Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 47
Le champ gravitationnel
Je sais définir et calculer le champ gravitationnel créé par un astre, et expliquer comment il varie avec l'altitude.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le vecteur champ gravitationnel créé par un corps à symétrie sphérique
- Calculer l'intensité du champ à la surface et à une altitude h
- Représenter les lignes de champ et reconnaître un champ localement uniforme
- Additionner deux champs pour trouver un point de champ nul
Avant de commencer : Les vecteurs, les lois de Newton, le poids d'un corps (P = mg) et les puissances de dix.
1Je découvre
Un soir de saison sèche, à Siguiri, Lansana regarde la Lune se lever au-dessus des champs. Son petit frère lui demande : « Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur nous, alors que la mangue tombe de l'arbre ? »
Lansana se souvient de son cours : la mangue et la Lune sont soumises à la même influence de la Terre. Autour de la Terre, dans tout l'espace, chaque objet ressent une attraction vers le centre de la planète. Plus on s'éloigne, plus cette influence faiblit. Les astronautes de la Station spatiale internationale, à environ 400 km d'altitude, la ressentent encore presque autant qu'au sol, et pourtant ils flottent dans leur cabine.
Pour décrire cette influence en chaque point de l'espace, sans parler d'un objet particulier, les physiciens ont inventé la notion de champ.
Qu'est-ce que le champ gravitationnel d'un astre, comment le calculer, et comment varie-t-il quand on s'éloigne ?
2Je comprends
1. L'attraction universelle, point de départ
Isaac Newton a énoncé en 1687 la loi de la gravitation universelle (étudiée en détail dans la leçon suivante) : deux corps ponctuels de masses mA et mB, distants de d, s'attirent avec des forces de même intensité :
F = GmA mBd2
où G = 6,67 × 10-11 N·m²·kg⁻² est la constante de gravitation universelle.
Un corps à répartition de masse à symétrie sphérique (planète, étoile) agit, à l'extérieur, comme si toute sa masse M était concentrée en son centre O.
2. Définition du champ gravitationnel
Plaçons un petit objet de masse m en un point P situé à la distance r du centre O d'un astre de masse M. Il subit la force :
F = -GMmr2 u
où u est le vecteur unitaire dirigé de O vers P (le signe moins traduit l'attraction, vers O).
La force est proportionnelle à m. En divisant par m, on obtient une grandeur qui ne dépend que de l'astre et du point P : le vecteur champ gravitationnel
mathcalG(P) = Fm = -GMr2 u
Caractéristiques du champ gravitationnel créé en P :
- direction : la droite (OP) ;
- sens : vers le centre O de l'astre (champ centripète) ;
- intensité : mathcalG = GMr2, en N/kg (ou m/s², c'est la même unité).
Réciproquement, un objet de masse m placé en P subit la force F = mmathcalG(P).
3. Champ gravitationnel et pesanteur
À la surface de la Terre (r = RT), l'intensité du champ gravitationnel est :
mathcalG0 = GMTRT2
Avec MT = 5,97 × 1024 kg et RT = 6,37 × 106 m : mathcalG0 = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024(6,37 × 106)2 ≈ 9,8 N/kg.
On retrouve l'intensité de la pesanteur g0. En première approximation, le champ de pesanteur g se confond avec le champ gravitationnel terrestre. (La rotation de la Terre sur elle-même crée une très petite différence, que l'on néglige en Terminale.)
4. Variation avec l'altitude
À l'altitude h au-dessus du sol, la distance au centre est r = RT + h :
mathcalG(h) = GMT(RT + h)2 = mathcalG0 RT2(RT + h)2
Cette deuxième forme est très pratique : on n'a pas besoin de connaître G ni MT, seulement mathcalG0 et RT.
- Pour h très petit devant RT (quelques kilomètres), mathcalG(h) ≈ mathcalG0 : le champ est pratiquement constant.
- À h = RT, r = 2RT : le champ est divisé par 4.
Exemple
Calcul du champ gravitationnel à l'altitude de la Station spatiale internationale, h ≈ 400 km. On prend 𝒢₀ = 9,8 N/kg et R_T = 6 370 km.
𝒢 = 𝒢₀ × R_T² / (R_T + h)² = 9,8 × (6 370 / 6 770)².
6 370 / 6 770 ≈ 0,9409 ; son carré vaut ≈ 0,8853.
𝒢 ≈ 9,8 × 0,8853 ≈ 8,7 N/kg.
Le champ n'y est que 11 % plus faible qu'au sol. Les astronautes flottent non parce que la gravité a disparu, mais parce qu'ils tombent en permanence autour de la Terre avec leur station (on le verra avec les satellites).
5. Lignes de champ et champ uniforme
Une ligne de champ est une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur champ. Pour un astre sphérique, les lignes de champ sont des droites radiales dirigées vers le centre. Le champ est d'autant plus intense que les lignes sont serrées, c'est-à-dire près de l'astre.
Dans une région de petite dimension (une salle de classe, un terrain de football), les lignes de champ sont pratiquement parallèles et l'intensité est constante : le champ de pesanteur y est uniforme. C'est cette hypothèse que tu as utilisée pour le mouvement d'un projectile.
6. Champ à la surface d'autres astres
La même formule mathcalG0 = GMR2 s'applique à tous les astres sphériques.
Exemple
Champ gravitationnel à la surface de la Lune : M_L = 7,35 × 10²² kg, R_L = 1,74 × 10⁶ m.
𝒢_L = 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,35 × 10²² / (1,74 × 10⁶)².
Numérateur : 4,90 × 10¹² ; dénominateur : 3,03 × 10¹².
