Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 38
Nombres complexes : forme trigonométrique
Je sais calculer le module et un argument d'un nombre complexe, l'écrire sous forme trigonométrique et utiliser cette forme pour calculer produits, quotients et puissances.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer un argument d'un nombre complexe non nul
- Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
- Utiliser les propriétés du module et de l'argument d'un produit, d'un quotient et d'une puissance
- En déduire des valeurs exactes de cosinus et de sinus
Avant de commencer : Nombres complexes sous forme algébrique (module, conjugué, plan complexe) ; cercle trigonométrique, valeurs remarquables de cos et sin, formules d'addition cos(a + b) et sin(a + b).
1Je découvre
Ibrahima, stagiaire dans une équipe de topographes qui travaille près d'un site minier de la région de Boké, doit repérer une borne à partir de leur tente. Son chef lui donne deux façons de la décrire.
Première façon : « Marche 3 km vers l'est, puis 3 km vers le nord. » Ce sont des coordonnées cartésiennes, comme la forme algébrique z = 3 + 3i.
Deuxième façon : « Tourne-toi de 45° à partir de l'est vers le nord, puis marche tout droit environ 4,24 km. » On donne cette fois une distance et un angle. Les deux descriptions désignent le même point.
Ibrahima remarque que la deuxième est plus pratique quand on doit tourner : si la borne suivante est « 30° plus loin dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, à la même distance », il suffit d'ajouter les angles. Avec les coordonnées, le calcul serait bien plus long.
Comment décrire un nombre complexe par une longueur et un angle, et pourquoi cette écriture simplifie-t-elle les produits et les puissances ?
2Je comprends
1. Module et argument d'un nombre complexe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u, v). Soit z = a + ib un nombre complexe non nul et M son point image.
- Tu sais déjà que le module de z est la distance OM : |z| = r = √a2 + b2.
- On appelle argument de z toute mesure, en radians, de l'angle orienté (u, overrightarrowOM). On le note arg(z).
Un angle orienté a une infinité de mesures qui diffèrent d'un multiple de 2π. On écrit donc arg(z) = θ [2π] (lire « modulo 2π »). La mesure qui se trouve dans ]-π ; π] s'appelle l'argument principal.
Le nombre 0 n'a pas d'argument : le point O ne définit aucune direction.
2. Relations entre forme algébrique, module et argument
Dans le triangle OHM rectangle en H (et plus généralement sur le cercle de centre O et de rayon r), si θ est un argument de z :
a = rcosθ b = rsinθ donc cosθ = ar, sinθ = br.
On a alors z = a + ib = rcosθ + i rsinθ, ce qui donne la définition suivante.
Définition. Tout nombre complexe non nul s'écrit
z = r(cosθ + isinθ) avec r = |z| > 0 et θ = arg(z) [2π].
C'est la forme trigonométrique de z.
Égalité de deux formes trigonométriques. r(cosθ + isinθ) = r'(cosθ' + isinθ') (avec r > 0 et r' > 0) si et seulement si r = r' et θ = θ' [2π].
Cas particuliers à connaître (avec k > 0) :
| Nombre | Module | Argument |
|---|---|---|
| k (réel positif) | k | 0 |
| -k (réel négatif) | k | π |
| ki (imaginaire pur, partie positive) | k | π2 |
| -ki | k | -π2 |
Pour trouver θ, tu t'appuies sur le tableau des valeurs remarquables :
| θ | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cosθ | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| sinθ | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
Le signe de cosθ et de sinθ indique le quadrant : par exemple cosθ < 0 et sinθ > 0 place θ entre π2 et π.
Méthode
Pour écrire z = a + ib (non nul) sous forme trigonométrique :
- Je calcule le module r = √(a² + b²).
- Je calcule cos θ = a/r et sin θ = b/r (je simplifie les fractions).
- Je reconnais un angle remarquable, en tenant compte des signes (quadrant).
- J'écris z = r(cos θ + i sin θ) et je vérifie que r > 0.
Exemple
Écrire z = 1 + i√3 sous forme trigonométrique.
r = √(1² + (√3)²) = √4 = 2.
cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2 : les deux sont positifs, on reconnaît θ = π/3.
z = 2(cos π/3 + i sin π/3).
Exemple
Écrire z = −2 + 2i sous forme trigonométrique.
r = √(4 + 4) = √8 = 2√2.
cos θ = −2/(2√2) = −1/√2 = −√2/2 et sin θ = 2/(2√2) = √2/2.
