Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 41
Les intégrales
Je sais calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ou d'une intégration par parties, utiliser ses propriétés et l'interpréter comme une aire ou une valeur moyenne.
- 2 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'intégrale d'une fonction continue et la calculer avec une primitive
- Utiliser les propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité, comparaison, inégalité de la moyenne
- Interpréter une intégrale comme une aire et calculer l'aire entre deux courbes et une valeur moyenne
- Calculer une intégrale par intégration par parties
Avant de commencer : Les primitives (leçon précédente) ; étude du signe d'une fonction ; valeurs remarquables de sin et cos.
1Je découvre
Le père de Fatoumata possède un champ de riz dans une plaine près de Kankan. Le champ est bordé d'un côté par une piste droite et, de l'autre, par un marigot dont la berge fait une courbe. Pour acheter la bonne quantité de semences, il doit connaître la surface du champ.
Pour un rectangle ou un triangle, c'est facile. Mais avec un bord courbe ? Fatoumata a une idée : découper le champ en bandes très fines, parallèles, presque rectangulaires. Chaque bande a une aire proche de « largeur × hauteur ». En additionnant toutes les bandes, on obtient une valeur approchée de l'aire. Plus les bandes sont fines, plus le résultat est précis.
Les mathématiciens ont montré que la valeur exacte de cette aire s'obtient grâce aux primitives étudiées dans la leçon précédente. Ce nombre s'appelle une intégrale. Il sert aussi à calculer des distances à partir d'une vitesse, des valeurs moyennes, des volumes ou le travail d'une force en physique.
Qu'est-ce qu'une intégrale, comment la calculer, et comment s'en servir pour mesurer une aire ?
2Je comprends
1. Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I, et F une primitive de f sur I. L'intégrale de a à b de f est le nombre :
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]ab.
Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : avec F + k, on obtient (F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) - F(a). La variable x est « muette » : ∫ab f(x) dx = ∫ab f(t) dt.
Conséquences immédiates : ∫aa f(x) dx = 0 et ∫ba f(x) dx = -∫ab f(x) dx.
Exemple
Calculer I = ∫ de 0 à 2 de (3x² − 2x + 1) dx et J = ∫ de 0 à π/2 de cos x dx.
Une primitive de 3x² − 2x + 1 est x³ − x² + x.
I = [x³ − x² + x] de 0 à 2 = (8 − 4 + 2) − 0 = 6.
J = [sin x] de 0 à π/2 = sin(π/2) − sin 0 = 1 − 0 = 1.
Fonction définie par une intégrale. Si f est continue sur I et a ∈ I, la fonction x mapsto ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a. Ce résultat sera utilisé pour définir le logarithme népérien.
2. Interprétation : une aire
Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités.
Si f est continue et positive sur [a ; b] (avec a < b), ∫ab f(x) dx est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.
Si f est négative sur [a ; b], cette aire vaut -∫ab f(x) dx.
Aire entre deux courbes. Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites x = a et x = b vaut :
mathcalA = ∫ab (f(x) - g(x)) dx u.a.
Exemple
Aire entre la droite y = x et la parabole y = x² sur [0 ; 1].
Sur [0 ; 1], x − x² = x(1 − x) ≥ 0 : la droite est au-dessus de la parabole.
A = ∫ de 0 à 1 de (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] de 0 à 1 = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.
Si l'unité graphique est 3 cm sur chaque axe, 1 u.a. = 9 cm² et A = 9/6 = 1,5 cm².
3. Propriétés de l'intégrale
Soient f et g continues sur I, a, b, c dans I et λ un réel.
- Linéarité : ∫ab (f + g) = ∫ab f + ∫ab g et ∫ab λ f = λ ∫ab f.
- Relation de Chasles : ∫ac f + ∫cb f = ∫ab f.
- Positivité : si a ≤ b et f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ab f ≥ 0.
- Comparaison : si a ≤ b et f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ab f ≤ ∫ab g.
- Inégalité de la moyenne : si a ≤ b et m ≤ f ≤ M sur [a ; b], alors m(b - a) ≤ ∫ab f ≤ M(b - a).
La relation de Chasles sert en particulier pour les fonctions définies par morceaux ou avec une valeur absolue.
Exemple
Calculer ∫ de −1 à 2 de |x| dx.
Sur [−1 ; 0], |x| = −x ; sur [0 ; 2], |x| = x. Par la relation de Chasles :
∫ de −1 à 0 de (−x) dx + ∫ de 0 à 2 de x dx = [−x²/2] de −1 à 0 + [x²/2] de 0 à 2 = (0 + 1/2) + (2 − 0) = 5/2.
4. Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a ; b] (avec a < b) est le nombre :
µ = 1b - a∫ab f(x) dx.
C'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe. Exemple : la valeur moyenne de x2 sur [0 ; 3] est 13[x33]03 = 13 × 9 = 3.
5. Intégration par parties
Quand on doit intégrer un produit dont on ne connaît pas de primitive directe (par exemple xsin x), on utilise la formule d'intégration par parties (IPP). Si u et v sont dérivables à dérivées continues sur [a ; b] :
∫ab u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]ab - ∫ab u'(x)v(x) dx.
