Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 47
Mouvement d'un projectile
Je sais établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire d'un projectile lancé avec une vitesse initiale, puis calculer la flèche et la portée.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer le théorème du centre d'inertie à un projectile soumis à son seul poids
- Établir les équations horaires x(t) et z(t) à partir des conditions initiales
- Établir l'équation de la trajectoire parabolique
- Calculer la flèche, la portée et la durée du vol
Avant de commencer : Les lois de Newton ; le mouvement rectiligne uniforme et uniformément varié ; projections, primitives et second degré (rappels de mathématiques).
1Je découvre
Au terrain de football du quartier, Ibrahima tire un coup franc. Le ballon part du sol, monte en décrivant une belle courbe, passe au-dessus du mur de défenseurs et redescend vers le but. Sur le banc, Fatoumata filme la scène avec son téléphone. En regardant la vidéo image par image, elle remarque que la courbe ressemble à une parabole, comme en cours de mathématiques.
Ibrahima se demande : « Avec quel angle faut-il frapper pour envoyer le ballon le plus loin possible ? Et à quelle hauteur passera-t-il au niveau du mur ? »
Le ballon, la pierre lancée par un enfant, le jet d'eau d'un tuyau d'arrosage dans un jardin maraîcher : tous ces objets, une fois lancés, ne sont plus poussés par rien. Seul leur poids agit (si l'on néglige l'air).
Quel est le mouvement d'un objet lancé dans l'air, et comment calculer sa trajectoire, sa hauteur maximale et sa portée ?
2Je comprends
1. Le cadre de l'étude
On appelle projectile un solide lancé avec une vitesse initiale v0 puis soumis uniquement à son poids : on néglige la résistance et la poussée de l'air. Cette approximation est bonne pour des objets denses et pas trop rapides.
- Système : le projectile (son centre d'inertie G).
- Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
- Repère : origine O au point de lancement, axe Ox horizontal dans le sens du lancer, axe Oz vertical vers le haut. Le vecteur v0 est dans le plan (xOz) et fait l'angle α avec l'horizontale.
2. L'accélération
Le théorème du centre d'inertie donne mg = maG, donc :
aG = g : ax = 0 et az = -g
L'accélération est constante, verticale, vers le bas, et ne dépend pas de la masse.
3. Les équations horaires
Conditions initiales à t = 0 : x0 = 0, z0 = 0, v0x = v0cosα, v0z = v0sinα.
En cherchant les primitives :
| selon Ox | selon Oz | |
|---|---|---|
| accélération | ax = 0 | az = -g |
| vitesse | vx = v0cosα | vz = -g t + v0sinα |
| position | x = (v0cosα) t | z = -12g t2 + (v0sinα) t |
Interprétation : selon l'horizontale, le mouvement est rectiligne uniforme ; selon la verticale, il est uniformément varié. Le mouvement se fait dans le plan vertical contenant v0 (car y = 0 à chaque instant).
4. L'équation de la trajectoire
On élimine t : t = xv0cosα, puis on remplace dans z :
z = -g2 v02cos2α x2 + (tanα) x
C'est l'équation d'une parabole tournée vers le bas.
5. La flèche et la portée
- La flèche h est l'altitude maximale. Au sommet, vz = 0, donc tS = v0sinαg et :
h = v02sin2α2g
- La portée horizontale d est la distance entre le point de lancement et le point de retombée au même niveau (z = 0, x ≠ 0) :
d = v02sin 2αg
La portée est maximale pour α = 45° (car sin 2α = 1) : dmax = v02g. Deux angles complémentaires (par exemple 30° et 60°) donnent la même portée.
- Durée du vol (retour au niveau de départ) : tv = 2 tS = 2v0sinαg.
6. Deux cas particuliers
- Lancement horizontal (α = 0) depuis une hauteur H : avec l'origine au point de lancement, x = v0 t et z = -12gt2. L'objet touche le sol quand z = -H : t = √2Hg.
- Lancement vertical (α = 90°) : x = 0, le mouvement est rectiligne uniformément varié.
Méthode
Pour étudier un projectile :
- Système, référentiel terrestre galiléen, repère (O, x horizontal, z vertical vers le haut).
- Théorème du centre d'inertie : aG = g, soit ax = 0 et az = −g.
- Conditions initiales : v0x = v0 cos α, v0z = v0 sin α, position de départ.
- Primitives : vx, vz, puis x(t) et z(t).
- Élimination de t : équation de la trajectoire z = f(x).
- Exploitation : flèche (vz = 0), portée (z = 0), passage au-dessus d'un obstacle (calculer z pour l'abscisse de l'obstacle).
Exemple
Ballon frappé depuis le sol à v0 = 20 m/s sous α = 30° ; g = 10 m/s².
v0x = 20 cos 30° ≈ 17,32 m/s ; v0z = 20 sin 30° = 10 m/s.
x = 17,32 t ; z = −5t² + 10t.
Trajectoire : z = −10x²/(2 × 400 × 0,75) + 0,577x = −x²/60 + 0,577x.
Flèche : h = 400 × 0,25/20 = 5 m, atteinte à tS = 10/10 = 1 s.
Portée : d = 400 × sin 60°/10 ≈ 34,6 m ; durée du vol : 2 s.
Contrôle : x(2) = 17,32 × 2 ≈ 34,6 m.