Cosinus négatif, sinus positif : θ est dans le deuxième quadrant, θ = π − π/4 = 3π/4.
z = 2√2 (cos 3π/4 + i sin 3π/4).
Passage inverse. Pour revenir à la forme algébrique, on remplace cosθ et sinθ par leurs valeurs et on développe. Par exemple 4(cos5π6 + isin5π6) = 4(-√32 + 12i) = -2√3 + 2i.
3. Attention aux « fausses » formes trigonométriques
Une écriture n'est une forme trigonométrique que si elle est exactement du type r(cosθ + isinθ) avec r > 0, le même angle dans le cosinus et le sinus, et un signe « + » devant i.
Exemple
Écrire sous forme trigonométrique z₁ = −3(cos π/5 + i sin π/5) et z₂ = 5(cos π/3 − i sin π/3).
z₁ : le facteur −3 est négatif. Comme −1 = cos π + i sin π, on ajoute π à l'angle :
cos(θ + π) = −cos θ et sin(θ + π) = −sin θ, donc
z₁ = 3(cos(π/5 + π) + i sin(π/5 + π)) = 3(cos 6π/5 + i sin 6π/5).
z₂ : le signe devant i est « − ». On utilise cos(−θ) = cos θ et sin(−θ) = −sin θ :
z₂ = 5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)). Module 5, argument −π/3.
4. Module et argument d'un produit et d'un quotient
Soit z = r(cosθ + isinθ) et z' = r'(cosθ' + isinθ'). Développons :
zz' = rr'[(cosθcosθ' - sinθsinθ') + i(sinθcosθ' + cosθsinθ')].
Grâce aux formules d'addition, cosθcosθ' - sinθsinθ' = cos(θ + θ') et sinθcosθ' + cosθsinθ' = sin(θ + θ'). Donc :
zz' = rr'(cos(θ + θ') + isin(θ + θ')).
Quand on multiplie deux complexes, on multiplie les modules et on additionne les arguments. On en déduit (pour z et z' non nuls, n entier) :
| Opération | Module | Argument (modulo 2π) |
|---|---|---|
| zz' | lvert zrvert lvert z'rvert | arg z + arg z' |
| zn | lvert zrvertn | narg z |
| 1z | 1lvert zrvert | -arg z |
| zz' | lvert zrvertlvert z'rvert | arg z - arg z' |
| z | lvert zrvert | -arg z |
| -z | lvert zrvert | arg z + π |
La règle pour zn avec r = 1 donne la formule de Moivre : (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ). Tu l'utiliseras beaucoup dans la leçon suivante.
Exemple
Calculer (1 + i)⁸.
1 + i a pour module √2 et pour argument π/4 (cos θ = sin θ = √2/2).
(1 + i)⁸ a pour module (√2)⁸ = 2⁴ = 16 et pour argument 8 × π/4 = 2π, c'est-à-dire 0 modulo 2π.
Donc (1 + i)⁸ = 16(cos 0 + i sin 0) = 16.
Contrôle : (1 + i)² = 2i, puis (2i)⁴ = 16 i⁴ = 16.
5. Une application classique au BAC : des valeurs exactes
En calculant un même nombre de deux façons (forme algébrique et forme trigonométrique), puis en identifiant, on obtient des valeurs exactes de cosinus et de sinus d'angles non remarquables.
Exemple
On pose z₁ = 1 + i√3 et z₂ = 1 − i. Calculer z₁z₂ de deux façons et en déduire cos(π/12).
Forme algébrique : z₁z₂ = 1 − i + i√3 − i²√3 = (1 + √3) + i(√3 − 1).
Forme trigonométrique : z₁ = 2(cos π/3 + i sin π/3) et z₂ = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4)).
Donc z₁z₂ = 2√2 (cos(π/3 − π/4) + i sin(π/3 − π/4)) = 2√2 (cos π/12 + i sin π/12).
On identifie les parties réelles : 2√2 cos(π/12) = 1 + √3,
d'où cos(π/12) = (1 + √3)/(2√2) = (√2 + √6)/4 (on a multiplié en haut et en bas par √2).
De même, sin(π/12) = (√3 − 1)/(2√2) = (√6 − √2)/4.
3Je retiens
Je retiens
Pour z ≠ 0 d'image M : |z| = OM = r et arg(z) = (u ; OM) [2π]. Le nombre 0 n'a pas d'argument.
a = r cos θ, b = r sin θ ; cos θ = a/r, sin θ = b/r.
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0.
