Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 47
Solide glissant sur une sphère
Je sais étudier le glissement sans frottement d'un petit solide sur une sphère et calculer l'endroit où il la quitte.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour exprimer la vitesse en fonction de l'angle
- Appliquer la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet pour exprimer la réaction
- Trouver la condition et la position où le solide quitte la sphère
- Décrire le mouvement après le décollage
Avant de commencer : Le mouvement circulaire non uniforme (accélération tangentielle et normale), les lois de Newton, le théorème de l'énergie cinétique et le travail du poids.
1Je découvre
À Labé, pendant la récréation, Ibrahima pose une petite bille sur le sommet d'un gros réservoir d'eau en forme de demi-boule, bien lisse et mouillé par la pluie. Il la pousse à peine. La bille descend en suivant la paroi… puis, tout à coup, elle s'en détache et tombe dans le vide avant d'atteindre le bas du réservoir.
Mariama, sa camarade de Terminale SM, remarque que la bille quitte toujours la paroi à peu près au même endroit, quelle que soit sa masse, tant qu'on la lâche presque sans vitesse au sommet. Elle se demande si cet endroit dépend de la taille du réservoir et de la poussée donnée au départ.
Ce problème, très classique au BAC, rassemble tout ce que tu as vu : le mouvement circulaire, la base de Frenet, les lois de Newton et l'énergie cinétique.
Où, exactement, un solide qui glisse sans frottement sur une sphère la quitte-t-il, et avec quelle vitesse ?
2Je comprends
1. Le système et les hypothèses
On étudie un petit solide (assimilé à un point matériel) de masse m, posé au sommet A d'une sphère de centre O et de rayon r. On le lance avec une vitesse horizontale v0 (éventuellement nulle ou presque nulle). On suppose :
- le référentiel terrestre galiléen ;
- le glissement sans frottement : la réaction R de la sphère est perpendiculaire à la surface, donc dirigée selon le rayon, de O vers le solide ;
- la résistance de l'air négligeable.
La position du solide en M est repérée par l'angle θ = AOM entre la verticale ascendante OA et le rayon OM. Tant que le solide reste en contact, sa trajectoire est un arc de cercle de rayon r : on utilise la base de Frenet (ut, un), avec un dirigé de M vers le centre O.
2. La vitesse en fonction de l'angle
On applique le théorème de l'énergie cinétique entre A et M. Les forces sont le poids P et la réaction R.
- R est perpendiculaire au déplacement : W(R) = 0.
- Le solide descend d'une hauteur h = OA - (hauteur de M) = r - rcosθ = r(1 - cosθ) : W(P) = mgr(1 - cosθ).
12mv2 - 12mv02 = mgr(1 - cosθ), d'où :
v2 = v02 + 2gr(1 - cosθ)
La masse se simplifie : la vitesse ne dépend pas de la masse.
3. La réaction en fonction de l'angle
On applique la deuxième loi de Newton : P + R = ma. On projette sur la normale un (vers O) :
- le poids fait l'angle θ avec un : sa projection vaut mgcosθ ;
- la réaction est dirigée vers l'extérieur : sa projection vaut -R ;
- l'accélération normale vaut an = v2r.
mgcosθ - R = mv2r, donc R = mgcosθ - mv2r.
En remplaçant v2 :
R = mg(3cosθ - 2) - mv02r
Sur la tangente, on obtient mgsinθ = mat, soit at = gsinθ : le mouvement circulaire est accéléré (non uniforme).
4. Le décollage
Le contact existe tant que la sphère pousse le solide, c'est-à-dire tant que R > 0. Le solide quitte la sphère quand la réaction s'annule : R = 0. L'angle de décollage θ1 vérifie :
cosθ1 = 23 + v023gr
- Si v0 = 0 (départ presque sans vitesse) : cosθ1 = 23, soit θ1 ≈ 48,2°, quels que soient la masse et le rayon.
- Plus v0 est grand, plus cosθ1 est grand, donc plus θ1 est petit : le solide décolle plus tôt.
- Si v02 ≥ gr, alors R ≤ 0 dès le sommet (θ = 0) : le solide quitte la sphère immédiatement. Pour qu'il glisse au moins un peu, il faut v0 < √gr.
La vitesse au décollage vient de R = 0 : v12 = grcosθ1.
Méthode
Pour étudier un solide qui glisse sans frottement sur une sphère :
- Je définis le système, le référentiel galiléen et je fais le bilan des forces (poids et réaction normale).
