Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 47
Mouvement rectiligne uniformément varié
Je sais reconnaître un mouvement rectiligne uniformément varié, écrire ses équations horaires et calculer une durée, une vitesse ou une distance de freinage.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement rectiligne uniformément varié (trajectoire droite, accélération constante)
- Établir v(t) et x(t) à partir des conditions initiales
- Utiliser la relation v² − v0² = 2a(x − x0)
- Déterminer l'accélération à partir d'un enregistrement et reconnaître un mouvement accéléré ou retardé
Avant de commencer : Notions de cinématique et mouvement rectiligne uniforme ; dérivées et primitives des polynômes ; résolution d'une équation du second degré.
1Je découvre
Sur la route nationale, Fanta est assise à l'avant d'un taxi qui roule à 72 km/h. Soudain, un troupeau de bœufs traverse la route à une cinquantaine de mètres. Le chauffeur, Alpha, freine fort. Le taxi ralentit de plus en plus… et s'arrête juste avant les bêtes.
Une fois le cœur calmé, Fanta se demande : « Si nous avions roulé plus vite, aurions-nous pu nous arrêter à temps ? Et combien de mètres faut-il pour s'arrêter ? »
Pendant le freinage, la vitesse du taxi n'est plus constante : elle diminue régulièrement. De même, quand une moto démarre au feu, sa vitesse augmente régulièrement. Ces mouvements ne sont plus uniformes, mais ils restent simples si l'accélération est constante.
Comment décrire un mouvement en ligne droite dont la vitesse varie régulièrement, et comment calculer une distance de freinage ?
2Je comprends
1. Définition
Un point M est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) si :
- sa trajectoire est une droite ;
- son vecteur accélération est constant et non nul.
Sur l'axe Ox de la trajectoire, l'accélération algébrique a est une constante.
2. Les équations horaires
On part de a = dvdt = constante et on cherche des primitives.
- La vitesse est une primitive de a : v(t) = a (t - t0) + v0.
- L'abscisse est une primitive de v : x(t) = 12a (t - t0)2 + v0 (t - t0) + x0.
Ici x0 et v0 sont l'abscisse et la vitesse à la date t0. Avec t0 = 0 :
v = a t + v0 et x = 12a t2 + v0 t + x0
Inversement, si on te donne x(t) = α t2 + β t + γ, le mouvement est un MRUV avec a = 2α, v0 = β et x0 = γ.
3. La relation indépendante du temps
En éliminant t entre les deux équations, on obtient une relation très utile quand on ne connaît pas la durée :
v2 - v02 = 2a (x - x0)
Démonstration rapide : t = v - v0a ; on remplace dans x - x0 = 12at2 + v0t, et on trouve x - x0 = (v - v0)22a + v0(v - v0)a = v2 - v022a.
4. Accéléré ou retardé ?
- Si a et v ont le même signe (a · v > 0), la valeur de la vitesse augmente : mouvement uniformément accéléré.
- Si a et v sont de signes contraires (a · v < 0), la valeur de la vitesse diminue : mouvement uniformément retardé (freinage).
Un même mouvement peut être d'abord retardé puis accéléré : c'est le cas d'une pierre lancée vers le haut, qui ralentit, s'arrête, puis redescend.
5. Les graphes
- a(t) : droite horizontale.
- v(t) : droite de pente a ; l'aire sous la droite entre deux dates donne le déplacement.
- x(t) : arc de parabole.
6. Déterminer l'accélération à partir d'un enregistrement
Au laboratoire, on enregistre les positions M0, M1, M2, … d'un mobile à intervalles de temps égaux tau (table à coussin d'air, chronophotographie). Pour un MRUV, les distances successives d1 = M0M1, d2 = M1M2, … augmentent (ou diminuent) toujours de la même quantité :
di+1 - di = a tau2
De plus, la vitesse au point Mi est bien approchée par vi = Mi-1Mi+12tau.
Méthode
Pour résoudre un exercice de MRUV :
- Je choisis l'axe (souvent dans le sens du mouvement), l'origine et la date t = 0.
- Je relève les conditions initiales x0 et v0, et je convertis en SI.
- J'écris v(t) = at + v0 et x(t) = ½at² + v0t + x0.
- Si la durée n'est pas connue ni demandée, j'utilise v² − v0² = 2a(x − x0).
- Je vérifie le signe de a (négatif pour un freinage si l'axe est dans le sens du mouvement).
Exemple
Une moto démarre sans vitesse initiale avec une accélération constante a = 2 m/s².
v = 2t et x = t² (origine au point de départ).
À t = 5 s : v = 10 m/s (36 km/h) et x = 25 m.
Exemple
Distance de freinage. Le taxi d'Alpha roule à 72 km/h, soit 20 m/s. Il freine avec une décélération constante et s'arrête sur 50 m. Axe dans le sens du mouvement.
v² − v0² = 2a d donne 0 − 20² = 2 × a × 50, donc a = −400/100 = −4 m/s².
Durée du freinage : 0 = −4t + 20, donc t = 5 s.
Si le taxi avait roulé à 30 m/s avec la même décélération : d = 30²/(2 × 4) = 112,5 m. En multipliant la vitesse par 1,5, on multiplie la distance de freinage par 1,5² = 2,25.
Exemple
Équation donnée. x = 2t² − 8t + 3 (SI).
v = 4t − 8 et a = 4 m/s² : c'est un MRUV.
Pour t < 2 s, v < 0 et a > 0 : retardé. À t = 2 s, v = 0 et x = 8 − 16 + 3 = −5 m (demi-tour). Pour t > 2 s : accéléré.
