Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 41
Nombres complexes et résolution d'équations
Je sais résoudre dans ℂ les équations du premier et du second degré, calculer les racines carrées d'un nombre complexe et factoriser un polynôme dont je connais une racine.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre des équations du premier degré, y compris avec z et son conjugué
- Calculer les racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique
- Résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes
- Factoriser un polynôme de degré 3 connaissant une racine, et résoudre z^n = a (en plus pour SM)
Avant de commencer : Forme algébrique, conjugué, module ; forme trigonométrique et exponentielle ; équation du second degré dans ℝ (discriminant, somme et produit des racines).
1Je découvre
En classe de 11e, Lansana a appris que l'équation x2 + 2x + 5 = 0 n'a pas de solution : son discriminant Δ = 4 - 20 = -16 est négatif, et aucune racine carrée réelle de -16 n'existe.
Mais depuis qu'il connaît le nombre i, il remarque que (4i)2 = 16i2 = -16. Le nombre -16 a donc des « racines carrées » dans mathbbC : 4i et -4i. Il essaie la formule habituelle avec 4i à la place de √Δ :
x = -2 + 4i2 = -1 + 2i.
Il vérifie : (-1 + 2i)2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) - 2 + 4i + 5 = 0. Ça marche !
Son professeur, à Kankan, lui pose alors un défi : « Et si les coefficients de l'équation sont eux-mêmes complexes, par exemple z2 - (1 + i)z + 2 - i = 0 ? Il faudra une racine carrée de -8 + 6i ! »
Comment résoudre dans mathbbC les équations du premier et du second degré, et comment trouver la racine carrée d'un nombre complexe ?
2Je comprends
1. Équations du premier degré
Une équation az = b (avec a ≠ 0) se résout comme dans ℝ : z = ba, puis on écrit le quotient sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur.
Quand l'équation contient à la fois z et z, on ne peut pas « isoler z ». On pose alors z = x + iy (avec x, y réels), on remplace, et on identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation 2z + i z̄ = 3 − 3i.
On pose z = x + iy, donc z̄ = x − iy.
2z + i z̄ = 2x + 2iy + ix − i²y = (2x + y) + i(x + 2y).
Par identification : 2x + y = 3 et x + 2y = −3.
De la première, y = 3 − 2x ; dans la seconde : x + 6 − 4x = −3, donc x = 3 et y = −3.
S = {3 − 3i}. Vérification : 2(3 − 3i) + i(3 + 3i) = 6 − 6i + 3i − 3 = 3 − 3i. Juste.
2. Racines carrées d'un nombre complexe
On appelle racine carrée du complexe Z tout complexe δ tel que δ2 = Z. Tout complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées : δ et -δ.
Cas d'un réel. Si a > 0, ses racines carrées sont √a et -√a. Si a < 0, ce sont i√-a et -i√-a. Par exemple, les racines carrées de -16 sont 4i et -4i.
Cas général : méthode algébrique. On cherche δ = x + iy tel que δ2 = a + ib. Comme δ2 = x2 - y2 + 2ixy et |δ|2 = |Z| :
begincases x2 - y2 = a
x2 + y2 = √a2 + b2
2xy = b endcases
Les deux premières équations donnent x2 et y2 ; la troisième donne le signe du produit xy (donc si x et y ont le même signe ou des signes contraires).
Méthode
Pour calculer les racines carrées de Z = a + ib (b ≠ 0) :
- J'écris le système : x² − y² = a ; x² + y² = |Z| ; 2xy = b.
- J'additionne et je soustrais les deux premières lignes pour trouver x² et y².
- J'en déduis x et y au signe près.
- Avec le signe de b, je choisis : même signe si b > 0, signes contraires si b < 0.
- J'écris les deux racines δ et −δ, et je vérifie en calculant δ².
Exemple
Calculer les racines carrées de Z = 3 + 4i.
|Z| = √(9 + 16) = 5. Système : x² − y² = 3 ; x² + y² = 5 ; 2xy = 4.
En additionnant : 2x² = 8, donc x² = 4. En soustrayant : 2y² = 2, donc y² = 1.
2xy = 4 > 0 : x et y ont le même signe. Les racines carrées sont 2 + i et −2 − i.
Vérification : (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i. Juste.
On peut aussi utiliser la forme exponentielle : les racines carrées de reiθ sont √r eiθ2 et -√r eiθ2. C'est pratique quand θ est un angle remarquable.
3. Équations du second degré dans ℂ
Théorème. Soit l'équation az2 + bz + c = 0 avec a, b, c complexes et a ≠ 0. On pose Δ = b2 - 4ac.
- Si Δ = 0, l'équation a une solution double : z0 = -b2a.
- Si Δ ≠ 0, et si δ est une racine carrée de Δ, l'équation a deux solutions :
z1 = -b - δ2a z2 = -b + δ2a.
