Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 47
Mouvement du centre d'inertie d'un solide
Je sais déterminer la nature du mouvement du centre d'inertie d'un solide à partir des forces qu'il subit, et calculer vitesses, durées et forces avec le théorème du centre d'inertie ou le théorème de l'énergie cinétique.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer le théorème du centre d'inertie dans des situations variées (chute verticale, traction, ascenseur, freinage)
- Déduire la nature du mouvement de la somme des forces
- Utiliser le théorème de l'énergie cinétique comme méthode de contrôle ou de calcul
- Enchaîner plusieurs phases d'un mouvement
Avant de commencer : Les lois de Newton ; le mouvement rectiligne uniformément varié ; projection de vecteurs ; travail d'une force et énergie cinétique (classe de 11e).
1Je découvre
Dans la cour de l'école, à Kankan, une mangue mûre se détache et tombe d'une branche située à 5 m du sol. Au même moment, deux élèves, Lansana et Aïssatou, tirent avec une corde un gros bloc de pierre pour construire un banc : la corde est inclinée, le sol frotte, et le bloc avance lentement puis de plus en plus vite.
Aïssatou, en Terminale SM, remarque : « Dans les deux cas, c'est la même loi qui commande : ΣF = m aG. Mais les forces ne sont pas les mêmes, et le mouvement non plus. »
Lansana veut savoir à quelle vitesse la mangue arrive au sol, et avec quelle accélération le bloc démarre. Dans chaque situation, il faudra identifier les forces, les projeter, puis revenir à la cinématique.
Cette leçon concerne surtout la série SM : elle montre comment utiliser les lois de Newton dans les situations classiques du BAC.
Comment déterminer le mouvement du centre d'inertie d'un solide à partir des forces qui s'exercent sur lui ?
2Je comprends
1. Le théorème du centre d'inertie, outil central
Dans un référentiel galiléen : ΣFext = m aG.
Ce théorème dit que le centre d'inertie G d'un solide se déplace comme un point matériel de masse m auquel on appliquerait toutes les forces extérieures. On peut donc étudier le mouvement de G sans se soucier de la forme du solide, ni de sa rotation éventuelle.
Règle générale : si la somme des forces est constante, l'accélération est constante :
- si la vitesse initiale est nulle ou parallèle à cette somme, le mouvement est rectiligne uniformément varié ;
- sinon, la trajectoire est une parabole (c'est le cas des projectiles, étudié dans la leçon suivante).
2. Les forces à connaître
| Force | Direction et sens | Valeur |
|---|---|---|
| poids P | verticale, vers le bas | P = mg |
| réaction normale RN | perpendiculaire au support | se calcule par projection |
| force de frottement f | parallèle au support, opposée au mouvement | donnée, ou f = k RN si l'on donne un coefficient k |
| tension d'un fil T | le long du fil, vers le point d'attache | se calcule par projection |
La réaction totale d'un support avec frottement est R = RN + f.
3. Un deuxième outil : le théorème de l'énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un solide en translation est Ec = 12m v2 (en joules). Le théorème de l'énergie cinétique dit que, entre deux positions A et B :
Ec(B) - Ec(A) = Σ WA → B(Fext)
avec W(F) = F × AB × cosα pour une force constante. Il est très pratique quand on cherche une vitesse ou une distance sans avoir besoin de la durée. Il permet aussi de vérifier un résultat obtenu avec le théorème du centre d'inertie.
4. Situations classiques
a) Chute libre verticale. Si seul le poids agit (frottements de l'air négligés) : mg = maG, donc aG = g. L'accélération ne dépend pas de la masse. Lâché sans vitesse d'une hauteur h : t = √2hg et v = √2gh.
b) Traction sur un sol horizontal avec frottement. Les forces verticales se compensent (pas de mouvement vertical), ce qui donne RN ; la projection horizontale donne l'accélération.
c) Solide dans un ascenseur. Pour une personne sur un pèse-personne, axe vertical vers le haut : R - mg = m a, donc R = m(g + a). La balance affiche plus que le poids si l'ascenseur accélère vers le haut, moins s'il accélère vers le bas.
d) Freinage d'un véhicule. La force de freinage, opposée au mouvement, produit une accélération négative (sur un axe orienté dans le sens du mouvement).