- Je repère le point M par l'angle θ et j'exprime la hauteur de chute h = r(1 − cos θ).
- J'applique le théorème de l'énergie cinétique entre A et M pour obtenir v² en fonction de θ.
- J'applique la deuxième loi de Newton en projection sur la normale (vers le centre) pour obtenir R.
- J'écris R = 0 pour trouver l'angle de décollage θ₁, puis je calcule la vitesse v₁.
- 1Bilan des forces : poids P et réaction R perpendiculaire à la sphère
- 2Énergie cinétique : v² = v₀² + 2gr(1 − cos θ)
- 3Newton sur la normale : mg cos θ − R = mv²/r
- 4Réaction : R = mg(3 cos θ − 2) − mv₀²/r
- 5Décollage : R = 0, donc cos θ₁ = 2/3 + v₀²/(3gr)
Exemple
Une bille part du sommet d'une demi-sphère de rayon r = 1,2 m, sans vitesse initiale. On prend g = 9,8 m/s².
Angle de décollage : cos θ₁ = 2/3 ≈ 0,667, donc θ₁ ≈ 48,2°.
Vitesse au décollage : v₁² = gr cos θ₁ = 9,8 × 1,2 × 2/3 = 7,84 m²/s², donc v₁ = 2,8 m/s.
Contrôle par l'énergie : v₁² = 2gr(1 − cos θ₁) = 2 × 9,8 × 1,2 × 1/3 = 7,84. Les deux calculs concordent.
Hauteur descendue avant de décoller : h = r(1 − cos θ₁) = 1,2 × 1/3 = 0,40 m.
Exemple
Même sphère (r = 1,2 m), mais la bille est lancée au sommet avec v₀ = 2,0 m/s.
Condition de départ : √(gr) = √(11,76) ≈ 3,43 m/s. Comme v₀ < 3,43 m/s, la bille reste d'abord en contact.
cos θ₁ = 2/3 + v₀²/(3gr) = 0,667 + 4/(3 × 9,8 × 1,2) = 0,667 + 4/35,28 ≈ 0,667 + 0,113 = 0,780.
θ₁ ≈ 38,7° : la bille décolle plus tôt que sans vitesse initiale.
v₁² = gr cos θ₁ = 11,76 × 0,780 ≈ 9,17 m²/s², donc v₁ ≈ 3,03 m/s.
5. Après le décollage
Dès que R = 0, la seule force est le poids : le solide devient un projectile. Son mouvement est celui étudié dans la leçon sur le mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur : trajectoire parabolique, de vitesse initiale v1 tangente à la sphère au point de décollage, donc inclinée de θ1 vers le bas par rapport à l'horizontale. Les composantes de départ sont v1x = v1cosθ1 et v1y = -v1sinθ1 (axe vertical vers le haut).
6. Tableau de synthèse
| Grandeur | Expression | Cas v0 = 0 |
|---|---|---|
| Vitesse en M | v2 = v02 + 2gr(1-cosθ) | v2 = 2gr(1-cosθ) |
| Réaction en M | R = mg(3cosθ - 2) - mv02r | R = mg(3cosθ - 2) |
| Angle de décollage | cosθ1 = 23 + v023gr | cosθ1 = 23 ; θ1 ≈ 48,2° |
| Vitesse au décollage | v12 = grcosθ1 | v12 = 23gr |
3Je retiens
Je retiens
Sans frottement, la réaction R de la sphère est portée par le rayon, vers l'extérieur ; elle ne travaille pas.
Énergie cinétique : v² = v₀² + 2gr(1 − cos θ) ; la vitesse ne dépend pas de la masse.
Newton sur la normale (vers le centre) : mg cos θ − R = mv²/r, d'où R = mg(3 cos θ − 2) − mv₀²/r.
Le solide quitte la sphère quand R = 0 : cos θ₁ = 2/3 + v₀²/(3gr), et v₁² = gr cos θ₁.
Départ sans vitesse : cos θ₁ = 2/3, θ₁ ≈ 48,2°, indépendant de m et de r.
Si v₀ ≥ √(gr), le solide quitte la sphère dès le sommet.
Après le décollage : mouvement de projectile (trajectoire parabolique).
4Erreurs fréquentes
- Se tromper de hauteur : le solide descend de h = r(1 − cos θ), et non de r cos θ ni de r sin θ. Fais toujours le dessin.
- Oublier le signe de la réaction en projection : u_n pointe vers le centre et R vers l'extérieur, donc R se projette en −R.