Exemple
Enregistrement avec τ = 40 ms : d1 = 1,0 cm ; d2 = 1,4 cm ; d3 = 1,8 cm ; d4 = 2,2 cm.
Les écarts sont constants : Δd = 0,4 cm = 0,004 m, c'est un MRUV.
a = Δd/τ² = 0,004 / (0,040)² = 0,004 / 0,0016 = 2,5 m/s².
3Je retiens
Je retiens
MRUV : trajectoire droite et accélération constante non nulle.
v = a(t − t0) + v0 ; x = ½a(t − t0)² + v0(t − t0) + x0.
Relation sans le temps : v² − v0² = 2a(x − x0).
a·v > 0 : uniformément accéléré ; a·v < 0 : uniformément retardé.
Enregistrement : d(i+1) − d(i) = aτ² ; vitesse en Mi : vi = M(i−1)M(i+1) / (2τ).
Distance de freinage : d = v0² / (2|a|), proportionnelle au carré de la vitesse.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le facteur ½ dans x = ½at² + v0t + x0 : si x = 3t², alors a = 6 m/s² et non 3 m/s².
- Prendre a positif pendant un freinage alors que l'axe est orienté dans le sens du mouvement.
- Utiliser x = vt (formule du MRU) alors que la vitesse varie.
- Oublier de convertir les centimètres en mètres et les millisecondes en secondes dans un enregistrement.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une voiture démarre sans vitesse initiale avec une accélération constante de 1,5 m/s².
a) Calcule sa vitesse au bout de 8 s, en m/s et en km/h.
b) Calcule la distance parcourue pendant ces 8 s.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v = at = 1,5 × 8 = 12 m/s, soit 12 × 3,6 = 43,2 km/h.
b) x = 12at2 = 0,75 × 64 = 48 m.
2Exercice 2
Un mobile se déplace sur un axe selon x = -t2 + 6t + 2 (SI).
a) Détermine a, v0 et x0.
b) À quelle date le mobile s'arrête-t-il ? Quelle est alors sa position ?
c) Précise la nature du mouvement avant et après cette date.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Par identification avec x = 12at2 + v0t + x0 : 12a = -1, donc a = -2 m/s² ; v0 = 6 m/s ; x0 = 2 m.
b) v = -2t + 6 = 0 ⇔ t = 3 s. Position : x(3) = -9 + 18 + 2 = 11 m.
c) Pour 0 ≤ t < 3 s : v > 0 et a < 0, mouvement uniformément retardé. Pour t > 3 s : v < 0 et a < 0, mouvement uniformément accéléré (le mobile repart en sens inverse).
3Exercice 3
Un minibus roule à 54 km/h. Le chauffeur aperçoit un obstacle à 50 m. Il réagit au bout de 1,0 s (pendant ce temps de réaction, le minibus garde sa vitesse), puis freine avec une décélération de 3 m/s².
a) Calcule la distance parcourue pendant le temps de réaction.
b) Calcule la distance et la durée du freinage.
c) Le minibus heurte-t-il l'obstacle ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 54 km/h = 15 m/s. Pendant la réaction : d1 = 15 × 1,0 = 15 m.
b) Freinage : 0 - 152 = 2 × (-3) × d2, donc d2 = 2256 = 37,5 m. Durée : 0 = -3t + 15, donc t = 5 s.
c) Distance d'arrêt : 15 + 37,5 = 52,5 m > 50 m. Le minibus heurte l'obstacle. Le temps de réaction compte beaucoup : sans ce retard, il se serait arrêté avant.
4Exercice 4
On enregistre les positions d'un palet à intervalles de tau = 50 ms : M0M1 = 2,0 cm ; M1M2 = 2,6 cm ; M2M3 = 3,2 cm ; M3M4 = 3,8 cm.
a) Montre que le mouvement est uniformément varié et calcule l'accélération.
b) Calcule la vitesse du palet au point M2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Différences successives : 2,6 - 2,0 = 0,6 cm ; 3,2 - 2,6 = 0,6 cm ; 3,8 - 3,2 = 0,6 cm. Elles sont constantes : le mouvement est rectiligne uniformément varié (accéléré). a = Δ dtau2 = 0,006(0,050)2 = 0,0060,0025 = 2,4 m/s².
b) v2 = M1M32tau = (2,6 + 3,2) × 10-20,100 = 0,0580,100 = 0,58 m/s.
5Exercice 5
(Type BAC) Sur une route droite, une moto A démarre sans vitesse initiale à la date t = 0 depuis un point O, avec une accélération de 2 m/s². Au même instant, une voiture B passe en O dans le même sens, à la vitesse constante de 10 m/s.
a) Écris les équations horaires xA(t) et xB(t).
b) À quelle date et à quelle distance de O la moto rattrape-t-elle la voiture ? Quelle est alors la vitesse de la moto ?
c) À quelle date la distance entre les deux véhicules est-elle maximale (avant le rattrapage) ? Calcule cette distance.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Origine O, axe dans le sens du mouvement. xA = 12 × 2 × t2 = t2 et xB = 10t.
b) t2 = 10t ⇔ t(t - 10) = 0, soit t = 0 (départ) ou t = 10 s. Distance : x = 10 × 10 = 100 m. Vitesse de la moto : vA = 2 × 10 = 20 m/s (72 km/h).
c) La distance D = xB - xA = 10t - t2 est maximale quand sa dérivée s'annule : 10 - 2t = 0, soit t = 5 s (c'est aussi l'instant où vA = vB). Dmax = 50 - 25 = 25 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