Dans mathbbC, une équation du second degré a toujours des solutions. De plus, comme dans ℝ : z1 + z2 = -ba et z1z2 = ca.
Coefficients réels et Δ < 0. On prend δ = i√-Δ et les solutions sont conjuguées :
z1 = -b - i√-Δ2a z2 = -b + i√-Δ2a = z1.
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation z² + 2z + 5 = 0.
Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = −16 = (4i)².
z₁ = (−2 − 4i)/2 = −1 − 2i et z₂ = −1 + 2i.
S = {−1 − 2i ; −1 + 2i}. Contrôle : z₁ + z₂ = −2 = −b/a et z₁z₂ = 1 + 4 = 5 = c/a.
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation z² − (3 + 2i)z + 5 + 5i = 0.
Δ = (3 + 2i)² − 4(5 + 5i) = (9 + 12i − 4) − 20 − 20i = −15 − 8i.
Racines carrées de −15 − 8i : x² − y² = −15 ; x² + y² = √(225 + 64) = √289 = 17 ; 2xy = −8.
Donc x² = 1 et y² = 16, avec x et y de signes contraires : δ = 1 − 4i.
z₁ = (3 + 2i − (1 − 4i))/2 = (2 + 6i)/2 = 1 + 3i.
z₂ = (3 + 2i + 1 − 4i)/2 = (4 − 2i)/2 = 2 − i.
S = {1 + 3i ; 2 − i}. Contrôle du produit : (1 + 3i)(2 − i) = 2 − i + 6i + 3 = 5 + 5i. Juste.
4. Polynômes de degré 3 : factoriser avec une racine connue
Propriété. Si z0 est une racine du polynôme P (c'est-à-dire P(z0) = 0), alors P(z) se factorise par (z - z0) : P(z) = (z - z0)Q(z). Pour P de degré 3, Q(z) = az2 + bz + c est de degré 2.
On trouve a, b, c en développant (z - z0)(az2 + bz + c) et en identifiant les coefficients avec ceux de P (ou par division euclidienne des polynômes).
Propriété utile. Si P est à coefficients réels et si z0 est racine, alors z0 est aussi racine.
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation z³ − 3z² + 4z − 12 = 0.
On cherche une racine simple : P(3) = 27 − 27 + 12 − 12 = 0. Donc 3 est racine.
On écrit z³ − 3z² + 4z − 12 = (z − 3)(az² + bz + c) = az³ + (b − 3a)z² + (c − 3b)z − 3c.
Identification : a = 1 ; b − 3 = −3 donc b = 0 ; −3c = −12 donc c = 4 ; contrôle c − 3b = 4.
P(z) = (z − 3)(z² + 4) = (z − 3)(z − 2i)(z + 2i).
S = {3 ; −2i ; 2i}. Les deux solutions non réelles sont bien conjuguées.
5. Racines n-ièmes (en plus pour SM)
Pour résoudre zn = a avec a = ρ eiα non nul, on écrit z = reiθ. L'équation devient rneinθ = ρ eiα, donc rn = ρ et nθ = α + 2kπ. Il y a exactement n solutions :
zk = sqrt[n]ρ ei(αn + 2kπn), k ∈ {0, 1, …, n - 1}.
Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle de centre O et de rayon sqrt[n]ρ.
Les racines cubiques de l'unité (z3 = 1) sont 1, j = ei2π3 = -12 + i√32 et j2 = j ; elles vérifient 1 + j + j2 = 0.
Exemple
Résoudre z³ = 8i.
8i = 8e^{iπ/2}. On cherche z = re^{iθ} : r³ = 8 donc r = 2, et 3θ = π/2 + 2kπ, donc θ = π/6 + 2kπ/3.
k = 0 : z₀ = 2e^{iπ/6} = √3 + i ; k = 1 : z₁ = 2e^{i5π/6} = −√3 + i ; k = 2 : z₂ = 2e^{i3π/2} = −2i.
Contrôle : (−2i)³ = −8i³ = 8i. Juste.
3Je retiens
Je retiens
Équation avec z et z̄ : poser z = x + iy et identifier parties réelles et imaginaires.
Tout Z ≠ 0 a deux racines carrées opposées. Pour δ = x + iy : x² − y² = a ; x² + y² = |Z| ; 2xy = b (donne le signe).
az² + bz + c = 0 (a ≠ 0) : Δ = b² − 4ac ; si δ² = Δ, z = (−b ± δ)/(2a) ; si Δ = 0, z = −b/(2a).
Coefficients réels et Δ < 0 : z = (−b ± i√(−Δ))/(2a), solutions conjuguées.
z₁ + z₂ = −b/a et z₁z₂ = c/a.
Si P(z₀) = 0, alors P(z) = (z − z₀)Q(z) ; on trouve Q par identification.
zⁿ = ρe^{iα} : n solutions ⁿ√ρ e^{i(α + 2kπ)/n}, k = 0, …, n − 1.