- Écrire que le solide décolle quand v = 0 : c'est faux, il décolle quand la réaction s'annule (R = 0), alors qu'il a une vitesse non nulle.
- Utiliser les formules du cas v₀ = 0 quand l'énoncé donne une vitesse initiale : lis bien l'énoncé.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un petit cube part sans vitesse du sommet d'une sphère de rayon r = 2,0 m et glisse sans frottement. On prend g = 10 m/s².
a) Calcule l'angle θ1 auquel il quitte la sphère.
b) Calcule la hauteur dont il est descendu à cet instant.
c) Calcule sa vitesse au décollage.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Départ sans vitesse : cosθ1 = 23, donc θ1 ≈ 48,2°.
b) h = r(1 - cosθ1) = 2,0 × 13 ≈ 0,67 m.
c) v12 = 2gh = 2 × 10 × 23 = 403 ≈ 13,3 m²/s², donc v1 ≈ 3,65 m/s. (Contrôle : grcosθ1 = 10 × 2 × 23 = 13,3.)
2Exercice 2
Démontre, en détaillant chaque étape, que la réaction d'une sphère de rayon r sur un solide parti sans vitesse de son sommet vaut R = mg(3cosθ - 2).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Système : le solide ; référentiel terrestre galiléen ; forces : poids P et réaction R normale à la sphère.
Théorème de l'énergie cinétique entre A et M : 12mv2 - 0 = mgr(1 - cosθ) car W(R) = 0 ; donc v2 = 2gr(1 - cosθ).
Deuxième loi de Newton projetée sur un (vers O) : mgcosθ - R = mv2r.
Donc R = mgcosθ - m2gr(1-cosθ)r = mgcosθ - 2mg + 2mgcosθ = mg(3cosθ - 2).
3Exercice 3
Un solide de masse m = 200 g est lancé au sommet d'une sphère de rayon r = 0,90 m. On prend g = 9,8 m/s².
a) Quelle vitesse initiale maximale v0 faut-il pour qu'il glisse d'abord sur la sphère ?
b) On lance le solide avec v0 = 1,5 m/s. Calcule la réaction au sommet.
c) Calcule l'angle de décollage.
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a) Il faut v0 < √gr = √9,8 × 0,90 = √8,82 ≈ 2,97 m/s.
b) Au sommet θ = 0 : R = mg - mv02r = 0,200 × 9,8 - 0,200 × 2,250,90 = 1,96 - 0,50 = 1,46 N.
c) cosθ1 = 23 + 2,253 × 8,82 = 0,667 + 0,085 = 0,752, donc θ1 ≈ 41,2°.
4Exercice 4
Sékou affirme : « Si je double le rayon de la sphère, la bille lâchée sans vitesse quittera la sphère deux fois plus bas en angle. » A-t-il raison ? Justifie.
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Non. Pour un départ sans vitesse, cosθ1 = 23 ne dépend ni de r ni de m : l'angle reste 48,2°. Ce qui change, c'est la hauteur de chute h = r3, qui double, et la vitesse au décollage, multipliée par √2.
5Exercice 5
(Type BAC) Un solide ponctuel de masse m part du sommet A d'une sphère de centre O et de rayon r = 1,5 m avec une vitesse v0 = 1,0 m/s. Les frottements sont négligeables et g = 9,8 m/s².
a) Exprime la vitesse v du solide en un point M repéré par θ = AOM.
b) Exprime l'intensité de la réaction R en M en fonction de m, g, r, v0 et θ.
c) Détermine la valeur de θ1 pour laquelle le solide quitte la sphère.
d) Calcule la vitesse v1 au décollage et précise la nature du mouvement ultérieur.
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a) Théorème de l'énergie cinétique entre A et M (W(R) = 0) : v2 = v02 + 2gr(1 - cosθ).
b) Newton sur la normale : mgcosθ - R = mv2r, donc R = mg(3cosθ - 2) - mv02r.
c) R = 0 ⇔ cosθ1 = 23 + v023gr = 0,667 + 1,03 × 9,8 × 1,5 = 0,667 + 0,023 = 0,690. Donc θ1 ≈ 46,4°.
d) v12 = grcosθ1 = 9,8 × 1,5 × 0,690 ≈ 10,1 m²/s², donc v1 ≈ 3,2 m/s. Après le décollage, le solide n'est soumis qu'à son poids : il a un mouvement de projectile, de trajectoire parabolique.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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