Karamö, le prof virtuelLeçon 37 sur 38
Les homothéties
Je sais définir une homothétie, l'écrire en complexes (z' − ω = k(z − ω)), retrouver son centre et son rapport, et utiliser ses effets sur les longueurs, les aires et les figures.
- 1 h 15
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'homothétie de centre Ω et de rapport k et la caractériser par vect(M'N') = k vect(MN)
- Écrire une homothétie en coordonnées et en complexes, et reconnaître z ↦ kz + b (k réel)
- Déterminer l'image d'une droite, d'un cercle, et l'effet sur les longueurs et les aires
- Trouver une homothétie transformant un point ou un cercle en un autre
Avant de commencer : Les isométries (translations, symétrie centrale) ; théorème de Thalès ; vecteurs colinéaires ; équations de droites et de cercles ; nombres complexes (forme algébrique).
1Je découvre
Dans son studio photo de Kankan, Lansana agrandit une photo d'identité pour en faire un portrait. Sa machine applique un agrandissement de 150 % : toutes les longueurs sont multipliées par 1,5. Un client lui demande : « Si le papier de départ fait 30 cm², combien de papier faut-il pour l'agrandissement ? » Lansana répond 45 cm²… et il se trompe : l'image ne tient pas sur la feuille.
Au même moment, sa sœur Hawa, élève de Terminale, observe le projecteur de la salle de classe : chaque point de l'image sur le mur est aligné avec la lampe et avec le point correspondant de la diapositive. Plus le mur est loin, plus l'image est grande.
Ces deux situations sont décrites par une même transformation, qui « agrandit » ou « réduit » une figure à partir d'un point fixe : l'homothétie. Elle conserve les formes et les angles, mais pas les longueurs.
Comment définir une homothétie, calculer avec elle, et prévoir son effet sur les longueurs et les aires ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition
Définition. Soit Ω un point et k un réel non nul. L'homothétie de centre Ω et de rapport k, notée h(Ω, k), est l'application qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
Ω M' = k Ω M.
Conséquences immédiates :
- Ω, M et M' sont alignés ;
- si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à Ω ; si k < 0, du côté opposé ;
- k = 1 : identité ; k = -1 : symétrie centrale de centre Ω ;
- si k ≠ 1, le seul point invariant est Ω.
2. Propriété caractéristique
Théorème. Si h(Ω, k) transforme M en M' et N en N', alors :
M'N' = k MN.
Démonstration : M'N' = M'Ω + Ω N' = -kΩ M + kΩ N = k(MΩ + Ω N) = kMN.
Réciproquement, une application telle que M'N' = kMN pour tous M, N, avec k ≠ 0 et k ≠ 1, est une homothétie de rapport k (et une translation si k = 1).
3. Propriétés
- Les longueurs sont multipliées par |k| : M'N' = |k| MN.
- Les aires sont multipliées par k2.
- Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles orientés, les milieux et les barycentres.
- Image d'une droite : une droite parallèle (la même si elle passe par Ω).
- Image d'un cercle de centre O et de rayon r : le cercle de centre O' = h(O) et de rayon |k| r.
- Réciproque : h(Ω, k)-1 = h(Ω, 1k).
- Même centre : h(Ω, k') ° h(Ω, k) = h(Ω, kk').
- Centres différents : la composée de deux homothéties de rapports k et k' est une homothétie de rapport kk' si kk' ≠ 1, et une translation si kk' = 1.
Si |k| ≠ 1, une homothétie n'est pas une isométrie.
Retour à Lansana : les longueurs sont multipliées par k = 1,5, donc les aires par k2 = 2,25. Il faut 30 × 2,25 = 67,5 cm² de papier, et non 45 cm².
4. Écritures analytique et complexe
Si Ω(a ; b) : begincases x' - a = k(x - a)
y' - b = k(y - b) endcases ; en complexes, avec ω affixe de Ω :
z' - ω = k(z - ω), soit z' = kz + (1 - k)ω.
Réciproque. L'application z mapsto kz + b avec k réel, k ≠ 0 et k ≠ 1, est l'homothétie de rapport k et de centre d'affixe :
ω = b1 - k.
Méthode
Pour reconnaître z ↦ az + b :
- Si a est réel et a ≠ 1 (a ≠ 0) : homothétie de rapport a, de centre ω = b/(1 − a).
- Si |a| = 1 et a ≠ 1 : rotation (leçon précédente). Si a = 1 : translation.
- Dans les autres cas (a non réel et |a| ≠ 1) : similitude (leçon suivante).
- Contrôle : je vérifie que aω + b = ω.
Exemple
h est l'homothétie de centre Ω(1 ; 2) et de rapport 3. Image de M(2 ; 0) ?
vect(ΩM) = (1 ; −2), donc vect(ΩM') = 3 × (1 ; −2) = (3 ; −6).
M' = (1 + 3 ; 2 − 6) = (4 ; −4).
Contrôle en complexes : z' = 3z + (1 − 3)(1 + 2i) = 3z − 2 − 4i ; pour z = 2 : 6 − 2 − 4i = 4 − 4i.
Exemple
Reconnaître f : z ↦ −2z + 3i.
a = −2 est réel, différent de 0 et de 1 : homothétie de rapport −2.
Centre : ω = 3i/(1 − (−2)) = 3i/3 = i. Contrôle : −2i + 3i = i.
f est l'homothétie de centre Ω(0 ; 1) et de rapport −2 ; elle multiplie les longueurs par 2 et les aires par 4.