Le plan incliné, très fréquent au BAC, est traité en détail dans la leçon « Solide glissant sur un plan incliné ».
- 1Système, référentiel galiléen, bilan des forces extérieures
- 2Schéma avec les forces et le repère
- 3Écrire ΣF = m aG puis projeter sur chaque axe
- 4Axe perpendiculaire au mouvement : trouver la réaction
- 5Axe du mouvement : trouver l'accélération
- 6Cinématique (MRUV) ou énergie cinétique pour conclure
Méthode
Pour enchaîner plusieurs phases de mouvement :
- Je découpe le trajet en phases où les forces restent les mêmes.
- Pour chaque phase, j'applique le théorème du centre d'inertie et j'obtiens une accélération.
- La vitesse finale d'une phase est la vitesse initiale de la phase suivante.
- Je contrôle au moins un résultat avec le théorème de l'énergie cinétique.
Exemple
Chute de la mangue. Hauteur h = 5,0 m, lâchée sans vitesse, frottements de l'air négligés, g = 9,8 m/s².
aG = g = 9,8 m/s², vers le bas.
Durée de chute : t = √(2h/g) = √(10/9,8) ≈ 1,01 s.
Vitesse au sol : v = √(2gh) = √98 ≈ 9,90 m/s, soit environ 36 km/h.
Contrôle par l'énergie : ½mv² = mgh, donc v² = 2gh = 98. Même résultat, et la masse ne compte pas.
Exemple
Traction avec une corde inclinée. Un bloc de m = 40 kg est tiré sur un sol horizontal par une corde faisant β = 30° avec l'horizontale ; tension F = 200 N ; frottement f = 100 N ; g = 10 N/kg.
Axe vertical : RN + F sin β − mg = 0, donc RN = 400 − 200 × 0,5 = 300 N.
Axe horizontal : F cos β − f = m a, donc a = (200 × 0,866 − 100)/40 = (173,2 − 100)/40 ≈ 1,83 m/s².
Remarque : la corde inclinée soulage le bloc, puisque RN = 300 N < mg = 400 N.
Exemple
Freinage d'un camion de 10 t, à 54 km/h, qui s'arrête sur 75 m. Force de freinage F constante.
Méthode 1 (TCI + cinématique) : v0 = 15 m/s ; 0 − 15² = 2a × 75, donc a = −1,5 m/s² ; F = m|a| = 10 000 × 1,5 = 15 000 N.
Méthode 2 (énergie cinétique) : 0 − ½ × 10 000 × 15² = −F × 75, donc F = 1 125 000/75 = 15 000 N.
Les deux méthodes concordent.
3Je retiens
Je retiens
Le centre d'inertie se déplace comme un point matériel de masse m soumis à toutes les forces extérieures : ΣFext = m aG.
Somme des forces constante ⇒ accélération constante ⇒ MRUV (ou parabole si la vitesse initiale est oblique).
Chute libre : aG = g, indépendante de la masse ; t = √(2h/g), v = √(2gh).
Ascenseur : R = m(g + a) avec l'axe vers le haut.
Théorème de l'énergie cinétique : Ec(B) − Ec(A) = ΣW(Fext) ; W = F × AB × cos α.
La projection perpendiculaire au mouvement donne la réaction ; la projection parallèle donne l'accélération.
4Erreurs fréquentes
- Écrire RN = mg alors qu'une force inclinée agit aussi : il faut projeter toutes les forces sur l'axe vertical.
- Oublier le travail négatif des frottements dans le théorème de l'énergie cinétique.
- Croire qu'un objet lourd tombe plus vite qu'un objet léger dans une chute libre : aG = g pour tous.