Deux formes trigonométriques sont égales ⇔ mêmes modules et arguments égaux modulo 2π.
|zz'| = |z||z'| et arg(zz') = arg z + arg z' ; arg(zⁿ) = n arg z ; arg(1/z) = −arg z ; arg(z/z') = arg z − arg z'.
arg(z̄) = −arg z ; arg(−z) = arg z + π.
Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ.
4Erreurs fréquentes
- Garder un module négatif : −2(cos θ + i sin θ) n'est pas une forme trigonométrique ; on écrit 2(cos(θ + π) + i sin(θ + π)).
- Se tromper de quadrant : cos θ = −√2/2 et sin θ = −√2/2 donnent θ = −3π/4 (et non π/4 ni 3π/4). Regarde toujours les deux signes.
- Calculer θ avec la seule tangente b/a : 1 + i et −1 − i ont la même valeur b/a = 1 mais des arguments différents (π/4 et −3π/4).
- Additionner les modules d'un produit : |zz'| = |z| × |z'|, on multiplie les modules et on additionne seulement les arguments.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne le module et un argument de chaque nombre.
a) z1 = √3 + i b) z2 = -1 - i c) z3 = 5i d) z4 = -4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |z1| = √3 + 1 = 2 ; cosθ = √32, sinθ = 12, donc arg z1 = π6 [2π].
b) |z2| = √1 + 1 = √2 ; cosθ = sinθ = -1√2 = -√22 (troisième quadrant), donc arg z2 = -3π4 [2π].
c) |z3| = 5 ; z3 est imaginaire pur de partie imaginaire positive : arg z3 = π2 [2π].
d) |z4| = 4 ; z4 est réel négatif : arg z4 = π [2π].
2Exercice 2
Écris sous forme algébrique.
a) 4(cos2π3 + isin2π3) b) √2(cos(-π4) + isin(-π4))
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4(-12 + i√32) = -2 + 2√3 i.
b) √2(√22 - i√22) = 1 - i.
3Exercice 3
Ces écritures ne sont pas des formes trigonométriques. Corrige-les.
a) -3(cosπ7 + isinπ7) b) 2(cosπ8 - isinπ8)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -3 = 3(cosπ + isinπ), donc on ajoute π : 3(cos8π7 + isin8π7). On peut aussi prendre l'argument principal 8π7 - 2π = -6π7.
b) cosπ8 = cos(-π8) et -sinπ8 = sin(-π8), donc 2(cos(-π8) + isin(-π8)).
4Exercice 4
On pose z1 = 1 + i et z2 = √3 - i.
a) Écris z1 et z2 sous forme trigonométrique.
b) Déduis-en le module et un argument de z1z2, de z1z2 et de z14.
c) Vérifie le résultat pour z14 par un calcul algébrique.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |z1| = √2, cosθ = sinθ = √22 : z1 = √2(cosπ4 + isinπ4).
|z2| = √3 + 1 = 2, cosθ = √32, sinθ = -12 : z2 = 2(cos(-π6) + isin(-π6)).
b) |z1z2| = 2√2 et arg(z1z2) = π4 - π6 = π12 [2π].
|z1z2| = √22 et argz1z2 = π4 + π6 = 5π12 [2π].
|z14| = (√2)4 = 4 et arg(z14) = 4 × π4 = π [2π], donc z14 = -4.
c) (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i, puis (1 + i)4 = (2i)2 = 4i2 = -4. Les deux calculs concordent.
5Exercice 5
(Type BAC) On pose Z = 1 + i√31 + i.
a) Écris Z sous forme algébrique.
b) Écris 1 + i√3 et 1 + i sous forme trigonométrique, puis déduis-en la forme trigonométrique de Z.
c) En déduire les valeurs exactes de cosπ12 et sinπ12.
d) Calcule Z12.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On multiplie par le conjugué du dénominateur :
Z = (1 + i√3)(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 1 - i + i√3 + √32 = 1 + √32 + i √3 - 12.
b) 1 + i√3 = 2(cosπ3 + isinπ3) et 1 + i = √2(cosπ4 + isinπ4).
|Z| = 2√2 = √2 et arg Z = π3 - π4 = π12. Donc Z = √2(cosπ12 + isinπ12).
c) Par unicité de la forme algébrique : √2cosπ12 = 1 + √32 et √2sinπ12 = √3 - 12.
Donc cosπ12 = 1 + √32√2 = √2 + √64 et sinπ12 = √3 - 12√2 = √6 - √24.
d) |Z12| = (√2)12 = 26 = 64 et arg(Z12) = 12 × π12 = π. Donc Z12 = 64(cosπ + isinπ) = -64.
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6Je vérifie
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