5. Trouver une homothétie
a) À partir de deux points et de leurs images. Si A mapsto A' et B mapsto B' avec A'B' = kAB (k ≠ 1), le rapport est k et le centre Ω vérifie a' - ω = k(a - ω). Géométriquement, Ω est l'intersection des droites (AA') et (BB').
Exemple
Trouver l'homothétie qui transforme A(1 + i) en A'(3 + 5i) et B(2 + i) en B'(1 + 5i).
vect(AB) a pour affixe 1 et vect(A'B') a pour affixe −2 : vect(A'B') = −2 vect(AB), donc k = −2.
a' − ω = −2(a − ω) : 3 + 5i − ω = −2 − 2i + 2ω, donc 3ω = 5 + 7i et ω = 5/3 + (7/3)i.
Contrôle avec B : b' − ω = −2/3 + (8/3)i et −2(b − ω) = −2(1/3 − (4/3)i) = −2/3 + (8/3)i.
b) Entre deux cercles. Deux cercles de centres distincts O1, O2 et de rayons différents r1, r2 se correspondent par deux homothéties, de rapports r2r1 et -r2r1 ; leurs centres sont sur la droite (O1O2).
3Je retiens
Je retiens
h(Ω, k), k ≠ 0 : vect(ΩM') = k vect(ΩM). k = −1 : symétrie centrale ; seul point fixe Ω si k ≠ 1.
Caractérisation : vect(M'N') = k vect(MN).
Longueurs × |k| ; aires × k² ; angles orientés, parallélisme, milieux conservés.
Droite → droite parallèle ; cercle (O, r) → cercle (h(O), |k| r).
Complexe : z' − ω = k(z − ω). z ↦ kz + b (k réel, k ≠ 0 et 1) : centre ω = b/(1 − k).
Réciproque : h(Ω, 1/k) ; même centre : h(Ω, k') ∘ h(Ω, k) = h(Ω, kk').
4Erreurs fréquentes
- Multiplier les aires par k au lieu de k² : un agrandissement de rapport 2 multiplie l'aire par 4.
- Donner un rayon négatif : le rayon de l'image est |k| r, même si k est négatif.
- Reconnaître une homothétie dans z ↦ az + b alors que a n'est pas réel : il faut a réel pour une homothétie.
- Oublier que h(Ω, −1) est la symétrie centrale : une homothétie de rapport −1 est une isométrie.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit h l'homothétie de centre O et de rapport -3. Calcule les images de A(1 ; 2) et B(-2 ; 0) ; vérifie que A'B' = 3AB.
Voir le corrigéCacher le corrigé
A' = (-3 × 1 ; -3 × 2) = (-3 ; -6) et B' = (6 ; 0).
AB = √9 + 4 = √13 et A'B' = √92 + 62 = √117 = 3√13. On a bien A'B' = 3AB = |-3| AB.
2Exercice 2
Reconnais l'application f : z mapsto 3z - 4 + 2i et précise ses éléments caractéristiques.
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a = 3 est réel et différent de 0 et de 1 : homothétie de rapport 3.
Centre : ω = -4 + 2i1 - 3 = -4 + 2i-2 = 2 - i. Contrôle : 3(2 - i) - 4 + 2i = 2 - i.
f est l'homothétie de centre Ω(2 ; -1) et de rapport 3.
3Exercice 3
Soit h l'homothétie de centre Ω(1 ; 0) et de rapport 2. Détermine l'image de la droite d : y = x.
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L'image de d est une droite parallèle à d (coefficient directeur 1). Elle passe par l'image de O(0 ; 0) ∈ d : Ω O = (-1 ; 0), donc Ω O' = (-2 ; 0) et O' = (-1 ; 0).
L'image est la droite y = x + 1.
Contrôle : P(1 ; 1) ∈ d a pour image Ω + 2(0 ; 1) = (1 ; 2) et 2 = 1 + 1.
4Exercice 4
Un triangle a une aire de 12 cm². Quelle est l'aire de son image par une homothétie de rapport -32 ? Et le périmètre, si celui du triangle de départ est 16 cm ?
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Les aires sont multipliées par k2 = 94 : 12 × 94 = 27 cm².
Les longueurs sont multipliées par |k| = 32 : périmètre 16 × 32 = 24 cm.
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère orthonormé, mathcalC1 est le cercle de centre O1(0 ; 0) et de rayon 2, mathcalC2 celui de centre O2(6 ; 0) et de rayon 4.
a) Quels rapports peut avoir une homothétie qui transforme mathcalC1 en mathcalC2 ?
b) Pour chaque rapport, écris l'homothétie sous la forme z' = kz + b sachant qu'elle envoie O1 sur O2, puis détermine son centre.
c) Vérifie l'un des résultats géométriquement.
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a) Le rayon est multiplié par |k| : |k| × 2 = 4, donc k = 2 ou k = -2.
b) Pour k = 2 : z' = 2z + b et O1 mapsto O2 donne 6 = 0 + b, donc z' = 2z + 6. Centre : ω = 61 - 2 = -6, soit Ω1(-6 ; 0).
Pour k = -2 : z' = -2z + 6. Centre : ω = 61 + 2 = 2, soit Ω2(2 ; 0).
c) Avec Ω2(2 ; 0) : Ω2 O1 = (-2 ; 0) et -2 × (-2 ; 0) = (4 ; 0) = Ω2 O2. Le rayon devient |-2| × 2 = 4. C'est juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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