : lim bn = +∞.
c) cn = 1 + (23)n et (23)n → 0 : lim cn = 1.
d) -1 < -0,5 < 1 : lim dn = 0.
4Exercice 4
Soit un = n2 + (-1)n n. Montre que un ≥ n2 - n pour tout n, et déduis-en la limite de (un).
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(-1)n ≥ -1, donc (-1)n n ≥ -n (car n ≥ 0), et un ≥ n2 - n = n(n - 1).
Or n(n - 1) → +∞. Par comparaison, lim un = +∞.
5Exercice 5
Calcule Sn = 1 + 13 + 19 + … + (13)n en fonction de n, puis sa limite.
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Somme de n + 1 termes d'une suite géométrique de raison 13, de premier terme 1 :
Sn = 1 - (13)n+11 - 13 = 32[1 - (13)n+1].
Comme (13)n+1 → 0, lim Sn = 32.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit u0 = 1 et un+1 = √2un + 3. On admet (leçon « Les suites ») que (un) est croissante et que 1 ≤ un < 3 pour tout n.
a) Justifie que (un) converge, puis détermine sa limite ell.
b) Montre que 3 - un+1 = 2(3 - un)3 + √2un + 3, puis que 3 - un+1 ≤ 12(3 - un).
c) Déduis-en que 0 < 3 - un ≤ 2(12)n et retrouve la limite de (un).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La suite est croissante et majorée par 3 : elle converge vers un réel ell avec 1 ≤ ell ≤ 3. La fonction f(x) = √2x + 3 est continue sur [1 ; 3], donc ell = √2ell + 3, d'où ell2 - 2ell - 3 = 0, soit (ell - 3)(ell + 1) = 0. Comme ell ≥ 1, ell = 3.
b) En multipliant par la quantité conjuguée :
3 - √2un + 3 = 9 - (2un + 3)3 + √2un + 3 = 6 - 2un3 + √2un + 3 = 2(3 - un)3 + √2un + 3.
Comme un ≥ 1, √2un + 3 ≥ √5 > 1, donc 3 + √2un + 3 > 4. Et 3 - un > 0. Donc 3 - un+1 ≤ 2(3 - un)4 = 12(3 - un).
c) Par récurrence : pour n = 0, 3 - u0 = 2 = 2(12)0. Si 3 - un ≤ 2(12)n, alors 3 - un+1 ≤ 12 × 2(12)n = 2(12)n+1. Et 3 - un > 0 car un < 3.
Comme 2(12)n → 0, le théorème des gendarmes donne lim (3 - un) = 0, donc lim un = 3.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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