Elle vient de la dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv', donc uv' = (uv)' - u'v, et on intègre.
Méthode
Pour calculer une intégrale par parties :
- Je repère un produit et je choisis u (qui devient plus simple en dérivant, souvent le polynôme) et v' (dont je connais une primitive).
- J'écris u, u', v', v dans un petit tableau.
- J'applique la formule : [uv] de a à b moins ∫ de a à b de u'v.
- Je calcule le crochet, puis la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple.
Exemple
Calculer K = ∫ de 0 à π de x sin x dx.
On pose u(x) = x, u'(x) = 1 ; v'(x) = sin x, v(x) = −cos x.
K = [−x cos x] de 0 à π − ∫ de 0 à π de (−cos x) dx = (−π cos π + 0) + [sin x] de 0 à π.
Or cos π = −1, donc −π cos π = π ; et [sin x] de 0 à π = 0 − 0 = 0.
K = π.
3Je retiens
Je retiens
∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
f ≥ 0 sur [a ; b] : l'intégrale est l'aire sous la courbe (en u.a.). f ≥ g : aire entre les courbes = ∫ (f − g).
Chasles : ∫ de a à c + ∫ de c à b = ∫ de a à b. Linéarité, positivité, comparaison.
Inégalité de la moyenne : m ≤ f ≤ M sur [a ; b] donne m(b − a) ≤ ∫ f ≤ M(b − a).
Valeur moyenne : μ = (1/(b − a)) × ∫ de a à b de f(x) dx.
IPP : ∫ u v' = [u v] − ∫ u' v.
x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
4Erreurs fréquentes
- Calculer F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a) : on écrit toujours « valeur en haut moins valeur en bas ».
- Donner une aire négative : si f est négative, l'aire est l'opposé de l'intégrale ; si f change de signe, on découpe avec Chasles.
- Oublier de convertir l'aire en cm² quand l'énoncé donne l'unité graphique : 1 u.a. = (unité en x) × (unité en y).
- Dans une IPP, mal choisir u : avec u = sin x et v' = x, l'intégrale devient plus compliquée.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule les intégrales suivantes.
a) ∫13 (2x + 1) dx
b) ∫14 1√x dx
c) ∫0π sin x dx
d) ∫12 1x2 dx
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a) [x2 + x]13 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10.
b) [2√x]14 = 2 × 2 - 2 × 1 = 2.
c) [-cos x]0π = -cosπ + cos 0 = 1 + 1 = 2.
d) [-1x]12 = -12 + 1 = 12.
2Exercice 2
Calcule I = ∫01 x(x2 + 1)3 dx.
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Avec u = x2 + 1, u' = 2x : x(x2 + 1)3 = 12u'u3, de primitive (x2 + 1)48.
I = [(x2 + 1)48]01 = 248 - 18 = 16 - 18 = 158.
3Exercice 3
Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, calcule l'aire du domaine compris entre la parabole y = 4 - x2 et l'axe des abscisses.
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4 - x2 = 0 ⇔ x = -2 ou x = 2, et 4 - x2 ≥ 0 sur [-2 ; 2].
mathcalA = ∫-22 (4 - x2) dx = [4x - x33]-22 = (8 - 83) - (-8 + 83) = 16 - 163 = 323 u.a.
L'unité d'aire vaut 1 cm², donc mathcalA = 323 ≈ 10,67 cm².
4Exercice 4
Calcule la valeur moyenne de f(x) = sin x sur [0 ; π]. Donne une valeur approchée à 10-2.
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µ = 1π - 0∫0π sin x dx = 1π × 2 = 2π ≈ 0,64.
5Exercice 5
À l'aide d'une intégration par parties, calcule J = ∫0π/2 xcos x dx.
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On pose u = x, u' = 1 ; v' = cos x, v = sin x.
J = [xsin x]0π/2 - ∫0π/2 sin x dx = π2 × 1 - 0 - [-cos x]0π/2 = π2 - (0 + 1) = π2 - 1.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x + 1x2 et mathcalC sa courbe dans un repère orthonormé d'unité 2 cm. On note D la droite d'équation y = x.
a) Montre que D est asymptote à mathcalC en +∞ et que mathcalC est au-dessus de D.
b) Pour a > 1, calcule en u.a. l'aire mathcalA(a) du domaine compris entre mathcalC, D et les droites x = 1 et x = a.
c) Calcule mathcalA(4) en cm², puis la limite de mathcalA(a) quand a tend vers +∞.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f(x) - x = 1x2, qui tend vers 0 en +∞ : D est asymptote à mathcalC. Et 1x2 > 0, donc mathcalC est au-dessus de D.
b) Comme f(x) - x ≥ 0 sur [1 ; a] :
mathcalA(a) = ∫1a 1x2 dx = [-1x]1a = 1 - 1a u.a.
c) mathcalA(4) = 1 - 14 = 34 u.a. Une unité d'aire vaut 2 × 2 = 4 cm², donc mathcalA(4) = 3 cm².
Quand a → +∞, 1a → 0, donc mathcalA(a) → 1 u.a. : le domaine, pourtant infini en longueur, a une aire finie de 4 cm².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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