Exemple
Bille qui roule sur une table de hauteur H = 1,25 m et la quitte horizontalement à v0 = 2 m/s ; g = 10 m/s².
Durée de chute : t = √(2H/g) = √0,25 = 0,5 s.
Distance horizontale au pied de la table : x = 2 × 0,5 = 1 m.
Vitesse à l'arrivée : vx = 2 m/s ; vz = −10 × 0,5 = −5 m/s ; v = √(4 + 25) = √29 ≈ 5,39 m/s.
3Je retiens
Je retiens
Projectile soumis à son seul poids : aG = g (ax = 0 ; az = −g), quelle que soit sa masse.
x = (v0 cos α) t : mouvement horizontal uniforme ; z = −½gt² + (v0 sin α) t : mouvement vertical uniformément varié.
Trajectoire : z = −g x² / (2 v0² cos² α) + x tan α (parabole).
Flèche : h = v0² sin² α / (2g) ; portée : d = v0² sin 2α / g ; portée maximale pour α = 45°.
Lancement horizontal d'une hauteur H : durée de chute t = √(2H/g).
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'une force « pousse » le ballon vers l'avant après la frappe : une fois lancé, seul le poids agit.
- Écrire que la vitesse est nulle au sommet : seule vz est nulle ; vx = v0 cos α reste constante.
- Inverser sinus et cosinus : la vitesse horizontale est v0 cos α, la vitesse verticale initiale v0 sin α (α mesuré depuis l'horizontale).
- Utiliser la formule de la portée quand le point d'arrivée n'est pas au même niveau que le point de départ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
a) Quelles hypothèses fait-on pour étudier le mouvement d'un projectile ?
b) Montre que l'accélération du projectile est égale à g.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On néglige l'action de l'air (frottements et poussée) : le projectile n'est soumis qu'à son poids. On travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen, où g est constant.
b) Théorème du centre d'inertie : ΣF = maG avec ΣF = mg, donc aG = g.
2Exercice 2
Une bille quitte horizontalement le bord d'une table de hauteur 0,80 m avec une vitesse de 3 m/s (g = 10 m/s²). Calcule la durée de la chute et la distance entre le pied de la table et le point d'impact.
Voir le corrigéCacher le corrigé
t = √2Hg = √1,610 = √0,16 = 0,4 s. Distance : x = v0 t = 3 × 0,4 = 1,2 m.
3Exercice 3
Une pierre est lancée depuis le sol à 15 m/s sous un angle de 45° (g = 10 m/s²). Calcule la portée, la flèche et la durée du vol.
Voir le corrigéCacher le corrigé
sin 90° = 1 : d = 15210 = 22,5 m. Flèche : h = 225 × (√22)220 = 225 × 0,520 ≈ 5,63 m. Durée : tv = 2 × 15 × 0,70710 ≈ 2,12 s.
4Exercice 4
Un projectile est lancé depuis le sol à v0 = 10 m/s sous α = 60° (g = 10 m/s²).
a) Établis l'équation numérique de sa trajectoire.
b) Déduis-en la portée et compare avec la formule du cours.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) cos 60° = 0,5 donc cos2 60° = 0,25 ; tan 60° = √3 ≈ 1,732. z = -102 × 100 × 0,25x2 + 1,732 x = -0,2 x2 + 1,732 x.
b) z = 0 ⇔ x(-0,2x + 1,732) = 0, soit x = 0 ou x = 1,7320,2 ≈ 8,66 m. Formule : d = 100 × sin 120°10 = 10 × 0,866 = 8,66 m. Les résultats concordent.
5Exercice 5
(Type BAC) Lors d'un coup franc, un joueur frappe le ballon posé au sol avec une vitesse v0 = 16 m/s faisant un angle α = 30° avec l'horizontale. Le mur de défenseurs, haut de 1,80 m, est à 9,15 m du ballon. La ligne de but est à 20 m ; la barre transversale est à 2,44 m du sol. On néglige l'action de l'air ; g = 10 m/s². Le mouvement a lieu dans le plan vertical perpendiculaire à la ligne de but.
a) Établis les équations horaires du ballon puis l'équation de sa trajectoire.
b) Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?
c) À quelle hauteur passe-t-il au niveau de la ligne de but ? Peut-il y avoir but (sans gardien) ?
d) Calcule la flèche de la trajectoire.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Repère : origine au ballon, Ox horizontal vers le but, Oz vertical vers le haut. v0x = 16cos 30° ≈ 13,86 m/s ; v0z = 16sin 30° = 8 m/s. Équations horaires : x = 13,86 t ; z = -5t2 + 8t. Trajectoire : z = -102 × 256 × 0,75x2 + 0,577 x = -x238,4 + 0,577 x.
b) Pour x = 9,15 m : z = -83,7238,4 + 0,577 × 9,15 ≈ -2,18 + 5,28 = 3,10 m. Comme 3,10 m > 1,80 m, le ballon passe au-dessus du mur.
c) Pour x = 20 m : z = -40038,4 + 0,577 × 20 ≈ -10,42 + 11,55 = 1,13 m. Le ballon arrive à 1,13 m du sol, entre le sol et la barre (2,44 m) : il peut y avoir but. (Vérification : la portée 256 × sin 60°10 ≈ 22,2 m dépasse 20 m, le ballon n'a donc pas encore touché le sol.)
d) h = v02sin2α2g = 256 × 0,2520 = 3,2 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