4Erreurs fréquentes
- Écrire √(−16) ou √(3 + 4i) : le symbole √ est réservé aux réels positifs. On dit « une racine carrée de Δ » et on la note δ.
- Oublier la troisième équation 2xy = b : on obtient alors quatre nombres, dont deux faux. C'est le signe de b qui décide.
- Dire que l'équation « n'a pas de solution » quand Δ < 0 : c'est vrai dans ℝ, faux dans ℂ.
- Utiliser la propriété « z̄₀ est aussi racine » quand les coefficients ne sont pas tous réels : elle est alors fausse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans mathbbC.
a) z2 + 9 = 0 b) z2 - 2z + 2 = 0 c) 2z2 + 2z + 1 = 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) z2 = -9 = (3i)2, donc S = {-3i ; 3i}.
b) Δ = 4 - 8 = -4 = (2i)2 ; z = 2 ± 2i2. S = {1 - i ; 1 + i}.
c) Δ = 4 - 8 = -4 = (2i)2 ; z = -2 ± 2i4. S = {-12 - 12i ; -12 + 12i}.
2Exercice 2
Résous dans mathbbC.
a) (1 + i)z = 3 - i b) z + 2z = 6 - 2i
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) z = 3 - i1 + i = (3 - i)(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 3 - 3i - i + i22 = 2 - 4i2 = 1 - 2i. S = {1 - 2i}.
b) On pose z = x + iy : x + iy + 2(x - iy) = 3x - iy. Par identification, 3x = 6 et -y = -2, donc x = 2 et y = 2. S = {2 + 2i}.
Vérification : 2 + 2i + 2(2 - 2i) = 6 - 2i.
3Exercice 3
a) Calcule les racines carrées de -8 + 6i.
b) Déduis-en les solutions de l'équation z2 - (1 + i)z + 2 - i = 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |-8 + 6i| = √64 + 36 = 10. Système : x2 - y2 = -8 ; x2 + y2 = 10 ; 2xy = 6.
2x2 = 2 donc x2 = 1 ; 2y2 = 18 donc y2 = 9. Comme 2xy > 0, x et y ont le même signe.
Les racines carrées sont 1 + 3i et -1 - 3i. Vérification : (1 + 3i)2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i.
b) Δ = (1 + i)2 - 4(2 - i) = 2i - 8 + 4i = -8 + 6i = (1 + 3i)2.
z1 = 1 + i + 1 + 3i2 = 1 + 2i et z2 = 1 + i - 1 - 3i2 = -i. S = {-i ; 1 + 2i}.
Contrôle : z1z2 = (1 + 2i)(-i) = -i + 2 = 2 - i = ca.
4Exercice 4
(Type BAC) On considère le polynôme P(z) = z3 - (4 + i)z2 + (7 + 4i)z - 7i.
a) Montre que i est une racine de P.
b) Détermine les réels b et c tels que P(z) = (z - i)(z2 + bz + c).
c) Résous dans mathbbC l'équation P(z) = 0.
d) On note B et C les images de 2 - i√3 et 2 + i√3, et D le point d'affixe 2. Montre que D est le milieu de [BC] et calcule la longueur BC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) i2 = -1 et i3 = -i. P(i) = -i - (4 + i)(-1) + (7 + 4i)i - 7i = -i + 4 + i + 7i - 4 - 7i = 0. Donc i est racine.
b) (z - i)(z2 + bz + c) = z3 + (b - i)z2 + (c - bi)z - ci.
Identification : b - i = -4 - i donne b = -4 ; -ci = -7i donne c = 7 ; contrôle : c - bi = 7 + 4i. Juste.
Donc P(z) = (z - i)(z2 - 4z + 7).
c) z2 - 4z + 7 = 0 : Δ = 16 - 28 = -12 = (2i√3)2, donc z = 4 ± 2i√32 = 2 ± i√3.
S = {i ; 2 - i√3 ; 2 + i√3}.
d) L'affixe du milieu de [BC] est zB + zC2 = 42 = 2 = zD : D est bien le milieu de [BC]. Et BC = |zC - zB| = |2i√3| = 2√3.
5Exercice 5
(En plus pour SM) a) Résous dans mathbbC l'équation z3 = -8, en donnant les solutions sous forme exponentielle puis algébrique.
b) Quelle figure forment leurs images ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -8 = 8eiπ. On cherche z = reiθ : r3 = 8 donc r = 2 ; 3θ = π + 2kπ donc θ = π3 + 2kπ3.
k = 0 : z0 = 2eiπ3 = 1 + i√3 ; k = 1 : z1 = 2eiπ = -2 ; k = 2 : z2 = 2ei5π3 = 1 - i√3.
Contrôle : (-2)3 = -8.
b) Les trois images sont sur le cercle de centre O et de rayon 2, et deux arguments consécutifs diffèrent de 2π3 : elles forment un triangle équilatéral.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