𝒢_L ≈ 1,62 N/kg, environ six fois moins que sur Terre.
Un sac de riz de 25 kg pèserait sur la Lune 25 × 1,62 ≈ 40 N, contre 245 N en Guinée.
7. Superposition de deux champs (approfondissement)
En un point soumis à l'influence de deux astres, le champ total est la somme vectorielle des deux champs. Entre la Terre et la Lune, sur la droite qui joint leurs centres, les deux champs sont opposés. Ils se compensent au point N situé à la distance x du centre de la Terre tel que :
GMTx2 = GML(D - x)2, soit xD - x = √MTML.
Avec MTML ≈ 81,2, on a √81,2 ≈ 9,01, et avec D = 3,84 × 108 m : x = 9,0110,01D ≈ 3,46 × 108 m, soit environ 90 % de la distance Terre-Lune.
Méthode
Pour calculer un champ gravitationnel :
- Je repère le centre de l'astre et je calcule la distance r = R + h (jamais h seul).
- Si je connais G et M : 𝒢 = GM/r². Si je connais 𝒢₀ et R : 𝒢 = 𝒢₀R²/(R + h)².
- J'exprime toutes les distances en mètres et les masses en kilogrammes.
- Je précise la direction (droite passant par le centre) et le sens (vers le centre).
- Pour deux astres, j'additionne les vecteurs champs, et j'égale les intensités pour trouver le point de champ nul.
3Je retiens
Je retiens
Champ gravitationnel créé par un astre de masse M à la distance r de son centre : 𝒢 = −(GM/r²) u, dirigé vers le centre.
Intensité : 𝒢 = GM/r², en N/kg ; G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².
Force subie par une masse m : F = m𝒢.
À la surface de la Terre, 𝒢₀ = GM_T/R_T² ≈ 9,8 N/kg : le champ de pesanteur se confond avec le champ gravitationnel.
À l'altitude h : 𝒢(h) = 𝒢₀ R_T²/(R_T + h)².
Lignes de champ radiales ; champ localement uniforme sur une petite région.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser h au lieu de R + h : la distance se mesure depuis le centre de l'astre, pas depuis la surface.
- Oublier de mettre R et h en mètres (6 370 km = 6,37 × 10⁶ m).
- Croire que le champ est nul dans l'espace ou en orbite : à 400 km d'altitude il vaut encore environ 8,7 N/kg.
- Confondre masse (kg, ne change pas) et poids (N, dépend du champ) : un objet a la même masse sur la Lune que sur la Terre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'intensité du champ gravitationnel terrestre à l'altitude h = 1 000 km (mathcalG0 = 9,8 N/kg, RT = 6 370 km).
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mathcalG = 9,8 × (6 3707 370)2 = 9,8 × (0,8643)2 ≈ 9,8 × 0,7470 ≈ 7,3 N/kg.
2Exercice 2
À quelle altitude l'intensité du champ gravitationnel terrestre est-elle égale au quart de sa valeur au sol ? Justifie.
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On veut RT2(RT + h)2 = 14, soit RTRT + h = 12, donc RT + h = 2RT et h = RT = 6 370 km.
3Exercice 3
Calcule l'intensité du champ gravitationnel à la surface de Mars (M = 6,42 × 1023 kg, R = 3,39 × 106 m, G = 6,67 × 10-11 SI). Quel serait le poids sur Mars d'un élève de masse 60 kg ?
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mathcalG = 6,67 × 10-11 × 6,42 × 1023(3,39 × 106)2 = 4,28 × 10131,149 × 1013 ≈ 3,7 N/kg. Poids : P = 60 × 3,7 ≈ 2,2 × 102 N (contre 588 N sur Terre).
4Exercice 4
À partir de g0 = 9,8 N/kg, de RT = 6,37 × 106 m et de G = 6,67 × 10-11 SI, calcule la masse de la Terre.
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g0 = GMTRT2 donne MT = g0 RT2G = 9,8 × 4,058 × 10136,67 × 10-11 ≈ 5,96 × 1024 kg.
5Exercice 5
(Type BAC) La Terre (masse MT = 5,97 × 1024 kg, rayon RT = 6,37 × 106 m) est supposée à répartition de masse à symétrie sphérique. G = 6,67 × 10-11 N·m²·kg⁻².
a) Donne l'expression vectorielle du champ gravitationnel créé par la Terre en un point P situé à l'altitude h. Représente-le.
b) Montre que mathcalG(h) = mathcalG0RT2(RT + h)2 et calcule mathcalG0.
c) Calcule le champ à l'altitude des satellites géostationnaires, h = 35 800 km.
d) Calcule le champ terrestre au niveau de la Lune, à D = 3,84 × 108 m du centre de la Terre.
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a) mathcalG(P) = -GMT(RT + h)2u, où u est le vecteur unitaire de O (centre de la Terre) vers P. Le vecteur est porté par (OP) et dirigé vers O.
b) mathcalG(h) = GMT(RT+h)2 et mathcalG0 = GMTRT2, donc GMT = mathcalG0 RT2 et mathcalG(h) = mathcalG0RT2(RT+h)2. mathcalG0 = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024(6,37 × 106)2 = 3,98 × 10144,06 × 1013 ≈ 9,81 N/kg.
c) r = 6,37 × 106 + 3,58 × 107 = 4,217 × 107 m ; mathcalG = 3,98 × 1014(4,217 × 107)2 = 3,98 × 10141,778 × 1015 ≈ 0,22 N/kg.
d) mathcalG = 3,98 × 1014(3,84 × 108)2 = 3,98 × 10141,475 × 1017 ≈ 2,7 × 10-3 N/kg.
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6Je vérifie
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