- Mélanger les phases : la vitesse finale d'une phase devient la vitesse initiale de la suivante.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Hawa lâche une pierre sans vitesse initiale dans un puits. La pierre touche l'eau au bout de 2,0 s. On néglige les frottements ; g = 9,8 m/s². Calcule la profondeur du puits jusqu'à l'eau et la vitesse de la pierre à l'arrivée.
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Chute libre sans vitesse initiale : h = 12gt2 = 0,5 × 9,8 × 4 = 19,6 m. v = gt = 9,8 × 2 = 19,6 m/s.
2Exercice 2
Une bille est lancée verticalement vers le haut à 12 m/s (g = 10 m/s², frottements négligés). Calcule la durée de la montée et la hauteur maximale atteinte au-dessus du point de lancement.
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Axe vertical vers le haut : a = -10 m/s², v = -10t + 12. Au sommet, v = 0 : t = 1,2 s. Hauteur : h = v022g = 14420 = 7,2 m. (Ou h = -5 × 1,44 + 12 × 1,2 = -7,2 + 14,4 = 7,2 m.)
3Exercice 3
Un chariot de 50 kg est poussé horizontalement par une force de 150 N ; les frottements valent 50 N. Il part du repos.
a) Calcule son accélération.
b) Calcule sa vitesse et la distance parcourue au bout de 3 s.
c) Vérifie la vitesse avec le théorème de l'énergie cinétique.
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a) F - f = ma, donc a = 150 - 5050 = 2 m/s².
b) v = 2 × 3 = 6 m/s ; d = 12 × 2 × 9 = 9 m.
c) 12mv2 - 0 = (F - f) d, donc 12 × 50 × v2 = 100 × 9 = 900 J, soit v2 = 36 et v = 6 m/s. Les résultats concordent.
4Exercice 4
Mamadou, de masse 70 kg, est debout sur un pèse-personne dans l'ascenseur d'un immeuble (g = 9,8 m/s²).
a) Quelle force le plateau exerce-t-il sur lui quand l'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération de 1,5 m/s² ?
b) Même question quand l'ascenseur démarre vers le bas avec une accélération de 1,5 m/s².
c) Quelle « masse » affiche la balance dans le cas a) ?
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a) Axe vertical vers le haut : R - mg = ma, donc R = m(g + a) = 70 × 11,3 = 791 N.
b) L'accélération est vers le bas : a = -1,5 m/s², donc R = 70 × (9,8 - 1,5) = 70 × 8,3 = 581 N.
c) La balance est graduée en kilogrammes avec g = 9,8 : elle affiche 7919,8 ≈ 80,7 kg, alors que la masse de Mamadou reste 70 kg.
5Exercice 5
(Type BAC) Un solide de masse m = 2 kg est au repos sur un sol horizontal. On le pousse avec une force horizontale constante F = 10 N sur une distance de 4 m, puis on arrête de pousser. Sur tout le trajet, une force de frottement constante f = 2 N s'oppose au mouvement.
a) Calcule l'accélération pendant la poussée et la vitesse atteinte après 4 m.
b) Calcule l'accélération après l'arrêt de la poussée.
c) Calcule la distance parcourue et la durée de cette seconde phase.
d) Retrouve la distance totale parcourue avec le théorème de l'énergie cinétique appliqué au trajet complet.
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a) Axe dans le sens du mouvement : F - f = ma1, donc a1 = 10 - 22 = 4 m/s². v12 = 2a1 d1 = 2 × 4 × 4 = 32, donc v1 = √32 ≈ 5,66 m/s.
b) -f = ma2, donc a2 = -22 = -1 m/s².
c) 0 - v12 = 2a2 d2, donc d2 = 322 = 16 m. Durée : 0 = a2 t + v1, soit t = 5,661 ≈ 5,66 s.
d) Sur tout le trajet, Ec initiale et finale sont nulles : 0 = F × 4 - f × D, donc D = 10 × 42 = 20 m. On retrouve bien 4 + 16 = 20 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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